《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第10章.pdf

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1、2 函数项级数 2 函数项级数 I 基本概念 I 基本概念 一 函数列及其一致收敛性 一 函数列及其一致收敛性 1 定义 1 定义 定义 1定义 1 设()xfn是一列定义在同一数集E上的函数,若Ex 0,数列收敛,则称函数列在点收敛,称为()0 xfn()xfn0 x0 x()xfn的收敛点,否则称函数列在点发散若在()xfn0 x()xfnED 上每点都收敛,则称()xfn在上收敛,全体收敛点所成之集称为收敛域,此时在收敛域上的每一点,都有数列D()xfn的一个极限值与之对应,由这个对应法则所确定的D上的函数,称为()xfn的极限函数若记之为,则有 f()()xfxfnn=lim,Dx 函

2、数列极限的N定义:()()xfxfnn=lim,DxDx,0,()0,xN,有 Nn()()N()xf在一致收敛,即 D定义 2定义 2 设()xfn与定义在同一数集上,若()xfD0,()0N,有 Nn Dx()(),0N,有 Nmn,Dx()(),0N,Nn,有()()xfxfnDxsup 命题命题 在上,D)(nffn,若存在数列 na,使得nnaxfxf)()(,且,则?0lim=nna)(xfnDxnxf),()(注注 定理 2 比定理 1 更为适用,其困难在于求上确界先求出()xf(把x看成常数,令求之),然后求的极值和最值 n)()(xfxfn3 收敛与一致收敛的关系 3 收敛与

3、一致收敛的关系(1)?;nffffn(2)在有限区间上,挖去充分小区间后,?ffnnff4 一致收敛函数列的性质 4 一致收敛函数列的性质 定理 3定理 3 设函数列在上一致收敛于,且对每个,则与均存在,且相等,即)(xfn),(),(00bxxa)(xfnnnxxaxf=)(lim0nnalim)(lim0 xfxx)(limlim)(limlim00 xfxfnnxxnxxn=此说明在一致收敛的条件下两种极限可交换顺序 定理 4定理 4(连续性)若函数列在区间I上一致收敛于,且,在I上连续,则在上I也连续)(xfn)(xfn)(xfn)(xf注注 若各项为连续函数的函数列)(xfn在区间I

4、上其极限函数不连续,则此函数列 在区间 I 上不一致收敛如:)(xfn nx在 1,1(上常用此来证明非一致收敛 定理 5定理 5(可积性)若函数列在上一致收敛,且每一项都连续,则)(xfn,ba=bannnba ndxxfdxxf)(lim)(lim 注注(1)该定理指出:在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序;(2)一致收敛只是这两种运算换序的充分条件,而并非必要条件如下例:例例 设函数 nxxnnxnnxxnxfnnnn111,021,22,210,2)(,有0NNn pDx()()M,()Mxun,Ix,?,2,1=nxvn则在()()=1nnnxvxuI一致收敛 3 和函

5、数的分析性质 3 和函数的分析性质 定理 12定理 12 若()xun在处连续(0 x?,2,1=n),且在某领域一致收敛,则在处连续()=1nnxu0 x()()=nkkxuxS10 x定理 13定理 13 若()xun在(内连续()ba,?,2,1=n),且在()=1nnxu()ba,内闭一致收敛,则在(内连续()()=nkkxuxS1)ba,定理 14定理 14(连续性)若在()=1nnxuba,一致收敛,且每一项都连续,则其和函数在上也连续,即 ba,()()=1100limlimnnxxnnxxxuxu 即求和与求极限可以交换次序 定理 15定理 15(逐项求积)在定理 14 的条件

6、下,有()()=11nbanbanndxxudxxu 即求和与求积分可交换次序 定理 16定理 16(逐项求导)若函数项级数满足条件:()=1nnxu(1)在()xunba,上有连续的导函数,?,2,1=n;(2),在点收敛;bax,0()=1nnxu0 x(3)在一致收敛,()=1nnxu)ba,则()()=11nnnnxuxu三 幂级数及其收敛域 三 幂级数及其收敛域 形如的函数项级数称为幂级数,通过变换可化为(=10nnnxxa=1nnnxa1 收敛半径、收敛区间、收敛域 1 收敛半径、收敛区间、收敛域 定理 17定理 17(阿贝尔引理)对幂级数,若它在点=1nnnxa00 x收敛,则对

7、满足不等式0 xx 的任何x都发散 由此易得幂级数的收敛域是以原点为中心的区间,若以=1nnnxaR2表示区间的长度,称R为收敛半径,称(为收敛区间,而收敛域可能包括收敛区间的端点)RR,R的求法 的求法 2 收敛半径2 收敛半径定理 18定理 18 若=nnnalim,则当(1)+0时,1=R;(2)0=时,+=R;(3)=时,0=R注注 当nnnalim不存在时,可以上极限代之,结论不变 定理 19定理 19 若=+nnnaa1lim,则当(1)+R()RR,内任一闭区间都一致收敛且绝对收敛;若收敛,则在=1nnnRa=1nnnxaR,0一致收敛 定理 21定理 21 若幂级数的收敛半径,

8、则其和函数在=1nnnxa0R()RR,内连续、可积、可微,且有任意阶导数,并满足逐项可积和逐项求导法则 n注注 幂级数与其诱导级数(逐项求导或求积)具有相同的收敛半径,但其收敛域有可能变化,即收敛区间端点的收敛性可能发生变化 四、函数的幂级数展开 四、函数的幂级数展开 1 泰勒级数 1 泰勒级数 若在存在任意阶导数,称幂级数 f()0 xU()()()()()()?+nnxxnxfxxxfxf00000!为函数在的泰勒级数()xf0 x注注(1)泰勒级数未必收敛;(2)泰勒级数即使收敛,亦未必收敛于()xf如()=0,00,21xxexfx 在点 0=x2 收敛定理 2 收敛定理 定理 22

9、定理 22 设在点具有任意阶导数,那么在f0 xf()0 xU内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是:,)(0 xUx()0lim=xRnn这里()xRn是在的泰勒公式余项 f0 x定理 23定理 23 若函数在存在任意阶导数,且f()0 xU0M,有()()Mxfn,?,2,1=n,()0 xUx,则()()()()=000!nnnxxnxfxf 若函数在的泰勒级数收敛于()xf0 x()xf,则称泰勒级数为在的泰勒展开式或幂级数展开式,也称在可展为幂级数或泰勒级数当f0 xf0 x00=x时的泰勒级数又称为马克劳林级数 3 初等函数的幂级数展开式 3 初等函数的幂级数展开式(1)=0!

10、nnxnxe,;Rx(2)()()=1121!121sinnnnnxx,Rx;(3)()()=02!21cosnnnnxx,Rx;(4)()()=+1111lnnnnnxx,1,1(x;(5)()()()=+=+1!1111nnxnnx?,当1时,;当(1,1x)01时,1,1x;(6)=011nnxx,1x;(7)()=+0111nnnxx,1x 五、傅里叶级数 五、傅里叶级数 1 正交性与正交函数系 1 正交性与正交函数系 定义 5定义 5 设,fg在上有定义,且可积 若,则称,在上正交 ba,()()0=badxxgxf()xf()xgba,性质性质 三角函数系在?,sin,cos,si

11、n,cos,1nxnxxx,或2,0上具有正交性,称之为,上的正交函数系 称形如(=+10sincos2nnnnxbnxaa)的函数级数为三角级数 2 傅里叶系数及级数 2 傅里叶系数及级数 设函数是以f2为周期且在,上可积的函数,称 ()?,2,1,0,cos1=nnxdxxfan,()=nxdxxfbnsin1,?,2,1=n,为函数的傅里叶系数,以的傅里叶系数为系数的三角级数称为的傅立叶级数,记为 fff()(=+10sincos2nnnnxbnxaaxf)(1)3 傅立叶级数的收敛定理 3 傅立叶级数的收敛定理 定理 24定理 24 若以2为周期的函数在f,上按段光滑,则在每一点,x,

12、f的傅立叶级数(1)收敛于在点fx的左右极限的算术平均值,即()()=+200 xfxf()=+10sincos2nnnnxbnxaa 注注 在区间端点则收敛于()(0021+ff)4 奇偶函数的傅氏级数 4 奇偶函数的傅氏级数 设是以()xf2为周期,且在,上按段光滑的函数,则(1)若为偶函数,则,f0=nb?,2,1=n,()=0cos2nxdxxfan,此时的傅氏级数常称为余弦级数;?,2,1,0=n(2)若为奇函数,则,f0=na?,2,1,0=n,()=0sin2nxdxxfbn,此时的傅氏级数常称为正弦级数?,2,1=n注注 对给予,0区间上的函数,常作奇(偶)延拓,使其傅氏级数简

13、单 5 以为周期的函数的展开式 5 以为周期的函数的展开式 2l设函数是以为周期,且在fl 2ll,上按段光滑的函数,则llx,,有()()200+xfxf()=+=10sincos2nnnnxbnxaa,其中()=llndxlxnxflacos1,?,2,1,0=n,()=llndxlxnxflbsin1,?,2,1=nII 例题选解 II 例题选解 一 函数列的收敛与一致收敛 一 函数列的收敛与一致收敛 例 1例 1 证明函数列,在上收敛,但非一致收敛 1,)1()(=nxnxxfnn 1,0证证 当或时,0=x1=x1,0)(=nxfn,当)1,0(x时,,(级数收敛),所以110,有,

14、0,当,),(0baxUx时,有 N 当时,有2Nn 时,有 2)()()()()()(00 有=N 当时,Nn,bax,有 1)()(xfxfn,特别地,有1)()(+xf0m2m=,0N,当时,Nn,bax,有 2)()(mxfxfn,所以当时,在无零点同时,我们有 Nn)(xfn,ba)()(4)()()()()(1)(12xfxfmxfxfxfxfxfxfnnnn=,由一致收敛的定义立得)(1xfn?,),()(1baxnxf 例例 6(华东师大 2001)设在上连续,)(xf 1,00)1(=f证明:(1)nx在上不一致收敛;1,0(2)nxxf)(在上一致收敛 1,0证证(1)由于

15、=,当 1,1(x时,有)(xf,从而当 1,1(x时,有M 1,0 xMxf)(,于是有 0)1(lim)(suplim1,0=nnnxnMxxf,从而当 n 充分大时,有 0)(sup1,0nxxxf,即nxxf)(在上一致收敛于 0 1,0例 7例 7(河北师大)(1)设(i)),2,1()(?=nxfn在上连续;),ba(ii)在上一致收敛于;)(xfn),ba)(xf(iii)在上,),ba1),()(1+nxfxfnn试证:)(xfne在上一致收敛于),ba)(xfe(2)若将(1)中条件(iii)去掉,(1)中结论是否还成立?试证明你的结论 证证(1)由例 4 的结论知,baM,

16、max,使得 1),)(,)(nbaxMxfMxfn 令,则在上连续,从而一致连续,即xexg=)()(xg,MM,0,0 当,且,21MMxx21xx时,有,当,有 0N),baxNn)()(xfxfn,从而有 M,1baxn,有MxfMxfn)(,)(;(2)若在内连续,则在上一致收敛到)(xg),(+)(xfgn,ba)(xfg例例 8(北京大学 1996)设在上,一致收敛于,一致收敛于若存在正数列,使得,ba)(xfn)(xf)(xgn)(xgnM1,)(,)(nbaxMxgMxfnnn 证明:在上一致收敛于)()(xgxfnn,ba)()(xgxf 提示提示:仿例 4 可证和均在上一

17、致有界,然后利用定义即可)(),(xfxfn)(),(xgxgn,ba 例 9例 9(中科院 2000)设函数在上有连续的导函数)(xf,ba)(xf,ba,,21baxx,当21xx时,有 bN1,1max,则当时,Nn,ax,有,1banx+,从而由上式和微分中值定理得)0()()()()(1+=nxfxfxfxfnnn,即在)(xfn,a上一致收敛于)(xf思考题 3思考题 3(北航)证明:对任意实数x,级数?+xxxsinsinsinsinsinsin 收敛 提示:提示:利用 Leibniz 判别法 二 函数列与函数级数的一致收敛判别法 二 函数列与函数级数的一致收敛判别法 1 定义法

18、 1 定义法 例10例10 设在()xfR上 有 连 续 的 导 函 数,()()()xfexfexfnnn+=()证明:在任一有限区间?,2,1=n()xfn()ba,内一致收敛于()xf 解解 由微分中值定理得()()()()()()()xffxfexfexfxfxfnnn=+=,nexx+,0(1),当,1,21+baxx21xx时,有()()bax,,有()(),有 0NNn Ix()(),当 1,2+bax21xx时,有 NNn=N)1,0)2(1,21000=+=nxNNn,有 000001)211(2)211(2)211(2)()(00=nnnnxSxS,由定义知在上非一致收敛=

19、0nnx)1,0注注 在证法二中运用了贝努里不等式:当1x时,有可用数学归纳法证明这个结论 nxxn+1)1(思考题思考题 5(同济大学)证明:在上处处收敛,但非一致收敛=1)1(nnnxx 1,0提示提示:当时显然收敛,当1=x)1,0 x时,收敛 非一致收敛类似上题证法一=1211)1(nnnnnnnxxxx思考题思考题 6(中科院)证明:函数级数=+031nxnn在内收敛,但非一致收敛)1,0(提示提示:证明非一致收敛时取 30=nx例 13例 13(吉林大学)设?,2,1,sin,01=p2p时发散 证证 由第一章例 26 得 13lim=nxnn,由此立得结论成立 2 放大法 2 放

20、大法 对于函数列,将()()xfxfn适当放大至一个与x无关的收敛于零的数列(无穷小量),即()()0nnxfxf(n)其中n与x无关 对于级数,则讨论其余项,即()xRn()0nnxR(n),其中n与x无关 实现放大有很多技巧,如通过已知的不等式,求极值,余项估计,递推放大等 例 14例 14 设在上可积,()xfnba,?,2,1=n,()xf,()xg在ba,上也可积,且()()0lim2=banndxxfxf,记,则在()()()=xadttgtfxh()()()=xanndttgtfxhba,上()xhn?()xh)(n证证(不等式法)由于()()()()()()=xanndttgt

21、ftfxhxh()()()xandttgtftf()()()212212xaxandttgdttftf ()()()0212212babandttgdttftf)(n 所以,?,()xhn()xh)(n,bax 例 15例 15(广西大学)给定函数列()()xnnnxxfln=(?,4,3,2=n)试求当为何值时,在上一致收敛 ()xfn)+,0解解(极值法)由()()=+xnnnxfxnln1ln1知:当nxln1时,严减,因此函数在()xfn()xfnnxln1=处取最在值,最大值为nfnln1此外,易求极限函数为,于是,当()0 xfn时,有()()()()()()+=+,1,1,1,0

22、ln1lnlnln1sup11ln1ln1ln11),0eneennnnfxfxfnnnnnx 所以当且仅当()xfn1时,在)+,0上一致收敛 例 16例 16(湖北大学 2002)试问为何值时,在knxknexnxf=)(),0+上一致收敛 解解 ,有),0+x0lim)(lim)(=nxknnnexnxfxf,而,令)1()(nxenxfnxkn=0)(=xfn得,且,所以为其极大值点,又1=nx0)(11=+ennfk1=nx0)(lim,0)0(=xffnxn,所以也是其最大值点,于是 111),0)()()(sup+=knnxnenfxfxf,由此可得,当时,在1a解解 原级数可写

23、成()()()()()()()=+=+1111121111211nnnxnxxnxxnxxxnx?,(+,0 x),级数()()(=+11211nnxxxnx?收敛(()()()()1111111+M()Mxf1,bax,从而()()()axMdttfxfxa12,()()()(223!2axMdtatMdttfxfxaxa=),一般地,若对有n()()()1!1nnaxnMxf,则()()()()()nxanxannaxnMdtatnMdttfxf=+!111,从而有()()0!1+nabMxfnn(n),故()xfn?0(n),bax,注 注 将区间换成便是北航 1999 年考研题,ba,

24、0a例例 20(华中师大 2002,东北师大)设在矩形),(txG,babaD=上连续,在上连续,令证明在上一致收敛)(0 xu,ba,2,1,)()(1baxndxxuxuxann=?)(xun,ba证证 在D上连续,从而在D上有界,即),(txG01M,有DtxMtxG),(,),(1;又在上连续,则有界,故存在,有)(0 xu,ba02M,)(20baxMxu于是)()()(),()(212101abMMaxMMdxxutxGxuxa,!2)()()(),()(222122112abMMdtatMMdttutxGxuxaxa,由数学归纳法易证:1,!)()(21nnabMMxunnn 由

25、比式判别法知!)(21nabMMnn收敛,所以0!)(lim221=nabMMnn,从而0)(suplim,=xunbaxn,即)(xun在上一致收敛,ba例例 21(南京大学,吉林大学)假设(i)在()xf(+),内连续;(ii)时,0 x()xxf;(iii)令()()xfxf=1,()()()xffxf12=,()()()xffxfnn1=,试证在上一致收敛(其中()xfnAA,A为正常数)证证 由(ii)知()xxf(A),当,x时,()xf;当 AAx,时,)(xf在其上连续,则存在最大值 M,由条件(ii)知AM,故 存在小于 1 的正数q,使得,于是,当qAM AAx,时,有()

26、qAxf,max 由 此 易 得:AAx,,若()xf,则()()()()=xfxffxf2,若()Axf,A,则()()()()Aqxfqxffxf22=,所以总有()Aqxf22,max 依次下去,可得()Aqxfnn,max,?,2,1=n 由于,所以当充分大时,从而有10qnn,0lim=nn,()nnxu(当Ix),且()()0=xuxuji(ji)试证:在()=1nnxuI一致收敛(这里I是任意区间)证证 ,由(Ix()()0=xuxujiji)知()xun中至多有一项不为零,因此,该级数的余项满足:()xRn()()0supsupnnkknknxuxR(n)故在()=1nnxuI

27、上一致收敛 3 Cauchy 收敛准则收敛准则 只需判定任意两个函数之差任意小,不需求出极限函数,这一点比用定义法优越 例例 23(上海交大(上海交大 2000)设可微函数列)(xfn在上收敛,,ba)(xfn在上一致有界证明:在上一致收敛,ba)(xfn,ba证证 由条件:,使得0M1,nbax,有Mxfn)(于是,,0 03=M,当,21baxx21xx时,对一切正整数,都有 n3)()()(2121=iiixNN,有 piNn 3)()(p,bax,,i,使x属于第i个小区间,于是由(1)和(2)式得)()()()()()()()(xfxfxfxfxfxfxfxfnininipnipnp

28、nnpn+=+=+,()0,0=xNN,当,有 Nn()210+=pnnkkxu,p 取c4=,则当bax,,p时,有()()()()+=+=+=+=+pnnkkpnnkkpnnkkpnnkkxuxuxuxu101011()+=222010 xxcxxupnnkk,即()这样,当取遍中所有点时,得0 xba,ba,的开覆盖()baxxUx,,在每个小区间上式成立由有限覆盖定理,存在有限子覆盖,设为()iixU,,取li,2,1?=(ixNN,max)=,当,Nn p,bax,,都有(),取充分大,将mba,m等分,使每个小区间的长度c4=ixNN,有 pNn()21p,bax,,i,使x属于第

29、i个小区间,有()()()+=+=+=+=xxpnnkkpnnkikpnnkkidttuxuxu111()()=+,当),(11yx,),(22dcbayx2121,yyxx时,有,0N,当时,都有 Nn,bax,bax,由(1)式得,0N,当时,Nn p,有+=pnnkkb1 记,于是+=innkkibS1iS,从而由阿贝尔变换得?,2,1=i()pnppnpnpnnnnpnnkkkfSffSffSffSxfb+=+113222111?pnfM+而Mffffffffpnpnpn2121100+=+?,故()Mxfbpnnkkk31,np=,(),040Unx=,有 021210424sin2

30、14sin1sin=+=+=nnknnkkkkx,由柯西收敛准则知=1sinnnnx非一致收敛 M4 判别法判别法 关键在于寻找适当的收敛的正项级数,常用方法除观察法之外,还有求在()xunI上的最大值;利用已知的不等式;Taylor 公式;微分中值定理等 例例 28(安徽大学)证明:在()=121nnxx1,0上一致收敛 证证(最大值法)记()()21xxxunn=,则()()()xxxnxxunnn=12121 令得稳定点()0=xun2,1,0+=nnx,而()()0102=+nnnuunnu,所以在上的最大值为()xun1,0+2nnun,从而()222242221212nnnnnnn

31、nxunn+=+由=124nn收敛知在上一致收敛()=121nnxx1,0例例 29 证明:=+1322arctannnxx在()+,内一致收敛 分析分析:(不等式法)233232122arctannnxxnxx+例例 30(北京大学)证明:函数项级数=+111nnxnxen在任意有穷区间上一致收敛,在)ba,(+,上非一致收敛 分析分析:首先建立不等式:对任意自然数,当nnt 时,有 tntentnte21,(吉林工业大学)事实上,原式等价于:ntenttn211,记()=tnentnttf112,只需证(当)而()0tfnt()=+=1112112ntnttnntentnteentnttf

32、 用表示方程112ntnte0=的根(倘若存在的话),则极值点可能是,0=t=t及,但 nt=()00=f,()=nnennfn1211122(所满足的方程)()011222+=nnn,()+=1nnf,由此得()()()00min=ftftfnt 其次,不妨设有限区间满足:ba,Ma,Mb,则由所证不等式有 MxnxenMenxnxen222211+由此立得一致收敛 最后,在()+,上,n,当+x时,+nxnxen11,即通项在上不可能一致收敛于零,从而非一致收敛(+,)例例 31(中国科技大学)设一元函数在f0=x的某邻域内有二阶连续导数,函数是的次复合证明:级数在()00=f()100充

33、分小时,则在()xf ,连续,故,有0M()Mxf 由泰勒定理得()()()()()()22!210!2100 xfxfxfxffxf+=+=,(x)从而当,x时,有()()xqMfxxf=+210,其中()Mfq210+=由的任意性可使1q(因为()100 f)由此可得()()()()222qxqxfqxffxf=,()()nnnqxfqxf?1,由M判别法知一致收敛(且绝对收敛)()=1nnxf例例 32(西南师大)证明:在=12nnxex()+,0内一致收敛 提示提示:222222222221nxnxxnnxxexnx=b?,21aa=1nna=xtnnndtetna01!1在上一致收敛

34、 b,0分析分析:(1)收敛,从而一致收敛;=1nna(2)()11!1!1!1000=+=+nndtetndtetntnxtn,一致有界;(3)()+=+xtnxtnxtndtetndtetntndtetn0001!11!1!11(当时)bn 即xtndtetn0!1关于单减由阿贝尔判别法知其在上一致收敛 n,ba例例 35(北师大)证明:2ln211)1(lim111=+=nnnnxxxn 证证 级数=11)1(nnn收敛,从而一致收敛,又 1,0 x,nnxx+1单调递减,且11+nnxx,由 Abel 判别法知其在上一致收敛,所以 1,02ln21)1(21)1lim)1(1)1(li

35、m11111111=+=+=nnnnnxnnnnnxnxxnxxn,其中最后一步是由于 1,1(,)1()1ln(11=+=xnxxnnn 6 Dirichlet 判别法判别法 例例 36(四川大学)证明:级数()=+12321nxnnne在任何有限区间ba,上一致收敛,但在任何一点处不绝对收敛 0 x分析分析:第二结论易证下面仅分析证明第一结论(也可用 Abel 判别法)证法一 (1),即部分和一致有界;()211=nkk(2)()1111232323222+=+nnennennexxx,?,2,1=n,单减;(3)当时,bax,0232322+nnennecx(bac,max=)因此232

36、nnex+0()由 Dirichlet 判别法知其一致收敛 n证法二证法二 原级数可化为()()=+11231112nnnxnnne,显然()=12311nnn与()=11nnn关于x一致收敛,又在上有界,一致收敛级数各项同乘以一有界函数后仍一致收敛,故2xeba,()=12321nxnne一致收敛,从而原级数一致收敛 证法三证法三 容易证明原级数是 Leibniz 级数(由证法一立明)则其余项和的绝对值满足:()()()01111232322+nnennexrcxn 从而 0(),故一致收敛()xrnn注注:此例说明:一致收敛并不意味着绝对收敛 思考题思考题 7(华中科技大学)证明:=+12

37、2)1(nnnnx在任何有限区间上一致收敛,但在任何一点都不绝对收敛,baAbel 判别法与 Dirichlet 判别法有时连环使用 例例 37 证明:()=12sin11nnnnxxxx在1,21内一致收敛 证证 ()()=+=112sin1111sin11nnnnnnnnxxxxxnxxxx显然:nx+11在1,21是关于单调,且一致有界根据阿贝尔判别法,只需证明n()=1sin11nnnnxxxx在1,21上一致收敛 事实上,(1)的部分和在=1sinnnx1,21上一致有界,41sin12sin1sin1=xkxnk(2)()12111+=nnnnxxxxxxx?关于单减(n1,21x

38、,且 0110112,使得0N,Nn bax,()0 xrn取,1=N11n,bax,1,使()011xRn;取,使1nN=12nn bax,2()22xRn,如此下去得一子列knR,使得()0knxRk,?,2,1=k (1)由致密性定理,有界数列中存在收敛子列kx jkx:baxxjk,0由题设知()=1nnxu是同号级数,因此关于单调递减,所以由(1)得:当时,)(xRnnmnjk()()0jjkjknkmxRxR 由于()()()xSxfxRmm=连续,故当+j时,()00 xRm,这与在上收敛相矛盾,故一致收敛()=1nnxuba,例例 39(武汉大学)在闭区间上,1,0(1)证明:

39、函数列+nnx1(?,3,2,1=n)一致收敛;(2)证明:函数列()nnxnnxexf+=11(?,3,2,1=n)一致收敛;(3)求出极限:+1011limdxnxennxn(?,3,2,1=n)解解(1)证法一证法一:xnenx+1,且均在1,0上非负连续,由 Dini 定理知其一致收敛;证法二证法二:首先xnenx+1(n),其次 0111+=+nxxnxnxenxe(1,0 x)知nxnxe+1关于x单增,故1,0 x时,011101+nnxnenxe(n)所以在上,1,0nnx+1单增趋于(xen)(2)由 Dini 定理知其一致收敛事实上,)(11)(+nexfxn,且)1()1(1)1(11)1(1)()(nnxxxnnxxnnxnnxeeenxeenxexfxf+=1)1(1)1(1+nnxnxxnenxeeenx,由已证结论(1)知上式右端一致收敛于 0(3)()eeedeedxnxedxxxxxnnxn+=+=+=+11ln1111lim101010

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