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1、第卷第期西南民族 学院学报自然科学版一文章编号一殉在数据包络分析中的应用彭育威,徐小湛,吴守宪西南民族学院计葬机科学与技术学院,成都四 川大学数学学院,成都摘要用数学软件叭编 写了方便、适用的应用程序,较好地解决了计算童大的问题建立的程序为理论研究和实际应用提供了方便、有效 的计算工县关键词数据包络分析线性规划叭中图分类号,文献标识码模型简介数据包络分析,简称吻,是以相对效率概念为基础,根据多指标投入输入和 多指标产出输出,对同类型的部门或单位称为决策单元进行相对有效性或效益评价的一种方法【,是 由等人于年提出的该方法最初主要用于对一些非盈利部门 如教育、卫生、政府机构的运转的有效性的评价后来
2、,被用于更广泛的领域 如金融、经济、项目评估等等一个部门的运转往往需要多项投入,也会有多项产 出例如,对大学的一个系的投入包括教师、教师的工资、办公经费、文献资料费等等而这个系的产出包括培养的本科生和研究生、发表的论文、完成 的科研项 目等等可以对若干个同类型的这种部门或单位 它们有相同的 目标和任务、有相同的输入和输出指标、有相同的外部环境进行相对有效性的评价设有个决策单元,。每一个单元,有脚项输入尤,耘,和 项输出,力,其中今,则有以下输入一输出矩阵“一,输入输入万二劣万劣矛孟,。输出输出二。”将万的输入和输出记为向量形式为一】,办,一伽。,为,则以上矩阵可简记为吵乙,老一,列四法输入记,
3、力外并称义为多指标输入矩阵,了为多指标输出矩阵设,殊和二。,收稿日期一。作者简介彭育威一男,西南民族学院计算机科学与技术学院教授 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/西南民族学院学报自然科学版第卷分别是输入和输出的权向量,则,的总输入去和总输出分别为去饮哺,矛和,二。、夕,沙,必二夕厂显然,总输入石越小,总输出口,越大,则,的效率越高为此,用 总输出与总输入之比的大小来衡量的有效性令。,厂乙,二一气了,叮瓦,称为,的效率评价指数在上式中,权向量 和 都是待定
4、的,它们的每一个分量都是非负的 记作。认。对每一个,我们求使瓦达到最大值的权向量因此,得到的模型尸对每一个,解以下极大化问题、矛了、队佘一“,零、,。,。,。这是一个分式规划问题若令二一气尸一二二二,一,一“石则尸可化为等价的线性规划问题厂。二双,可二歹,厂一,二,线性规划的解。,和。,称为,的最佳权向量,它们是使,的效率值瓦,达到最大值的权向量注意作为线性规划的解,。和。,不是唯一的定义若线性规划的解。,满足瓦,二可。一,则称为弱有效的若线性规划的解中存在解。,为了便于检验的有效性,并且瓦,子。一,则称,为有效的一般考虑的对偶模型的等式形式带有松弛变量且具有非阿基米德无穷小口一石一二月月艺“
5、,、一,艺“,一,“一,一,其中,、一杯,朽,编是项输入的松弛变量衬,时,叮是项输出的松弛变量。一,。,。是个的组合系数。不,、,。二一,是一个很小的正数一般取一一定理设线性规划的最优解为。气一,则若,则,为弱有效的若一二且一。,、十一。,则为有效,的程序由上一节知,要计算一个的相对效率值并讨论其弱 有效性,须解一个线性规划若要计算所有,1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第期彭育威等在数据 包络分析中的应用。的相对效率值,则须解 个线性规划,其计算量比较大
6、,一般须利用计算机进行计算我们利用数学软件八编写 了解模型和的程序,比较方便地解决了的计算量大和计算复杂的问题八是 由公司用语言编写的著名的工程数学应用软件它 自年推向市场以来,历经十几年的发展和竟争,现己成为国际认可的最优化的科技应用软件目前,户已经成为世界上诸多科技领域的基本应用软件在 国内、外的很多高等院校和科研机构,已经十分普及熟练地运用以已成为高校师生及科研人员的基本技 能强大的矩阵运算能力和方便、直观的编程功能是我们选择它作为编写应用程序的原因诚然,或是解线性规划问题的专业软件,但它们缺乏方便的编程功能和矩阵输入功能,在解一系列线性规划时,它们不如方便此外,它们 的普及程度远不如八
7、丁因此,我们认为户是编写应用程序的最佳软件之一所解的线性规划的标准形式是极小化问题黔认一”,“珊其中,是变量,是目标函数的系数向量,是不等式约束的系数矩阵,是等式约束的系数矩阵,和分别是变量的下界和上界解线性规划的语句为以,如果要解极大化问题户,只须解极小化问题下面,我们给出模型和公的八程序程序模型的程序【用户输入多指标输入矩阵【用户输入多指标输出矩阵以,以,丫卜,【,一,二区,侧,解线性规划,得的最佳权向量,卜,求出的相对效率值输出最佳权向量输出相对效率值。,输出投入权向量。翎怡,输出产出权向量。程序模型的户丁程序【】用户输入多指标输入矩阵用户输入多指标输出矩阵伏,以,丫 1994-2008
8、 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/西南民族学院学报自然科学版第卷八一定义非阿基米德无穷小。一卜,七,尹十她二,口她区,一卿,二,解线性规划,得、的最佳权向量,输出最佳权向量,输出。,输出夕切恤,输出犷翎始,输出。以上两个程序分便于使用用户只须输入 多指标输入矩阵拼口输出矩阵,即可得到所需的结果程序的应用设有某大学的同类型的五个系。在一学年内的投入和产出的数据如下教职工人教职工 工资万元运转经费万元毕业的本科生人、汽,几发表的论文篇完成的科研项目项产出其中,运转经费指一学年内
9、维持该系正常运转的各种费用,如行政办公费、图书资料费、差旅费等等由程序,得到各系的相对效率值马二马“响,以及各项投入和产 出的权 向量加刀乃乃厂又、由定义,和至少是弱有效的和是非弱有效的为了确认,和的有效性并分析和非有效的原因,须利用模型刁由程序,得本问题的解 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/第期彭育威等在数据包络分析中的应用二一洲洲,刃刃,】刀峨】以,卜 洲一的刀闷 礴犯七裙广裙七田的的由以上解可看出、,和的解中。且松弛变量,一。,十,故由定理知,这几
10、个系是相对有效的和的非有效性也可 以在以上解中看得一清二楚以为例,根据有效性的经济意义,在不减少各项输出的前提下,构造一个新的一均,、一一洲一一一一一一一一夕投入产 出可使的投入按比例减少到原投入的。申倍,并且 由非零的松弛变量可知还可以进一步减少教职工工资万元、减少运转费用万元、多培养本科生加人、多完成项科研项目对的非有效性可作类似的经济解释结束语本文利用数学软件八编写了便于使用的的计算程序,使计算量大和计算复杂的问题得到较好的解决本文只对的模型进行了讨论对于的另一个重要模型一模型,只须在模型公中增加约束条件艺凡,程序 作相应的修改即可本文的程序为的理论研究和实际应用提供了方便、快捷的杯算工具参考文献日魏权龄评价相对有效性的方法北京中国人民大学出版社,盛昭瀚理论、方法与应用【北京科学出版社,一许波,刘征户工程数学应用蝴北京清华大学出版社,一,叨,巧印泊口汀 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/