在数学分析中作辅助函数解题.pdf

《在数学分析中作辅助函数解题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《在数学分析中作辅助函数解题.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、2 O O 6年 8月 第 5卷第 3期 重庆 文理学 院学报(自然科学版)J o u rna l o f C h o n g q i n g u I I i v e 耐t y o f A r t s a S c i e n c e s(N a t u r e S c i e n c e s E d i t i o n)Au g ，2 O O 6 V0 1 5 No 3 在数学分析中作辅助函数解题 江婧，田芯安(1 重庆文理学院数学与计算机科学系。重庆永川4 0 2 1 6 8；2 重庆文理学院现代教育技术中心，重庆永川4 0 2 1 6 8)摘要 以实例论述了辅助函数在数学分析 中的应用，以

2、及构作辅助函数的 7种方法 关键词 辅助函数；构造；中值定理；函数性质 中图分类号 o 1 7 2 1 文献标识码】A 文章编-1 6 7 1 7 5 3 8(2 0 0 6)0 3 0 0 1 7 0 5 奴 字 分 是 商 寺 阮 枚 甄 字 专 业 明 王 十 课 Z 一，征 甄 字 分 研 甲，尢 是 埋 论 让 明 硷 是 运 用，通 辽 嗣 建辅助函数，往往能使问题得到简化 下 面通过一些典型的题例说明辅助函数在数学分析 中的广泛 应用，并从如何构建辅助函数等方面进行一些探讨 1 辅助函数在数学分析中的应用 1 1 辅助函数在证明等式中的应用 证明等式是数学分析的重要内容之一，根据

3、等式特征引入辅助函数，将大大简化证明过程 例 迁 明 J-2+)字=J-1。+)譬 c 口 0，分析：观看等式左右两边，发现等式左右两边，函数 的自变量 和 同形，于是令“t=”，从而使 左 边 化 简 为 积 分 r t+t)孚 再 比 较 这 个 积 分 的 上 限 口 与 右 端 积 分 的 上 限 口 是 两 者 惟 一 的 区 别，因此这又提示我们分此积分为两段，得 丢 f，c t+t)了d t=丢 f t+t)字+寻 f：，c t+t)字 再 由 这 个 积 分 与 原 证 明 等 式 比 较，只 需 证 明 丢 ：，(t+了O,2)了d t=x j-t+T0,2)字 再 令“t=

4、2 ，则 得 J-t+了 2)孚=J-u+等)孚 证 明：令 2=t，则 f，(2+孚)字=1 f，(t+)字 。l f 12 t+等)字=丢 f，(t+譬)譬+丢：t+譬)字 又 令 t=，即 u：芋，丢 f：，(t+譬)字=丢 f，(u+等)警 丢 f t+了tl2)孚 f 2+tl 2)字=1，(t+)譬=丢 +譬)譬+寻 +譬)=，(+莩)=，(+譬)譬 收稿日期】2 0 0 6 0 6 1 2 作者简介】江婧(1 9 7 9一)。女，重庆大足人，助教，主要从事基础数学研究 1 7 维普资讯 http:/ 1 2 辅助函数在证明不等式中的作用 证明不等式是数学分析的重要内容之一，根据不

5、等式引入辅助函数，再利用函数性质证明不等 式 例2 设函数，()在【0，1】上连续且单调减少，证明：对任意 口(_0，1)，均有 ra l,l I f(x)tl x口 l x)d x J 0 J 0 分析：仔细观察所要证明的不等式，发现不等号主要是 由于定积分的上 限变化所致，故可以利用 变上限积分构造辅助函数，再利用导数确定该辅助函数 的单调性的方法加以证明 1 I 证明：令F(t)=1 I x)d x (0 t 1)则(t)=州一 胁：(0 因为)在【0，1】上单调减少，所 以当0 t 时，(t)；当0t 1 时，F (t)F(1)，即 丢 )，()，亦即I x)d x口 I f(x)d

6、x 1 3 利 用辅助 函数 求极 限 例 3求 【1+南+】分析：此题求数列的极限，如果直接用数列极 限的有关方法来求比较麻烦，但如果 我们利用辅助 函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题 +=骞 _ 1 _iI _ 1 +、又 )=T _ 在【0，1】上连续，从而可积，于是有：(+南+-=+)=砉 之 =。n 1 4 利 用辅 助 函数 讨 论方程 的根 解方程)=0，实质上就是求 函数 f()的零点 关于函数零点的问题一般是利用连续函数的 性质及微分中值定理来解决 例 4 已知)在 0，1 上非负连续，且 0)=f(1)=0，求证对任意实数 口(0口1)必存 在 0，1 ，使得+a

7、 0，1 ，且 o)=+a)筑析：此 题要 证 X O)=f(x o+口)，即可 证 粕)一 f(x。+口)=0 由 此 想到 可构 造一 个辅 助函 数 F()，使得 F()在点。处取得的函数值为 0，进而得证 证明：作辅助函 数F()=，()一 +口)，则有F(0)=一 口)0，从而有F(1 一口)=1 一 a)0 而 F()在 0，1一a 连续，由连续函数介值定理：存在 0，1一口 ，使得 F(。)：0，即 o)=o+a)1 5 利用辅助函数计算积分及求导函数值 有时确定被积 函数的原函数是十分困难的，若能引入适 当的辅助函数，困难就解决 了 例 5计算，：分析：此题如果直接求解比较难，

8、但如果根据定积分的特点，在定积分的被积函数里引入变量，从 而构造 出辅助 函数，再利用积分的相关知识来解决此题，就比较简单 1 8 维普资讯 http:/ 解：作 辅 助 函 数，(t)：广 ，则，：，(1)，(o)：o J 0 工+R f(，t)=和 厂。(，t)=在(o 1；o t 1)上连续，(t)满足 积分 号下 求导 数 冬件 )=1 一l n(1+t)+ll n 2+百7 r t 伽 t=南 _ ln(1 川+l ln 2+1n 2 _，(1)又(t)d t：，(1)一，(0)=，(1)，=，(1)=1 n 2 1 例6 已 知，()=I c 0 s t，求厂(0)J 0 分 析：

9、因，()=C O S t，故 被 积 函 数 c 0 s 在 点 =o 不 连 续，故 这 导 致 不 能 直 接 用 对 积 分 限 求导的公式来求 厂(0)用分部积分公式来变换被积 函数，使新的被积函数在点=0 连续是解决问题 的一个途径 解：当 0时，=一 d (s t n了1)=s in 扣+n 2；n 令 ()：f 2。stn，。；，2()：f 2 2 s n ，。；L 0，=O；L O，：0；()，2()在(一，+)上连续，且 厂。(0)=0 对一切 有：，()=()+I，2(t)d t J 0 厂(o)=厂。(o)+(t)I。=0+，2(o)=o 1 6 利用辅助函数求函数表达式

10、 例7 已知函数，()在(一，+)内满足关系式：厂()=，()，且，(0)=1，求，()分析：此题由()=，()，(0)=1，很容易想到有可能，()=e ，故构作辅助函数 F()=，再根据条 件证明 F()=1即可-解：作 辅 助 函 数 )=高，贝 IJ 为 厂()=，()，所 以 F ()=o，即 F()=c 令 =o，得 F(o】=1=c，所=1，从而有，()=e 1 7 利用辅助函数近似计算 在近似计算问题中，可以利用辅助函数，借助微分知识来解决此类 问题 例8 求e。册的近似值 分析：要求 e 的值，显然该问题即是求指数函数，()=e 在 取o 9 9 7 的函数值，故可以构造 辅助

11、函数，()，再利用近似计算公式，()=，(。)+厂(。)A x 就可以求e。嘶 的值 解：作辅助函数，()=e ，设=0+，且 0=1，=一O 0 0 3 厂()=e ，即厂(1)=e e 0。9 9 7=f()=f(x 0+)：(0)+厂(0)A x；e+e(一0 0 0 3)=2 7 1 7 5 1 9 维普资讯 http:/ 2 如何构作辅助函数 通过上面一些命题 的证明，我们可以看 出解决这些问题 的关键是如何构造出一个恰当的辅助 函 数 构作一个恰当的辅助函数并非易事，下面通过几个实例夹分析辅助函数的构造法 2 1 由果索因法 由果索因法要求认真分析问题的条件和结论，由结论倒推出所需

12、要的条件，从而找出构造的辅助 函数必须满足的条件及应具备的性质，进而构造出所需要的辅助函数(如本文的例 1、例3、例4、例6)2 2 几何推导法 几何推导法是利用问题的几何意义，再加上解析几何的有关知识 如直线方程等)来构造辅助函 数的一种方法 2 3 原 函数 法 原函数法的基本思想是：在所证明的等式中，先将这个等式变形并 且把它看成(e)=0，如果(e)=0成立，则可试作辅助函数()=F()，其中 F()表示()的一个不含积分常数的原 函数 例 9 设)在 口，6 上连续，在(口，6)内可导，0口0，F (2)=一2 e0，所以有 F (1)F (2)0，则存 在 e(1，2)，使得 F

13、(e)=0，即原式得证 2 6参数变易法 2 0 维普资讯 http:/ 参数变易法是指把要证 明的结论 中的某个参数“变易”为变量，从而构造出相应的辅助函数(如本 文的例 2、例 5)2 7 待 定系数法 此方法是建立在前面几种方法的基础上，是较复杂的方法，构造辅助函数时，对所构造的辅助函 数引入待定系数后，再根据题中所要证 明的结论“人为”地构造条件，解出辅助函数 中的待定 系数，从 而确定 出要求的辅助函数 例 1 2 设 尸()在 口，b 上存在，且 口c b，则 (口，b)，使得 铂+=-(1)一 二 十 _ 二 +=L 证明：令(1)式的左边为 k，即可证 2|i=尸()令F()=

14、I (2 k 一 尸()d x d x=I(2 k x 一 厂()+a)d x =k x 一，()+a +J9(其中，a，J9 为待定常数)m 脯 二：二 解得 【a；|i(c 一 b 2)+，(6)一，(c)(3)由(2)式和(3)式解出 k为(1)式的左边，由此可见只要选取 a满足(2)式或(3)式，而 19 任意，则 有 F()在 口，c c，b 上满足 R o l l e 定理 。故。(口，c)，使得 F (。)=0；(c，b)，使得 F ()=0 而 F ()在 。，：上满足 R o l l e 定理，则 (。，)c(a，b)，使得()=0 以上几种构作辅助函数的方法是较普遍的几种方

15、法，在解有关题 目时，可以灵 活地选择方法构作 辅助函数 参考文献 1 欧阳光 中，姚 允龙，周渊 数 学分析 M 上 海：复旦 大学 出版社，2 0 0 3 On t h e A u x i l i a r y F u n c ti o n o f Y g l i n g Qu e s ti o n i n Ma t h e ma ti c a l A n a l y s i s J NG J i n g ，T N Xi na (i O o p t o f Ma t h ma ti c s&C o mp u t e r S c ie n c e。C h o n g q in g U n i

16、v e r s i o f Ar t s a n dS c ie n c e s，Y o n g c h u a n C h o n g q l n g 4 0 2 1 6 8，力 a；2 Mo d e m E d u c a ti o n T e c h n o lo g y C e n t r e，C h o n g q i n g U n i v e r s i ty o f Ar t s a n d S n c e s。Y o n g c h u a n C h o n g q in g 4 0 2 1 6 8，C h&a)Ab s t r a c t：I 1 1 i s p a p

17、e r ma i n l y s t u d i e s t h e a p p l i c a t i o n s o f a u x i l i a r y f u n c t i o n t o e i g h t ma t h e ma t i c a l p r o b l e ms a n d t h e s e v e n me t h o d s o f a i d e d f u n c t i o n c o ns t r u c t i o n Ke y wo r d s：a u x i l i a r y f u n c t i o n；c o ns t r u c t i o n；mi d v a l u e t h e o r e m；f u n c t i o n c h a r a c t e r i s t i c s 21 维普资讯 http:/