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1、第38卷第17期2008年9月数学的实践与认识MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORYVol138No117Sep.,2008基于几何布朗运动的投资组合模型陈静1,李磊2,倪明放2(1.金陵科技学院 公共基础课部,江苏 南京211196)(2.解放军理工大学 通信工程学院,江苏 南京210007)摘要:在证券的价格过程是几何布朗运动的前提下,建立了最优投资组合的多目标规划模型,使得投资收益最大和投资风险最小,并利用线性加权和法求得有效解.最后用实例进行分析.关键词:多目标规划;投资组合;几何布朗运动1引言收稿日期:2006212214基金项目:江苏省高校自
2、然科学基金(06KJD110068)投资人员在风险市场中进行投资,本质上是在不确定的收益和风险程度中进行选择1,2.美国经济学家M arkow itz在1952年提出的投资组合理论3可以有效地指导投资人员在风险市场中降低风险水平,增加收益水平.该理论包含两个重要内容:1)均值、方差分析方法.均值是指投资组合的期望收益率,它是单个证券的期望收益率的加权平均值,权重为相应的投资比例.方差是指投资组合收益率的方差,显示投资组合的风险大小.2)投资组合的有效边界模型.也就是做一个理性投资者,采取在给定的期望风险水平下对期望收益进行最大化,或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化.布朗运动用来描述散
3、布在液体或气体中微粒的不规则运动.20世纪初,法国数学家Bachelier用布朗运动来建立股票和商品价格运动的模型.但股票价格非负,后来用几何布朗运动来建立模型,一旦模型参数确定后,预测未来价格只与当前价格有关,而与过去的价格无关.本文第二部分在假设证券的价格过程服从几何布朗运动的前提下,建立了最优投资组合的多目标规划模型,第三部分给出了模型的一个算法,第四部分进行了实例分析.2投资组合模型假定投资者选择市场上的n种风险证券进行投资,其投资组合向量为x=(x1,x2,xn),xi0(i=1,n),x1+x2+xn=1.记Si(t)为证券i在t(0t+)时刻的 价格,并设此价格过程是漂移参数(d
4、rift parameter)为 i,波 动 参 数(volatilityparameter)为 i的几何布朗运动4.记Zi=lnSi(T)Si(0),则Zi服从均值为 iT,方差为 2iT的正态分布.可知时刻0到时刻T之间证券i的收益率Ri为Ri1Si(0)Si(T)-1记证券i的收益率Ri的均值为E(Ri),方差为D(Ri),则E(Ri)=ESi(T)Si(0)-1=E(eZi)-1=expiT+2iT?2-1D(Ri)=DSi(T)Si(0)=D(eZi)=E(e2Zi)-(E(eZi)2=exp2iT+22iT-(expiT+2iT?2)2=exp2iT+22iT-exp2iT+2iT
5、在时刻0到时刻T之间该投资组合总收益率R为R=ni=1xiRi记其均值为E(R),方差为D(R),则E(R)=E(ni=1xiRi)=ni=1xiE(Ri)D(R)=D(ni=1xiRi)=ni=1D(xiRi)+ni=1jiCov(xiRi,xjRj)=ni=1x2iD(Ri)+ni=1jixixjc(i,j)其中c(i,j)=Cov(Ri,Rj).在时刻0到时刻T之间,投资者总是希望选择一组证券组合(x1,x2,xn),使得投资收益最大和投资风险最小5.因此,可以建立如下的多目标投资组合模型:maxE(R)=ni=1xiE(Ri)m inD(R)=ni=1x2iD(Ri)+ni=1jixi
6、xjc(i,j)s.t.ni=1xi=1xi0,(i=1,2,n)其中第一个约束表示投资者将其资金全部投资到n种证券中去,第二个约束表示不允许卖空,这一点符合中国股票市场的实际.3多目标规划模型算法对于上述建立的多目标规划问题,可以用如下的线性加权和法求得有效解,其算法步骤如下:第一步:作出单目标函数u(x)=2E(R)-1D(R),权系数 1,2的初始值均为0.5,p=1.第二步:求解单目标规划问题maxu(x)=2E(R)-1D(R)s.t.ni=1xi=1xi0,(i=1,2,n)5217期陈静,等:基于几何布朗运动的投资组合模型设其最优解为x3,计算E(R)和D(R)即可分别得到x=x
7、3时投资者的最大期望收益和最小风险.若决策者对此指标满意,停止计算;否则,转入第三步.第三步:投资者若希望期望收益更大些,则将 2调整为 2+12p+1,同时 1调整为 1-12p+1;若希望风险更小些,则将 1调整为 1+12p+1,同时 2调整为2-12p+1.p=p+1,转入第二步,继续计算.4实例分析选取上证A股4种股票,它们分别处于不同的行业和板块中,近似估计出其价格过程的漂移参数和波动参数如表1:表14种股票价格过程的漂移参数和波动参数股票i1234漂移参数 i0.120.060.010.05波动参数 i0.60.30.40.2假设4种股票的价格的波动互不影响,相互独立,即Cov(
8、Ri,Rj)=0(i,j=1,4且ij).并设T=1,由上面数据可得E(R1)=0.3499,E(R2)=0.1107,E(R3)=0.0942,E(R4)=0.0725,D(R1)=0.7896,D(R2)=0.1162,D(R3)=0.2077,D(R4)=0.0469.由此建立多目标规划模型:max0.3499x1+0.1107x2+0.0942x3+0.0725x4m in0.7896x21+0.1162x22+0.2077x23+0.0469x24s.t.x1+x2+x3+x4=1xi0(i=1,2,3,4)用上述算法对该模型编程求解,得到了满意的有效解.可知 2的数值越大,说明投资
9、者越重视期望收益,2的数值越小,说明投资者越厌恶投资风险.下面给出几组 2取不同值时的有效解如表2:表2多目标规划模型求解结果2x1x2x3x4u(x)E(R)D(R)0.000.0350.2390.1340.592-0.0280.0940.0280.1250.0580.2490.1340.559-0.0120.1010.0280.250.0880.2630.1340.5150.0050.1100.0300.500.1970.3100.1330.3600.0450.1420.0520.750.5120.3900.09900.1170.2310.2260.87510000.2070.3500.7
10、9062数学的实践与认识38卷5结束语本文在假设证券的价格过程服从几何布朗运动的前提下,讨论了从时刻0到时刻T一个较短时期内的最优投资组合问题,建立了多目标规划模型.而对于多个时期的投资组合问题,也可以建立适当的模型,并作进一步的讨论.参考文献:1John C Hull,张陶伟译.期权,期货和其它衍生产品M.北京:华夏出版社,2000.2欧阳光中,李敬湖.证券组合与投资分析M.北京:高等教育出版社,1997.3M arkow itz H M.Portfolio selectionJ.Journal of Finance,1952,7(1):77291.4Ross SM,陈典发,等译.数理金融初
11、步M.北京:机械工业出版社,2005.5郭存之,董青春.国内证券投资组合模型研究J.北京航空航天大学学报,2000,13(3):19223.The PortfolioM odel Based on Geometric Brown ian M otionCHEN Jing1,L IL ei2,N IM ing2fang2(1.Jinling Institute of Technology Public Basic Course Department,N anjing 211196,China)(2.Institute of Communications Engineering,PLA U niv
12、ersityof Science and Technology,N anjing 210007,China)Abstract:On condition that price process is geometric Brownian motion,a multi2objectiveprogramm ing model for the portfolio investment is established bym ini m izing the risk and maxi2m izing the return.A n illustrative example is given to demonstrate the feasibility and effective ofthe presented model.Keywords:multi2objective programm ing;portfolio;geometric Brownian motion7217期陈静,等:基于几何布朗运动的投资组合模型