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1、自回归模型的自回归分析及其应用吕效国a*,王金华a,马阿芹b,索淑文a(南通大学 a.理学院;b.杏林学院,江苏 南通 226007)摘?要:将线性回归分析推广到 7 种自回归模型的自回归分析,获得自回归模型参数的估计公式、估计标准误公式、变量的区间估计公式、总体自回归系数的检验统计量.通过实例分析论证了自回归模型的应用.关键词:自回归模型;自回归分析;非线性中图分类号:O 213?文献标志码:A?文章编号:1007?824X(2010)03?0031?03近年来,M?LLER 1,KARGIN 2,YANG 3,LUIZ 4,GUPTA 5等人分别介绍了线性自回归模型在物流、经济预测、决策、
2、财政、货币政策等领域的极其广泛的应用.实际上,大量的社会经济问题的模型均呈现非线性形式,因此探讨非线性自回归模型的自回归分析显得非常重要.为此,本文将线性回归分析推广到 7种自回归模型(其中有 6 种非线性自回归模型)的自回归分析,同时用实例加以论证.引理?已知统计资料(x,y)=(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),若建立线性回归方程 y=a+bx+?,则b=n xy-x y/n x2-x2,a =n-1 y-b x 6;估计标准误为 Syx=y2-a y-b xy/(n-2)7;当 x=x0时,y 0=a +bx0,y 的平均值的置信区间为y 0!t(n-2)?/2Syxn-
3、1+n(x0-?x)2/n x2-x2 8;在显著水平?下检验是否具备总体线 性关 系 Y=?+X+?,就是 判断 是 否拒 绝 H0:=0,则 检 验统 计量 为 t=b/Syx x2-n-1 x2 t(n-2)(?/2)9.1?线性自回归模型已知时间序列 xt,若建立线性方程 xt=a+bxt-1+?,则由引理知 xt-1 x,xt y,得b=(n-1)ni=2xi-1xi-ni=2xi-1 ni=2xi(n-1)ni=2x2i-1-ni=2xi-12,a =ni=2xi-b ni=2xi-1/(n-1),Sxtxt-1=ni=2x2i-a ni=2xi-b ni=2xi-1xi/(n-3
4、),x n+1=a +bxn,xn+1的平均值的置信区间为x n+1!t(n-3)?/2Sxtxt-1(n-1)-1+(n-1)xn-(n-1)-1 ni=2xi-12(n-1)ni=2x2i-1-ni=2xi-12.在显著水平?下检验是否具备总体线性关系Xt=?+Xt-1+?,就是判断是否拒绝 H0:=0,则由引理知 Xt-1 X,Xt Y,xt-1 x,xt y,得检验统计量为收稿日期:2009?12?28基金项目:国家自然科学基金资助项目(A011601);江苏省高校自然科学基金资助项目(07KJB110090);南通大学教学成果培育建设项目;南通大学学生课外学术科技作品(创业计划)项目
5、*联系人,E?mail:lxg19631004 第 13 卷第 3 期扬州大学学报(自然科学版)Vol.13 No.32010 年 8 月Journal of Yangzhou U niversity(Natural Science Edition)Aug.2010t=b/Sxtxt-1 ni=2x2i-1-(n-1)-1 ni=2xi-12 t(n-3)(?/2).2?非线性自回归模型已知时间序列xt,若建立幂函数方程 xt=axbt-1exp?,取对数 ln xt=ln a+b ln xt-1+?10,则由引理知,ln xt-1 x,ln xt y,ln a a,得b=(n-1)ni=2l
6、n xi-1ln xi-ni=2ln xi-1 ni=2ln xi(n-1)ni=2ln2xi-1-ni=2ln xi-12,a =ni=2ln xi-b ni=2ln xi-1/(n-1),Sln xtln xt-1=ni=2ln2xi-a ni=2ln xi-b ni=2ln xi-1ln xi/(n-3);x n+1=a x bn,xn+1的平均值的置信区间为x n+1!t(n-3)(?/2)Sln xtln xt-1(n-1)-1+(n-1)ln xn-(n-1)-1 ni=2ln xi-12(n-1)ni=2ln2xi-1-ni=2ln xi-12.在显著水平?下检验是否具备总体幂函
7、数关系Xt=?X t-1exp?,取对数ln Xt=ln?+ln Xt-1+?,就是判断是否拒绝 H0:=0,则由引理知,ln Xt-1 X,ln Xt Y,ln xt-1 x,ln xt y,得检验统计量为t=b/Sln xtlnxt-1 ni=2ln2xi-1-(n-1)-1 ni=2ln xi-12 t(n-3)(?/2).若建立指数函数方程 xt=a exp(bxt-1+?)11,取对数 ln xt=ln a+bxt-1+?,则由引理知,xt-1 x,ln xt y,ln a a,得 b=(n-1)ni=2xi-1ln xi-ni=2xi-1 ni=2ln xi(n-1)ni=2x2i
8、-1-ni=2xi-12,a =exp ni=2ln xi-b ni=2xi-1/(n-1),Sln xtxt-1=ni=2ln2xi-ln a ni=2ln xi-b ni=2xi-1ln xi/(n-3);x n+1=a exp(bxn),xn+1的平均值的置信区间为x n+1!t(n-3)(?/2)Sln xtxt-1(n-1)-1+(n-1)ln xn-(n-1)-1 ni=2xi-12(n-1)ni=2x2i-1-ni=2xi-12.在显著水平?下检验是否具备总体指数函数关系 Xt=?exp(Xt-1+?),取对数 ln Xt=ln?+Xt-1+?,就是判断是否拒绝 H0:=0,则由
9、引理知,Xt-1 X,ln Xt Y,xt-1 x,ln xt y,得检验统计量为t=b/Sln xtxt-1 ni=2x2i-1-(n-1)-1 ni=2xi-12 t(n-3)(?/2).若建立对数方程 xt=a+b lg xt-1+?,则由引理知,lg xt-1 x,xt y,得 b=(n-1)ni=2xilg xi-1-ni=2lg xi-1 ni=2xi(n-1)ni=2lg2xi-1-ni=2lg xi-12,a =ni=2xi-b ni=2lg xi-1/(n-1),Sxtlg xt-1=ni=2x2i-a ni=2xi-b ni=2xilg xi-1/(n-3);x n+1=a
10、 +b lg xn,xn+1的平均值的置信区间为x n+1!t(n-3)(?/2)Sxtlg xt-1(n-1)-1+(n-1)xn-(n-1)-1 ni=2lg xi-12(n-1)ni=2lg2xi-1-ni=2lg xi-12.32扬州大学学报(自然科学版)第 13卷在显著水平?下检验是否具备总体对数函数关系Xt=?+lg Xt-1+?,就是判断是否拒绝 H0:=0,则由引理知,lg Xt-1 X,Xt Y,lg xt-1 x,xt y,得检验统计量为t=b/Sxtlg xt-1 ni=2lg2xi-1-(n-1)-1 ni=2lg xi-12 t(n-3)(?/2).若建立双曲线方程
11、xt=a+b/xt-1+?12,则由引理知,x-1t-1 x,xt y 即可.若建立倒数指数函数方程 xt=a exp(b/xt-1+?)13,取对数 ln xt=ln a+b/xt-1+?,则由引理知,x-1t-1 x,ln xt y,ln a a即可.若建立 S 型曲线方程 xt=a+b exp(-xt-1)+?-1 14,则由引理知,exp(-xt-1)x,x-1t y 即可.3?实例分析南通市某民营企业 1992 2009 年利润分别为 100,102,105,106,111,123,136,148,166,174,189,191,193,194,198,200,200,202万元(注
12、:数据来源于南通市统计局调研科,且经过四舍五入的取整处理).通过取坐标(xt-1,xt)作散点图,发现该实际问题应建立对数函数自回归模型进行自回归分析.利用 SAS9 0 统计分析软件得主要结果为:xt=326 953 9 lg xt-1-547 974 8+?t,Sxtlg xt-1=3 33,x 2009=204.即该民营企业 2010 年税后利润估计为 204 万元;x2009的平均值的置信水平?=0 05 的置信区间为 200 56,207 44,即有 95%把握估计该民营企业 2010 年税后利润的平均水平在 200 56 207 44 万元之间;在显著水平?=0 05 下检验是否具
13、备总体对数函数自回归关系Xt=?+lg Xt-1+?:H0:=0,H1:#0,t15,0 025=2 49,检验统计量为 t=92 74 2 49,拒绝 H0,有 95%把握可以认为该民营企业税后利润前后期数值在总体上存在对数函数自回归关系.参考文献:1?M?LLER U U,SCHICK A,WEFELMEYER W.Estimators for alternating nonlinear autoregression J.JMultivariate Anal,2009,100(2):266?277.2?KARGIN V,ONATSKI A.Curve forecasting by func
14、tional autoregression J.J Multivariate Anal,2008,99(10):2508?2526.3?YANG Xiao?rong,ZHANG Li?xin.A note on self?weighted quantile estimation for infinite variance quantile au?toregression models J.Stat&Probab Letts,2008,78(16):2731?2738.4?LUIZ R L,WAGNER P G,RAQUEL M B S.Debt ceiling and fiscal susta
15、inability in Brazil:a quantile autore?gression approach J.J Dev Econ,2008,86(2):313?335.5?GUPT A R,MARIUS J,ALAIN K.T he effect of monetary policy on real house price growth in South Africa:afactor?augmented vector autoregression(FAVAR)approach J.Econ Modelling,2010,27(1):315?323.6?钱峰,石丽娟.数据删除模型对于广义
16、岭估计的影响 J.南通大学学报:自然科学版,2008,7(1):75?78.7?王娟,陆志峰.一般 型逐步删失下对数正态模型的近似极大似然估计 J.南通大学学报:自然科学版,2008,7(1):82?87.8?赵为华,李泽安.AR(1)误差的非线性随机效应模型的参数估计 J.南通大学学报:自然科学版,2008,7(2):82?84.9?郭晓君,李大治.一类具有预防接种且带隔离项的 SIQR 传染病模型的稳定性分析 J.南通大学学报:自然科学版,2008,7(4):87?93.10?张晖.一类具有种群变动的传染病模型的稳定性 J.南通大学学报:自然科学版,2009,8(2):81?84.11?郭
17、畅.基于 Copula 函数的证券基金与股价指数的尾部相关性分析 J.南通大学学报:自然科学版,2009,8(2):85?90.12?金晶亮.非线性测量误差模型的 Bayes 估计 J.南通大学学报:自然科学版,2009,8(2):91?96.13?李泽安,葛建芳,章雅娟.Beta 回归模型在数据挖掘预测中的应用 J.南通大学学报:自然科学版,2009,8(3):83?85.14?郭海,郭毓.一类线性时变系统模型参考自适应迭代学习辨识 J.南通大学学报:自然科学版,2009,8(4):1?9.(下转第 57 面)33第 3 期吕效国等:自回归模型的自回归分析及其应用 3?ELMANSORI M
18、,IORDACHE V,SEITIER P,et al.Improving surface wearing of tools by magnetization whencutting dry J.Surface&Coatings T ech,2004,188/189(7):566?571.4?CHIN K J,ZAIDI H,NGUYEN M T,et al.T ribological behavior and surface analysis of magnetized slidingcontact XC48 steel/XC48 steel J.Wear,2001,250(1):470?4
19、76.5?BAT AINEH O,KLAMECKI B,KOEPKE B G.Effect of pulsed magnetic treatment on drill wear J.J MaterProces Tech,2003,134(2):190?196.6?BI H Y,WANG Z J.Wear of medium carbon steel in the presence of Nd?Fe?B permanent magnetic field J.Mater Lett,2003,57(11):1752?1755.7?徐永智,邱明,张永振.直流磁场条件下 45 钢干滑动摩擦磨损性能的研究
20、 J.润滑与密封,2008,33(2):64?68.8?商剑,张永振,丘明,等.直流稳恒磁场对 45 钢摩擦磨损性能的影响 J.材料工程,2009(11):4?7.9?KUMAGAI K,TAKAHASHI M,KAMIYA O.Wear behavior in the presence of magnetic fields for pin?on?discrepeated dry wear tests J.Tribology Int,1992,25(2):91?98.10?董祥林,简小刚,毕红运,等.磁场对中碳钢滑动摩擦磨损的影响 J.金属学报,1999,35(6):577?580.Frict
21、ion and wear characteristics of 45 steel in permanent magnet fieldJIANG Da?wei*,LIU Kun(Sch of Mech Engin,Yangzhou Univ,Yangzhou 225127,China)Abstract:By increasing or decreasing the number of permanent magnets to control the intensity ofthe magnetic field,the effect of magnetic field on the frictio
22、n and wear properties of 45 steels is ana?lyzed.Experiment results show that under the same time of wear and load conditions,comparedwith no magnetic field,the wear of 45 steel samples is significantly lower with a magnetic field,andthe wear volume decreases with the increase of magnetic field stren
23、gth.Microscopic analysis showsthat on 45 steel friction pair surface of the sample more oxide films are generated are in the magneticfield.T he magnetic field directly promotes the oxidation of friction and wear debris surface there?fore reduces the wear.Keywords:45 steel;magnetic field;oxide;wear(责
24、任编辑?贾慧鸣)(上接第 33 面)Auto?regression analysis and its application in auto?regression modelL?Xiao?guoa*,WANG Jin?huaa,M A A?qinb,SUO Shu?wena(a.Sch of Sci;b.Sch of Xinglin,Nantong Univ,Nantong 226007,China)Abstract:T his article extends linear regression model to seven kinds of autoregressive models of
25、re?gression analysis.T he auto?regression model parameters estimation formula,the estimation stand?ard error formula,the variable interval estimation formual and the overall test statistics regressioncoefficients are obtained.T he application of autoregressive models is demonstrated by the case anal?ysis.Keywords:auto?regressive model;auto?regression analysis;nonlinear(责任编辑?时?光)57第 3 期蒋大伟等:45钢在永磁体磁场作用下摩擦磨损的特性