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1、青年专号1 989年6月蒙 自师专学报Jo u r nalofMengziTe aehe r s声Instit“teVol。6J“nN。1198 9分析中考数学中的四点共圆关赵宏伟(弥勒一中)摘要四点共 国问题充分体 现了直线形的园内接四边 形与圆的 密切联系,通常还 融 会了直线形和 圆的一些重要性质。通 过 讨四点共圆问题的学习,可以提高分析问题、解决问题和 综 合运用的能力。在几年的中考中,均出现 了关于圆的综合题,我认为其目的是:首先检查考生掌握圆的一部分知识情况,其次着重检查考生综合运用知识的能力。云南省在这两年关于 圆的综合题的证明中,都可以通过四点共圆进行证明,足见四点共圆的重要
2、性。例1.已知:00与O产外切于P,过P点作直线交00与00于A、B,A C是00的弦,过B点作00尸的切线交A C的延长线于D,求证:A PA B二ADA C(1987年云南省中考试题)分析:要证等积式A.PAB二A CAD,则须证:点P、B、D、C共圆。于是连结P C,得到四边形P BD C.又 因为 00与00尹外切于P,两圆相切常作它们的公 切线。不帝1 9 89年3月1 2日收至.1妨过点P作内公切线P E,交B D于点E.又 因BD切00产于点B,联想到切线长定理,E B=EP,所以艺1=乙B。而对顶角乙1=匕2,弦切角 乙2=乙3。.于是 乙3二乙B,即四点P、B、D、C共圆。再
3、由割线定理,命题得证。(证明略)下面例均省去证明过程。例2.已知:ABC D是矩形,延长AD到E,使A E二AB,F是AB上一 点,延 长BC到G,使CG二AF,EF交DG于H,求证:匕DHB=90 0.(1988年云南省中考试题)乡,气r.吧,召留时 仪分析:令E F交CD于点P,由于四边形A B CD是矩形,所以匕DCG二90 0,要证乙DH E=9 0。,考虑四点P、C、G、H共 圆,须证乙1=乙G.因为乙1二匕2(两直线平行,内错角相等),于是只须证乙2二G,这个结论 可以通 过证RtA EF丝RtC D G得到。例3。如图,A B C中BC边上的高AD延长线交外接圆于G,DH二D G
4、,BH的延长线交A C于E,求证:(z)BE土A C,(2)AHDG=BHHE.(298 8年云南省中考试 题)分析:(1)因为匕A DC=Rt乙,要证AE土A C,只须证四点D、C、E、H共圆,于是转化为证乙1=乙C。又因为DH=D G,BD土HG,所以连结BG,则BGH是 等腰三角形,乙1二乙G,而乙C=乙G,故乙1二乙C(2)要证:AHoD G二B HHE,只须证RtAH EoRtBHD由此可见,圆与四边形是比较重要的,在其它省市也出现 了 这方面的证 明题。例4.如图,两圆相交于A、B,从一 圆上一点P引直线P A,P B,交另一圆于C,D,过P作P H土CD交于H,则PH必须过 圆P
5、 AB(即过P、A、B三点的圆)的圆心。(一九八七年宁波中考试题)分析:令PH交圆PAB于Q,要证PH过圆PAB的圆心,只须证PQ为 圆PAB的直径。连结AQ,则证乙PAQ=Rt乙,在四边形AQH C中,PH土C D,故只须证四点A、Q、H、C共圆,于是转化为证匕1二艺C。两圆相交常公共弦,不妨连结AB,则四点A、B、C、D共圆,乙2=匕C,在圆P A B中,/1二乙2,故乙1二乙C.例5.如图,A D是圆的直径,l是过D点的切线,割线AB、A C交l于点B、C,交圆于点E、F,(1)求证:A EAB=AFAC,(2)如果使直线1向上平行移动成为圆的割线,而A B、AC与1仍交于点B、C,与圆
6、仍交于点E、F,那么等式A EAB二A FA C是否仍成立?为什么?(19 8 6年杭州市 中考试题)A水以二经才分析:(1)要证AEA B=AF.AC,则证四点B、C、F、E共圆。连结EF,证乙1=匕2,再连结E D,则乙1=艺3,又 因为A D为直径,1切圆于D,所以,匕2+乙4=90“,乙3+乙4二900,乙2“乙3,即乙1=乙2。(2)如下 图,当1向上平移时,等式AEA B=A FA C是否成 立,则探索四点E、F、C、B是 否共圆。因为1为 平移,所以1上A D,连结E F,D F,则乙1+乙2二Rt匕,匕D+乙2=tR乙,故乙1二乙D,又艺E二乙D,因此匕1二乙E,四边形B C
7、F E内接于圆,等式仍能成立。例6.如 图,00与00,相交于A、B两点,O过 00,的圆心O,过A作直线分别交两 圆于C、D,连结CB,求证C D=CB.198 6年南京市中考试题)分析:因为四点A、C、B、01共圆,连结0,A,0,B,再连结O,C,O,D.通过观察,要证e l)二CB,则证BO:C望DO,C。弦O,A二O工B,所以匕l二乙2,又因为OID二OIA,匕3一乙D,而 乙3二艺B(四点共 圆),故乙B二/D,从而 BO:C望么D O,C,于是命题 得证。8 0AN ALY SIN GTH EQUESTIO NTHATFOURPOIN TSCOEX ISTWITHACIRCL E
8、INMA THEMATICSP APEROFTHEMID D LEUNIFE DST ATETESTZhaoHongwei(T heFirstSeniorMid d leSehool,Milei)ABS TR AC TT heq、lestionthatfourpointse oe xistwithaeirelegive sfullyexpres siontor elationbetweenins e ribedquadrilatedandtheeir ele.Thatquestionals oeontainss omeimportantpropertie sofstr aightlineandeirele.50,studingthatquestioneandevelopstude nts,abilityofanalysing、solvin必pr oblemsandsynthetie alap ple s.8 1