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1、第 卷第期 年月防灾减灾工程学报 基于区间有限元方法的边坡稳定性分析胡谢飞，陈征宙，张明瑞，王双，黄彬彬（南京大学地球科学与工程学院，南京 ）摘要：在边坡的稳定性分析中，岩土体物理力学参数取值具有一定的区间性。以区间变量表示工程中的不确定性量，将区间数学与有限元方法结合起来，采用区间有限元法对边坡稳定性进行不确定分析。在潜在滑动面信息已知的前提下，在传统确定性有限元程序的基础上，编制区间有限元程序，计算边坡的位移、应力和应变区间，并且基于剪应力破坏准则的安全系数定义法求解安全系数区间。通过工程算例，并与传统的 法计算结果进行对比分析，验证了该方法的可行性和有效性。在此基础上，进一步探讨了岩土参
2、数区间的变异性对边坡安全系数区间的影响，结果表明，重度、粘聚力及内摩擦角区间对安全系数区间的影响较大。关键词：区间有限元；边坡稳定性；区间变量；安全系数中图分类号：文献标识码：文章编号：（），（，）：，：；收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）资助作者简介：胡谢飞（），男，硕士。主要从事边坡工程与基坑工程方面的研究。：通讯作者：陈征宙（），男，教授。主要从事边坡工程方面的研究。：引言边坡稳定性评价是岩土工程领域的重要工作之一。目前边坡稳定性分析中广泛使用的方法是极限平衡方法和数值计算方法，这些方法均是采用确定性参数进行计算求解。事实上，由于工程中存在随机性（）、模糊性（）以及
3、未确知性（）等不确定因素，岩土体材料的参数具有一定的模糊性和区间性。因此，非常有必要引入区间不确定性分析模型来对边坡进行稳定性分析评价。本文基于参数的区间不确定性编制区间有限元分析程序，以实现对边坡稳定性的分析评价。近年来，区间有限元法在结构分析和岩土工程领域有较多的研究和应用。等，考虑工程中的不确定性，建立了各种区间有限元，但是他们的 工 作 仅 局 限 于 使 区 间 和 数 值 结 果 尽 量 变 窄。等利用模糊集理论和区间数运算法则，建立了区间有限元分析方法，计算了由于几何和荷载的不确定性而引起的不同结构系统的响应。邱志平等把摄动方法引入到区间结构分析中，提出了区间有限元计算的摄动方法
4、，并且提出了针对区间劲度矩阵和区间荷载向量的子区间摄动方法。邵国建等将区间有限元方法应用于抗滑稳定性分析，得到了整体抗滑安全系数区间。能肖文提出了基于区间参数子区间的方法和基于单元劲度矩阵子区间的摄动方法，并应用于工程隧道的计算，得到了位移及锚杆轴力区间。在基于区间有限元的边坡稳定性评价中，区间有限元法的核心问题在于区间有限元控制方程的求解、区间扩张问题的解决及安全系数区间的获取。喻和平等（文献），总结了区间有限元控制方程的求解方法，根据基于单元的区间参数的摄动方法，编制区间有限元程序，得到了节点位移、应力和应变的区间值以及基于应力水平的安全系数区间。该方法求解得到的数值结果区间被扩大，并不是
5、完全意义上的精确解。借助于计算机的高速运算能力，本文对参数在区间范围内根据一定步长进行搜索赋值，在确定性有限元的基础上形成区间有限元程序进行求解，以此得到计算结果区间，并在假定滑动面的基础上，求解出基于剪应力定义法的安全系数区间。以安徽铜北某挖方边坡为例，进行了工程实例分析验证，并进一步对相关参数进行了敏感性分析。区间有限元控制方程在有限元位移法中，位移控制方程为 （）式中为整体劲度矩阵，为整体结点荷载向量，都是输入变参量（包括几何尺寸、岩土材料参数等）列矩阵的函数；为位移向量。岩土体材料参数及荷载为区间数，输入的参变量均为区间向量：烅烄烆烍烌烎（，）（，）（，烅烄烆烍烌烎）（）式中为岩土参数
6、变量的个数；、分别为参数向量的下、上边界向量，其区间均值为（）（）因此，有限元支配方程中的、亦为区间数，其对应的位移解也是区间值。将整体劲度区间矩阵、整体结点荷载区间向量和位移区间向量分别用区间变量、和来表示，所形成的区间有限元控制方程为（）由此，可通过区间线性有限元方程组的解法来求得边坡系统中所有单元各个节点的位移区间，进而求解得到应力区间以及应变区间。基于剪应力的安全系数定义法在有限元计算得到边坡各单元节点的位移、应力值的基础上，引入圆弧滑动面的概念。已知边坡的潜在滑动面后，借鉴刚体极限平衡条分法的原理，以潜在滑动面上的任意一个有限单元体为研究对象，进行平面应力状态的分析，见图。设此单元体
7、的底部边长为，该边与水平线的夹角为。根据有限元计算结果，插值求出该边长所在单元的水平方向应力、竖直方向应力 以及剪应力 ，由微单元应力的物理平衡关系，推导出作用在该段滑动面上的法向应力 和切向应力：防 灾 减 灾 工 程 学 报第 卷图滑动面微单元体的平面应力状态 （）烅烄烆（）根据 强度理论和毕肖普对滑坡稳定安全系数的传统定义，滑面上每一单元体的安全系数等于该单元体底部的抗剪强度与剪切应力的比值：（）基于剪应力破坏准则的安全系数定义法，将边坡安全系数定义为潜在滑动面上各段抗剪力之和与其剪切力之和的比值。累加求沿着滑动面总的剪切力和抗剪力，边坡的安全系数为（）（）式中、分别为边坡滑动面第单元体
8、的粘聚力、内摩擦角；、分别为滑动面单元体底部边长的法向应力、剪切应力；为滑动面单元体的底部边长。程序编制采用三角形三节点单元编制区间有限元程序。根据区间数学的基本理论，在具备岩土体边坡潜在滑动面信息的前提下，在传统的确定性线弹性有限元程序的基础上加以修改，从而形成区间平面有限元程序。程序的实施步骤：（）依次对各参数在区间内按一定的步长进行搜索赋值，形成岩土体参数的各种组合；（）对于每一种参数组合进行传统的确定性有限单元法计算，得到各组参数下的位移、应力、应变及基于剪应力定义法的安全系数的确定值；（）对每组计算结果进行比较，得到位移区间矩阵、应力区间矩阵和应变区间矩阵，以及安全系数区间上、下端点
9、。具体程序编制流程详见图。图区间有限元程序编制流程 算例分析以安徽铜北某变电站挖方边坡为例，该边坡高为 ，边坡坡度 。该边坡地层自上而下为：粉质粘土：棕红色，稍湿，硬塑，切面光滑，混卵石，粒径约 ，含量约为，含铁锰质氧化物，夹有白色高岭土条纹；卵石：杂色，密实，次圆，不均 匀，粒 径 约 ，粘 性 土 含 量 约 为。边坡岩 土 体 材 料 区 间 有 限 元 计 算 参 数 见表。表区间有限元计算参数 材料类型 （）（）粉质粘土，卵石，搜索步长 注：、分别为岩土材料的弹性模量、重度、粘聚力、内摩擦角及泊松比采用三角形三节点单元，建立平面应变问题的有限元分析模型，如图所示。由编制的区间有限元程
10、序进行计算，坡面节点水平位移区间及其第期胡谢飞等：基于区间有限元方法的边坡稳定性分析变异系数、竖直位移区间及其变异系数的计算结果见表，滑动面单元的方向应变区间、方向应变区间、剪应变 区间及水平应力区间、竖直应力区间、剪应力 区间的计算结果见表、表。图区间有限元计算模型 表坡面节点的位移区间 节点号区间区间 ，表滑动面单元的应变区间 单元号区间区间 区间 ，表滑动面单元的应力区间 单元号区间 区间 区间 ，防 灾 减 灾 工 程 学 报第 卷续表单元号区间 区间 区间 ，不同计算条件 及 区间 有限 元 法 和 圆 弧 滑 动法 的安全系数计算结果见表。表边坡安全系数 区间有限元法圆弧滑动法（法
11、）安全系数区间 ，区间均值下的安全系数 由表表可以看出，参数的区间化对边坡位移、应力、应变及安全系数有一定的影响，部分单元和节点数值区间结果的区间离差和变异系数比较大，安全系数也表现出这一特点。此外，对于安全系数，区间有限元法得到的安全系数区间的上、下端点均大于 法对应的上、下端点，区间均值下的安全系数亦是如此。种方法所得安全系数区间的离差比较接近。种计算方法原理上的差异、滑动面的不同，以及采用区间有限元法时网格划分的疏密，是导致区间有限元方法计算的安全系数大于 法得到的安全系数的原因。通过大量的工程实例，对区间有限元法进行改进，或者形成其特有的边坡稳定性评价标准，才能促使区间有限元法真正运用
12、于工程实践。表为种方法计算的区间端点安全系数及其对应的材料参数。由表可知，区间有限元法所得安全系数区间的上端点，对应粉质粘土、的上端点，粉质粘土的下端点，卵石的上端点，卵石、的下端点；安全系数区间的下端点，对应粉质粘土、的上端点，粉质粘土、的下端点，卵石、的上端点、卵石的下端点。由此表明，在岩土体材料参数为端点值时，边坡安全系数才可能为端点值，说明端点组合法（文献）在一定条件下的合理性。表安全系数及其对应的材料参数 安全系数粉质粘土卵石 （）（）（）（）备注 区间有限元法安全系数上端点 区间有限元法安全系数下端点 区间有限元法在区间均值下的安全系数 法 安 全 系数上端点 法 安 全 系数下端
13、点 法 在 区 间均值下的安全系数第期胡谢飞等：基于区间有限元方法的边坡稳定性分析敏感性分析安全系数的变异系数的变化在一定程度上反映了安全系数区间的变化特征。在其他参数取区间均值的条件下，通过分别研究岩土体区间参数弹性模量、泊松比、重度、粘聚力及内摩擦角等变异系数的变化对的影响，以此进行敏感性分析。所得结果见图图。图图显示，岩土体材料区间参数的变异系数与安全系数区间的变异系数呈现明显的线性关系。弹性模量、泊松比、重度、粘聚力、内摩擦角的变异系数 对的 敏 感 度，依 次 为 、。由此表明，对边坡安全系数影响比较显著的岩土体材料的物理参数为重度、粘聚力及内摩擦角，而弹性模量、泊松比的影响较小。图
14、区间弹性模量的变异系数与的关系曲线 图区间泊松比的变异系数与的关系曲线 图区间重度的变异系数与的关系曲线 图区间内摩擦角的变异系数与的关系曲线 图区间粘聚力的变异系数与的关系曲线 结论针对边坡稳定性分析评价中物理力学参数的不确定性，将相关参数用区间数表示，采用区间数学与有限元结合形成的区间有限元方法进行边坡稳定性计算，不失为一种可行的方法。在潜在滑动面信息已防 灾 减 灾 工 程 学 报第 卷知的前提下，对岩土体参数在区间范围按一定步长搜索赋值，结合基于剪应力破坏准则的安全系数定义法，在确定性有限元的基础上加以修改，形成区间有限元程序。将其应用于工程实例的计算，得到边坡位移、应 力、应变及 安
15、全系数区间，并与 传统的 简 化 法进行对比，证实了该方法的合理性、可行性和有效性。此外，敏感性分析表明，岩土体重度、粘聚力、内摩擦角的区间变化对安全系数的区间影响较大。因此，在实际工程中，获取这些参数精确的确定值或区间值具有重大的意义。参考文献：喻和平 区间分析理论及其在边坡工程中的应用 南京：河海大学，：，（）：，（）：，（）：，（）：邵国建，苏静波区间有限元方法及其在抗滑稳定性分析中的应用 应用数学和力学，（）：，（）：能肖文 基于区间数学的有限元方法及其工程应用研究 南京：河海大学，：，喻和平，徐卫亚区间有限元在边坡稳定分析中的应用 水利水电技术，（）：，（）：喻和平区间有限元在岩土工程中的应用湖南交通科技，（）：，（）：刘世君，高德军，蒋中明区间有限元控制方程的求解方法三峡大学学报，（）：，（）：陈仲颐，周景星，王洪瑾土力学北京：清华大学出版社，：，于生飞，陈征宙，张明瑞基于区间不确定分析方法的边坡稳定性分析 工 程地质学报，（）：，（）：薛禹群，谢春红地下水数值模拟北京：科学出版社，：，第期胡谢飞等：基于区间有限元方法的边坡稳定性分析