分数阶Lorenz系统的分析及电路实现.pdf

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1、物 理 学 报Ae t aP h y s S i n V o 1 6 2，No 1 4(2 0 1 3)1 4 0 5 0 3 分数阶 L o r e n z系统的分析及电路实现术 贾红艳)十 陈增强2)薛薇)1)(天津科技大学 自动化系，天津3 0 0 2 2 2)2)(南开大学 自动化系，天津3 0 0 0 7 1)(2 0 1 3 年3 月1 2 日收到；2 0 1 3 年3 月1 1 日收到修改稿)频域 传递函数近似方法不 仅是常用的分数阶混沌 系统 相轨迹的数值分析方法之一，而且也是设计分数 阶混沌 系统电路的主要方法 应用该方法 首先研 究了分 数阶 L o r e n z系统 的

2、混沌特性，通过对 L y a p u n o v指数图、分 岔图和 数值仿真分析，发现了其较为丰富的动态特性，即当分数阶次从 0 7到0 9以步长 0 1 变化时，该分数阶 L o r e n z系统 既存在混沌特性，又存在周期特性，从数值分析上说 明了在更低 维的 L o r e n z 系统 中存在着混沌现象 然后又基于该 方法和整数阶混沌 电路 的设计方法，设计 了一个模拟 电路实现 了该分数阶 L o r e n z系统，电路中的电阻和 电容等数值 是由系统参数和频域传递函数近似确定的 通过示波器观测到了该分数阶L o r e n z系统的混沌吸引子和周期吸引子 的相轨迹图，这些 电路

3、实验 结果与数值仿真分析是一致 的，进 一步从物理实现上说明了其混沌特 性 关键词：分数阶系统，L o r e n z 系统，分岔分析，电路实现 P ACS：0 5 4 5 一a，0 5 4 5 P q，0 5 4 5 Ac DOI：1 0 7 4 9 8 a p s 6 2 1 4 0 5 0 3 1 引 言 尽管分数阶的微积分理论很可能在 3 0 0多年 前就 已经出现 了，但在 1 9 6 0年 以前，关于分数阶系 统的研究很少能引起研究者的关注】这或许是 由于存在着许多不一致的微积分定义，或许是由于 缺乏对分数阶微积分的充分的几何解释-3 J _ 直到近 几十年，尤其当发现一些实际的物

4、理系统展现出分 数阶动态特性 以后，例如，管道的边界层效应、电 解 电极、黏弹性受阻结构等过程 中都存在分数阶 动态特性(4-7】关于分数阶系统的研究开始引起 了 越来越多的关注，随后对分数阶系统中的混沌动态 研究逐渐成为了一个研究热点，相继有一些分数阶 混沌系统被提出和研 究，例如，分数阶的 C h u a S电 路-1 J、分数阶的 L o r e n z 系统 _ 3 J、分数阶的 C h e n 系 统 8 1 o 、分数阶的 L i i 系统、分数 阶的神经网 络 1 2】、分数阶的 D u f fi n g振子 1 3 等 通常认为在维数低于 3的系统中，不能发现混 沌动态，而在分

5、数阶系统中存在混沌动态使得在维 数低于 3的系统 中发现混沌现象成为可能 在更低 维 的系统中发现混沌现象或许会成为一个研究动 力，促使研究者们更进一步地分析和研究分数阶混 沌系统 这里所说的系统维数是指系统 中所有的微 分方程 的阶次的总和 此外，出于应用的需要，关于 分数阶混沌 同步和控制研究 以及 电路设计等也正 逐渐成为了一个研究热点 1 4-2 0 分数阶混沌理论 的研究工作将为混沌应用提供一些新 的技术手段，从而促进混沌应用的发展 然而 由于对分数 阶混沌的研究 刚刚起 步，上 述关于分数阶混沌系统的研究绝大多数都是通过 L y a p u n o v指数、吸引子相轨迹图、电路仿真

6、等 数 值仿真分析方法说明系统的混沌动态 而分数阶混 沌系统的分岔分析 以及硬件实现等却很少涉及 本 文将主要通过分岔分析和模拟 电路实现对分数阶 L o r e n z 系统的混沌特性进行研究 前者可以给出分 数阶系统随参数变化 的演化过程，分析系统 的一些 动态特性，找到系统 中的混沌吸引子和周期吸引子 国家 自然科学基金青年科学基金(批准号：1 1 2 0 2 1 4 8)、国家 自然科学基金(批准号：6 1 1 7 4 0 9 4)、高等学校博士学科点专项科研基金(批准号 2 0 0 9 0 0 3 1 1 1 0 0 2 9)和天津科技大学科学研究基金(批准号：2 0 1 1 0 1

7、 2 4)资助的课题 十 通讯作者 E ma i l：j i a h y t u s t e d u c n 2 0 1 3中 国 物 理 学 会 C h in e s e P h y s ic a l S o c ie t y t p：w u l i x b h y a c c n 物 理 学报Ac t a P h y s S i n V o 1 6 2，No 1 4(2 0 1 3)1 4 0 5 0 3 后者不仅可 以帮助从物理意义上说明混沌 的存在 性，而且可以为分数阶混沌应用提供电路模型 2 0 0 3年，G r i g o r e n k o和 G r i g o r e n k

8、o 分析了分 数阶 L o r e n z系统的混沌动态，不仅给 出了当系统维 数大于或等于 2 9 1时的一些吸引子相轨迹图和分 析，而且也给 出了当维数小于或等 于 2 9 1时，该系 统不存在混沌 动态 的结论 但 非常遗憾 的是，2 0 0 3 年在和 G r i g o r e n k o的私人通 信 中，L i 证 实 了文献 3 中的结论是错误的，并于 2 0 0 4年在文献 2 中 做 了说明 2 0 0 9年 Y u等 l 2 1 进一步研究 了分数阶 L o r e n z 系统且给 出了其平衡点的稳定性分析，说明 了该系统 的 Ho p f 分岔现象，同时也给 出了 2

9、9 6维 的混沌吸引子的数值仿真图 那么在更低维的分数 阶 L o r e n z系统是否存在混沌动态呢?本 文在 上 述 研 究 的基 础 上，首 先 对 分 数 阶 L o r e n z系统进 行 了研 究，发现在 更低维 的分数阶 L o r e n z系统存在着混沌现象 然后，为进一步说 明 混沌特性 随参数变化 的演化行 为，又给 出了不 同 分数阶次的系统的 L y a p u n o v指数 图、分岔图和吸 引子相轨迹 图，通过数值分析 方法说 明了分数阶 L o r e n z系统 的混沌特性，即数值 仿真结 果和分岔 图是一致 的 最后，基于整 数阶混沌 电路的设计方 法2

10、 2-3 1 ，用模拟 电路实现了该分数阶 L o r e n z系统，通过模拟示波器观察到 了与数值仿真一致的结果 不仅从物理意义上说明了分数阶 L o r e n z系统的混 沌特性，也为混沌应用提供了技术上的准备 2分数阶L o r e n z系统及其分形分析 2 1 分数阶 L o r e n z系统 最近，G r i g o r e n k o和 Gr i g o r e n k o分析 了分数阶 L o r e n z 系统的混沌动态，该系统可 以被描述为=C XX Z+d y，(1)=x y b z 其中，a，b，C，d是系统参数，卢，y 是分数阶次 在 文献 2，3，2 l】中

11、分别对该系统进行 了数值仿真分 析和平衡 点的稳定性分析等研究，分别说 明了该分 数 阶系统在 2 9 1维和 2 9 6维的混沌特性 现选取 a=4 0，b=3，C=1 0，d=2 5，=卢=0 9时，通 过数值仿真可以观察到该分数阶系统在 2 7维的一 个混沌吸引子的相轨迹，如图 1所示 图 1 分数阶 L o r e n z 系统的混沌吸引子(=卢=0 9)2 2 分 数 阶 L o r e n z系统 分形分 析和数值 仿真 然而，仅仅凭借 图 1 不能说明分数阶 L o r e n z系 统 的混沌动态为进一步对其混沌特性加 以验证，下面将通过 L y a p u n o v指数 图

12、和分岔图对其进行进 一步研 究 本文 中采用 的分数阶微分为 R i e ma n n L i o u v i l l e 定义：d t a=r(n a d t n J fo t n+l (2)一1 (一f 1 一 、一 那么，在该定义下的 L a p l a c e 变换为 L )j(3)这样，传递 函数 1 s 可 以用 一个近似 的整数阶传 递函数表示 实际上 当研究分数阶系统的混沌动态 时，频域传递 函数近似方法是常用的数值方法之一，这种方法在很多研究中常被采用，3 2，3 3 且误差 不会超过 2 d B 本文分别采用了文献 1，3 3 中所给 出的两种不同的频域近似，对分数阶 L

13、o r e n z系统进 行 了研究，通 过对 L y a p u n o v指数 图、分岔 图和数 值仿真分析，都发现 了分数阶 L o r e n z系统的混沌动 态 鉴于篇幅原因，本文只给 出了采用文献 3 3】的 频域近似方法的分析结果 其中所用到的近似函数 分别为 1 2 2 6 7 5(s+1 2 9 2)(s+2 1 5 4)，S o 9 (S+0 0 1 2 9 2)(S+2 1 5 4)+3 5 9 4)1 4 0 5 0 3 2 年 尸 物 理 学 报Ac t a P h y s S i n V o 1 6 2，No 1 4(2 0 1 3)1 4 0 5 0 3 1 5

14、3 0 8 8(s+0 1 3 3 4)(s+2 3 7 1)(s+4 2 1 7)(s+7 4 9 9 1 一 面 泛 丽 1 9 3 6 3 3(s+0 0 6 4 4 9)(s+0 5 7 8)(s+5 1 7 9)(s+4 6 4 2)(s+4 1 6 1 7一(+0 0 1 3 8 9)(s+0 1 2 4 5)(s+1 1 1 6)(s+l 0)(+8 9 6 2)(+8 0 3 1)同时，基于连续整数阶混沌系统 L y a p u n o v指 数的 J a c o b i a n计算方法，本文计算了分数阶 L o r e n z 系统的 L y a p u n o v指数 与整

15、数阶系统计算方法不 同的是，在计算不 同分数阶次 L o r e n z系统 的 L y a p u n o v指数时，本文将整数阶的积分器 1 s转换 为 分数阶的积分器 1 s a，就可以得到系统的相应 的分 数阶次的 L y a p u n o v指数 籁 0 a 厶 砖 2 分数阶次为 a=口=y=0 9的L o r e n z系统的L y a p u n o v 指数图和分岔图(a)L y a p u n o v指数图；(b)分岔图 这样当 a=4 0，C=1 0，b=3，变化参数 d时，可 以得到分数阶次为 =卢：y=0 9，系统维数为2 7 的 L o r e n z系统的 L

16、y a p u n o v指数图和分岔图，如图 2所示 通过对该 L y a p u n o v指数 图和分岔图分析，可 以发现在 2 7维 的 L o r e n z系统的确存在混沌特 性 采用相 同的方法，也可 以分别得到分数阶次为 0 8和 0 7，系统维数为 2 4和 2 1的 L o r e n z 系统的(5)(6)L y a p u n o v指数图和分岔图，如图 3和 图4所示 通过对上述 L y a p u n o v指数图和分岔图的分析，可以发现当分数阶次从 0 7到 0 9以步长 0 1变化 时，即系统维数从 2 1到 2 7以步长 O 3 变化时，分 数阶 L o r

17、e n z系统不仅存在混沌特性，而且也存在 周期特性 为了进一步验证我们 的分析，本文 中也 给 出了一些不 同分数阶次或系统维数的数值仿真 图 现选取 a=4 0，b=3，C=1 0，当分数阶 L o r e n z 系统 的分数阶次从 0 7到 0 9变化 时，其 X Y平面 的相轨迹 图分别如 图 5所示其 中当分数阶次为 0 9，a=4 0，b=3，C=1 0，分别取 d=4 0，d=3 3 8 时，分数阶 L o r e n z系统为单周期吸引子和双周期 吸引子，如 图 5(a)和 5(b)所示；当分数阶次为 0 8，a=4 0，b=3，C=1 0，分别取 d=4 0和 d=4 1

18、7时，1 4 0 5 0 3 3 0 岛 图 3 分数阶次为 a=卢=y=0 8的 L o r e n z 系统的 L y a p u n o v 指数图和分岔图(a)a p u n o v 指数图；(b)分岔图 物 理 学 报A c t a P h y s S i n V o 1 6 2，N o 1 4(2 0 1 3)1 4 0 5 0 3 靶 O 口 皇 帕 d d 图4 分数阶次为=卢=y=0 7的 L o n z 系统的 L y a p u n o v指数图和分岔图(a)L y a p u n o v 指数图；(b)分岔图 8 0 6 0 40 2 O 0 2 0 4 0 2 0 1

19、 0 0 1 0 2 0 3O 20 1 0 0 1 O 一2 O 一3 0 图 5分数阶 L o r e n z系统的x-y平面的吸引子相轨迹C a)=卢=y=0 9，d=4 0时单周期吸引子；(b)a=卢=0 9 d=3 3 8时双周 期吸 引子；(c)a=p=，=0 8，d=4 0时混沌 吸引子；(d)a=卢=，=0 8，d=4 1 7时周期 吸引子(e)a=卢=，=0 7，d=4 0时渐进稳定的相轨迹；(f)=卢：=0 7，d=4 6时混沌吸引子 1 40 50 3 4 物 理 学 报A c t a P h y s S i n V o 1 6 2，N o 1 4(2 0 1 3)1 4

20、 0 5 0 3 分数阶 L o r e n z系统为混沌吸引子和周期吸引子，如 图5(c)和(d)所示；当分数阶次为 0 7，a=4 0，b=3，c=1 0，分别取 d=4 0和 d=4 6时，分数阶 L o r e n z 系统为渐进稳定的相轨迹和混沌吸引子，如 图 5(e)和(f)所示 考虑到篇幅原因，本文仅给出部分吸引 子的相轨迹 图 通过数值仿真观察到的吸引子相轨 迹与指数图和分岔图所呈现的动态特性是一致的 3分数阶L o r e n z 系统的电路实现 为了进一步从物理意义上验证分数 阶 L o r e n z 系统的混沌特性，基于整数 阶混沌 电路的设计方 法和频域近 似方法，使

21、用 电阻、电容、模 拟运算 放大器 L F 3 4 7 N 和乘 法器 AD 6 3 3，本文也 设计 了 一个模拟 电路实现 了 0 9阶次 的分数阶 L o r e n z系 统，如 图 6所示其 中 R 5=R 1 5=R 2 4=1 5 5 MQ，4 结 论 R6=R1 6=R2 5：6 2 M Q R7=R1 7=R2 6=2 5 kff Z；C 1：c 4 c 7=0 7 3 F，C 2=c 5=C 8：0 5 2 F C 3=C 6=C 9=1 1 F，上述 电阻和 电容的数值都 是 根据 0 9阶 次 的频 域近 似 确定 的尺 1=2=2 5 k Q R3=R8=R9=R1

22、0=R1 3：R1 8=RI 9=R2 2=R2 7=R2 8=1 0 kQR4=R1 2=R1 4=R2 1=R 2 3=1 k 1 2，R 2 0=3 3 3 k Q，R l l 是可调电阻，这些电 阻阻值都是根据分数阶 L o r e n z系统 的系统参数确 定的，其 中 尺 l】随着系统(1)中的参数 d的变化而 变化 这样当调节可调电阻 R l】时，可 以通过示波 器观 测到混沌吸 引子或周期 吸引子 的相 轨迹，本 文分别给 出了 Y和 y-z平面的混沌吸引子、双周 期吸引子和单周期吸 引子 的相轨迹 图，如 图 7所 示 通过与数值仿真 的结果比较，可 以发现分数阶 L o r

23、 e n z系统 的数值仿真、分形分析、电路实现的 结果是一致的 图 6 分数阶 L o r e n z系统的模拟电路 采用频域 传递 函数近似方 法，研 究 了分数 阶 L o r e n z系统，分别从系统 的 L y a p u n o v指数 图、分 岔图和吸引子相轨迹 图等数值仿真分析验证 了其 混沌特性 与已有的研究不 同的是，本文发现 了该 分数阶 L o r e n z系统丰富的动态特性，当分数阶次从 0 7到 0 9以步长 0 1 变化时，即系统维数从 2 1 到 1 4 0 5 0 3 5 物 理 学 报A c t a P h y s S i n V o 1 6 2，N o

24、 1 4(2 0 1 3)1 4 0 5 0 3 理 学报 5 6 6 8 6 5 1 2 0】C h e nXR，L i uCX，Wa n g FQ，L i YX 2 0 0 8 A c ta尸 s S i n 5 7 1 4 1 6 (i n C h i n e s e)陈向荣，刘崇新，王发强，李永勋 2 0 0 8物理学报 5 7 1 41 6】2 1 YUY G，Lj HX，Wa n g S，Y u JZ 2 o o 9Ch a o s，S o l i to n s a n dFr a c tals l 1 8 1 2 2 Yu SM，L t i JH，Ch e nG R 2 0 0

25、7 L e t t A 3 6 4 2 4 4 2 3 Y a n gX S，L i Q D，C h e n GR 2 0 0 3 n t C i r c T h e o n A p p 1 3 1 6 3 7 2 4 Li YX，T a n gW K S，Ch e nGR 2 0 0 5 n t ，Ci r c T h e o n Ap p1 3 3 2 3 5 2 5】J i aH Y C h e nZQ，Y u a Il Zz 2 0 0 9 Ac t aP h y s S i n 5 8 4 4 6 9(i nC h i n e s e)贾红艳，陈增强，袁著祉 2 0 0 9物理学报

26、5 8 4 4 6 9 【2 6】Wa n gG Y，HeH L 2 0 0 8Ch in Ph y s B1 74 01 4 2 7 Wa n gGY Li u J B，Zh e n gX 2 0 0 7Ch i n 尸 1 6 2 2 7 8 2 8 Z h a n gZX，Y u SM 2 0 0 9C h in P B 1 8 l 1 9 2 9 Y u sM，Y u zD 2 0 0 8A c t a S i n 5 7 6 8 5 9(i n C h i n e s e)(禹思敏，禹之鼎 2 0 0 8物理学报 5 7 6 8 5 9 1 3 O L i u Y Z 2 0 0 8

27、 A c t a P h y s S i n 5 7 1 4 3 9(i n C h i n e s e)刘扬正 2 0 0 8 物 理学报 5 7 1 4 3 9 1 【3 1 Li uYZ，Li nC S，L i XC 2 01 1Ac t aPh y s S i n 6 00 6 0 5 0 7(i nCh i n e s e)【刘扬正，林长圣，李心朝 2 0 1 1 物理学报 6 0 0 6 0 5 0 7】3 2】Ch a r e fA，S u nY Ts a oYY 1 9 9 2心T r a n s Au t o mCo n t r o l 3 7 1 4 6 5 3 3 Ah

28、ma d W M，S p r o t t J C 2 o 0 3 Ch a o s，S o l i t o n s a n d F r a c t a l s 1 6 3 3 9 An：t 1 3 a n d c i r c u i t i mol e me nt a t i o n f o r t h eAn a l y s i s a n c i r c u i t h e l f r a c t i o n a l o r de r Lo r e nz s y s t e m 术 J i a Ho n g Y a n )干 C h e n Z e n g Qi a n g 2)Xu e

29、We i )1)(D e p a r t m e n t o f Au t o m a t i o n，T i a n fin U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y,T i a n j 加3 0 0 2 2 2，C h i n a)2)(De p a r t me n t o J A u to ma t io n,Na n k a i U n i v e r s i ty,T i a n j i n 3 0 0 0 7 1，C h i n a)(Re c e iv e d 1 2 Ma r c h 2 0

30、1 3；r e v i s e d ma n u s c r i p t r e c e i v e d 1 1 Marc h 2 0 1 3)Abs t r a c t T r a n s f e r f u n c t i o n a p p r o x i ma t i o n i n fre q u e n c y d o ma i n i s n o t o n l y o n e o f c o mmo n n u me r i c a l a n a l y s i s me t h o d s s t u d y i n g p o r t r a i t s o f f r

31、a c t i on a l or d e r c ha ot i c s ys t e ms，b ut a l s o a main me t h o d t o de s i g n t h e i r c ha o t i c c i r c ui t s Ac c or d i n g t o i t，i n thi s pa pe r we fi r s t i n v e s t i ga t e t h e c h a o t i c c h a r a c t e r i s t i c s o f the fra c t i o n a l o r d e r L o r e

32、 n z s y s t e m，fi n d s o me mo r e c o mp l e x d y n a mi c s b y a n a l y z i n g L y a p u n o v e x p o n e n t s d i a g r a ms，b i f u r c a t i o n d i a g r a ms a n d p h a s e p o r t r a i t s，tha t i s，we d i s p l a y t h e c h a o t i c c h a r a c t e ris t i c s a s we l l a s p

33、e rio d i c c h ara c t e r i s t i c s o f t h e s y s t e m wh e n c h a n g i n g fra c t i o n a l-o r d e r f r o m 0 7 t o 0 9 i n s t e p s o f 0 1，a n d s h o w t h a t t h e c h a o t i c mo ti o n e x i s t s i n t h e a l o we r d i me n s i o n a l f r a c t i o n a l o r d e r L o r e n

34、 z s y s t e m T h e n，a c c o r d i n g t o t r a n s f e r f u n c ti o n a p p r o x i ma t i o n an d the a p p r o a c h t o d e s i g n i n g i n t e g e r-o r d e r c h a o t i c c i r c u i t s，we a l s o d e s i g n an a n a l o g c i r c u i t t o i mp l e me n t t h e fra c t i o n a l o

35、r d e r s y s t e mT h e r e s i s t o r s a n d c a p a c i t o r s i n t h e c i r c u i t a r e s e l e c t e d a c c o r d i n g t o the s y s t e m p a r am e t e r s a n d t r a n s f e r f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n i n fre q u e n c y d o m a i n S o me p h a s e p o r t r a i t

36、 s i n c l u d i n g c h a o t i c a t t r a c t o r s a n d p e rio d i c a t t r a c t o r s a r e o b s e r v e d b y o s c i l l o s c o p e，wh i c h are c o i n c i d e n t we l l wi t h n u me ric a l s i mu l a t i o n s，a n d the c h a ot i c c ha r a c t e r i s t i c s of t he fra c t i on

37、 a l or d e r Lo r e nz s y s t e m a r e f u r t he r pr o ve d by t h e p h ys i c a l i mp l e me n t a t i on Ke y wo r d s：f r a c t i o n a l o r d e r s y s t e m，Lo r e nz s y s t e m，b i f u r c a t i o n a na l ys i s，c i r c u i t i mpl e me n t a t i o n P ACS：0 5 4 5 一a，0 5 4 5 P q，0 5

38、4 5 Ac DOI：1 0 7 4 9 8 a p s 6 2 1 4 0 5 0 3 P r o j e c t s u p p o rt e d b y t h e Y o u n g S c i e n t i s t s F u n d o f t h e Na t i o n a l Na t u r a l S c i e n c e F o u n d a ti o n o f C h i n a(G r a n t N o 1 1 2 0 2 1 4 8)，t h e N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a ti o n o f C h

39、 i n a(G r a n t N o 6 1 1 7 4 0 9 4)，t h e S p e c i a li z e d R e s e arc h F u n d f o r t h e Do c t o r al P r o g r a m o f H i g h e r E d u c a t i o n o f C h i n a(G r a n t N o 2 0 0 9 0 0 3 1 1 1 0 0 2 9)，and t h e R e s e a r c h F u n d o f T i a n j i n U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o lo g y,C h i n a(G r a n t N o 2 0 1 1 0 1 2 4)十 C o r r e s p o n d i n g a u tho r E-m a i l：j i a h y t u s t e d u c n 1 40 50 3 7