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1、按泛函分析理论来剖析平差计算中的数学结构祝永刚白亿同摘要本文主要 运用泛函分析中Hilbe rt空间的时偶空间和 时偶算子理论来剖析平差计葬的数学结构。全 文共分四个部分。第一部分 主要讲平差计算中一些 空间和算子 的性 质和它们之间的内在联系,第二部 分讲关于平 差数学模型的分类问题,第三 部分是本文的重点,主要讨论如何 利用交换图直接写出平 差计算中的基本公式,前二个部分是为这部分服 务的,最后一部分是补 充说明几个有关问题。三.诬萝J.二 翻如果要深 入了解平差计算中的数学结构,借助泛函分析方面 的知 识是一个很好的途径,它可以给人一个清晰的思路。本文首先论述一些有关泛函分析方面的概念和
2、定义,以此来说明我们所要讨论的平差 问题所涉及的范围,然后通过制作交换图,并利用它来直接写出平差计算中的基本公式,其规则简便,利于记忆。一、有关平差针算中一些空间的牲质大家知道,要是能说明我 们所研究的 观测空间和参数空间都是希尔伯特(Hilbe rt)空间,那末,我们 就可把 整个有关希尔伯特空间的 理论直接拿来应用。为此作以下说明:如在 间接平差 中,其数学模型通常表示为Ax=乙其中x X(参数空间)_维数为u卜L(观测 空间)二维数为二nu它们都是有限维实向量空间,A为由参数空 间乏及映射 到观测空间L的线性算子,即AX-)L为了能在L内(以后在X内)进行数理统计(估计和检验),我们在L
3、上引入概 率度本文19时年1 2月收到第奋期按泛函分析理论来剖析平差计算中的数学结构量PL,于是L就成为概率空间,此处P:为维数等于nxn的实对称 正定方 阵,CL=P一之称为观测值协因数阵。今在L上再引进内积,按通常方法内积定义为V落,落,6L,(落,忍,)=忍,P;艺,6R因为PL为实对称正定方阵,故我们所引进的内积可满足对内积所要求的全部性质。我们还可以按通常方法,由内积 引出范数 1v不“L,11不11=犷灭飞了R于是在L上就可定义距离dv,“L:d(,“)=11卜“1 1=护口二F砰兀正不了6R因为L是有限维 空 间,当然是完备的,而我们知道完备的内积 空间就是希尔伯特空间,所以此处
4、的L是一个希尔伯特空 间。类似地,在参数空间X上引入Px,内积,范数和距离之后,同样可成为希尔伯特空间。下面我们来定义L的对偶空间L.(对偶的希尔伯特空间),现在把PL看作是由L映射到L.的算子,即V艺6L:忍.=PL忍6L.L=D(PL),L.=R(PL)用图来表示P;L一)L.为了与前面的区别起见,今将L与L,之 间 的内积表达为(,),即v。L,:.eL.,(:,:.)鱼介一:,PL。R可以验证它满足对偶空间川之间内积的全部条件,于是L.成为L的对偶空间,且L.的维数与L的维数相同。因CL=P刃,故C。为由L.映射到L的逆算子V忿.6L.:乙=CL忿.6LL.=D(CL),L=R(CL)
5、图示CLL.一.一卜L所以,带有权P;的L是个希尔伯特空间,与此相 应 的带有协因数C的L.是L的对偶希尔伯特空间,通常称此为反射性。类似地,带有P:的X是个希尔伯特空 间,与此相应的带有协因数C;的x,是X的对偶希尔伯特空间。现在我们有L,L.和X、X.两对对偶空 间,同时有线性算子A:X一L,其维数为n xu,则A的对偶算子A一L,-一)X.可定义为vx“X,护6L,:(A.护,x)=(”,Ax)(1)(见文献1)武汉测绘学院学报1舫6年综上所述,今将我们所讨论过的这些 空 间和算子构成如下关系图在此,尚需进一步说明 的是A.二?我们应 该注意到式(1)的右端为L和L.之间的内积,左端为X
6、和X.之间的内积。于是式(1)可写作(A.护)Tx=(乙.)TAx上式两端同时转置,得xTA.乙.二xTAT忍.xT(A一AT)乙.=0将上式左端改作X和犷之 间的内积(x,(A一A兮)乙.)=o由于x的任意性,根据内积 的条件(ii)有(A一AT)护=0又 由于沪的任意性,有A一AT=0,即A.=AT(2)(3)这就是说,若A为由X映射到L的线性算子,则AT为A的对偶算子,它是 由L.映射到X,的算子,这个结论在下面我们制作交换图时要 用到。二、关于平差数学模型的分类周踢由于我们在以后 制作交换图时,分为间接平差、条件平差和 组合平差三种基 本情况来介绍,所以有必要对 其数学模型的分类实质作
7、些说明。我们 知道,在某一平差问题中,对于 观测值与参数之间存在 的关系可 用函数来表达为f(e,x,乙)=0式中c为常数,由于c可看作是函数本身,则 又可写为f(x,乙)二0线性化后写为A 6x+Br+0=0上式就是我们通常所采用的组合平差的数学模型,其中A(4)X一-)F(函数空间或称模 型空间)则式;B:L一Fo其次,我们引用虚拟观测值的概念,令r=Br(4)就转变为r=A 6x+0(5)上式与下面的非线性式 相对应乙=f.(x、占、尹(6)第4期按泛函分析理论来剖析平差计算中的数学结构式(5)或式(6)正是我们通常所采用的间接平差 中的数学模型。实际上,有时为了方便起见,我们就从f(x
8、,D=0,直接写出关于不或x的显式,其中关于x的显式写为又f,(落)(7)当问题中不存在x时,上式就变为fs(乙)=0(8)线性化后得Br+。=0(9)式(8)或式(9)就是我们通常所采用的条件平差 中的数学模型。通过上述讨论,我们可得出如下结论:1、间接平差和条件平差 只是组合平差 的特殊情况。2、VA6X6F,。6F:A6x+06FVBr6F,。6F:Br+。F此处F称为函数空间或模型空间3、线性算子A(第一设计矩阵)是由参数空间映射到函数空 间F,而线性算子B(第二设计矩阵)是由观测空间映射到函数空间F(2)。于是,根据上述结论,我们可画出三个空间之 间的关系 图ABIn一U11 1一n
9、X*F卜Lu0lmIn1图2在后面制作交换图 时,我们要用到这个结论。三、交换图的制作和平差基本公式的书写规刻1、间接平位情况一、中的图1正是描绘了在间接平差中各有关空间和算子 的关系图,以后我们称它为交换图,今表示为C:=P一二P点户.二At舀.xl孔x 图3间接平差 交换图图中的算子Q为A的正交左逆算子“5 4武汉测绘学院学报1佣肠年在平 差问题中,通常A和PL为已知,今 由X出发,路经L、L.,最 后 到X.,则 可求得PxPx=ATPLA(20)上式应按路线箭头方向,将各线性算子依次左乘结合起来(以下 同)为了求Q,可通过如下路线,L、L.oX.oXQ=P又ATPL(1 1)式(1 0
10、)代入式(11)得Q=(ATPLA)一ATPL(1 2)由模型忿=Ax知x=Q工则由式(12)知x=(ATPLA)一ATPLz(1 3)以上都是在间接平差中所出现的基 本公式,今由交换 图直接 写出,十分 方便,且易于 记忆。2、条件平位情况根据条件平差中所出现的各有关空间和算子画成如下 交换图t,份P.百.刃.!.曲万,份PP石:BT阅卜.曰.一分奋.杏L.号LP图4条件平 差交换图图中的算子S为B的正 交右逆算子t”,在间接平差中,我们采用的数学模型是Ax二叭这里对条件平差我 们采用的数学模型是B r=。,这与通常所采 用的B r十W=0相比,只 是对W的符号定义有所不 同,其 他无实质上
11、的差 别,而且应该强调指 出的,在Br二。中,r是属观 测值性质,而。是属函数值性质。由上 图可 知:由路线F.、L一,LoF得P否=BP刃BT(24)由路线FoF.、L一)L得S=P云BTPw(一5)式(14)代入式(15)得S=P刃IBT(BP刃BT)一1(16)于 是r=S。=P石IBT(BP艺IB了)一。(1 7)式(16)和式(17)均为条件平差时的基本公式。第期按泛函分析理论来剖析平差计算中的数学结构3、组合平位情况如上所述,组合 平差数学模型一般写为A6x+Br=。此处V6xX八rL:A6x+Br=。6F于是,根据二 中的 结论,今将图3和 图4结合成一个交换图图5组合平差交换图
12、由X”F”F.”X.得Px=ATPwA由F.*L.”L”F得P奋1=BP石IBT由F“F.”X.、X得Q二P王AT巧将式(18)和 式(19)代入式(20),于是得Q=AT(BP石BT)一A一AT(BP石BT)一因6x=Q。,故6x=AT(B PiBT)一A一AT(BP二BT)一1。在图5中,经由F*F.,L.、L知S=P石Br界=P艺Br(BP艺二BT)一则得r=S(0 一61)=Pi盆BT(Bp云IBT)一1(。一劫x)(1 8)(1 9)(20)(2 1)(2 2)(23)式(2 1)、(2 2)、(2 3)和(2 4)均为我们所熟知 的组合平差中的基本公式四、补充说明(24)1、在非线
13、性的数学模型情况下,线性变换就 相 当于在展开点的微分邻 域上进行,并随着迭代,其邻域逐渐收敛,故上述图示法对非线性情况仍然有效。2、若原有的数学模型是亏秩的,可利用广义逆求逆,即选择适当的附加条件来做,但当CL为奇异时,由于它的解出现不定性,本法所写出的公式不再适用。3、实际上这里 的组合变换AQ是与投影理论相 一 致的,今令犷6R(A),显然卜F6R(A)+。R(A)十为R(A)的正交补,它 的定义为=0式中的犷今以Ax代替,则此内积可写为(Ax),C石1(落一Ax)=0于 是有武汉测绘学院学报XTA丁C护卜XTA弋二IAx=01.8 6年ATC刃卜A云Ax最后得x=(ATC石IA)一AT
14、C艺1乙这便是最小二乘解,与投影理论完全一致。(2 5)4、若将式(25)写成x=(P%A)T(P%幻一(P%A)T(P%),显然,这里的P%可看作是带权PL的观 测空 间L变换到不带权的观 测空 间L的等距算子,这就是我们通常所说的标准化过程。1234今考文献数学手册,人民教育出版社,1 9 79。V anie ek,p.,Krakiwsky,E.J.,Geodesy,Theeon eept s,N orth一Holla ndpu-blishingeompany,Amst erdam,N.Y.ox ford,195 2.Aubin,J.P.,Appliedfu netionalanal邓15
15、,Wiley,N.Y.1 979.V anieek,p.,D iagr am matieAppr oaeht oLeastSquar es,Univ ersityofStut t gart,19 82。o fth eMa the ma t ic a1s tr uctureo fAdj ustme ntC omPu tations恤se dupont加theor yofFun etio nalAn at ysisZ耘“Yo ng gangBa云Y落君。柞gAbst rac tThispape rdealsw iththemathematic alst ruc tur eofadjust ment
16、eomPut ation sand15ratheranint rodu et oryt r e ati se.It15dividedintofou rs ec t ion s.Thefir sts ec tionmainlyint roduee sthenatureofsomespac esinadju stmen t s.These eondseetiondiseussestheela s sific ationproblemofadjustmentmodels。Thethir ds eetion1 5thef oealpointinthispapera ndde seribeshowt ousetheeom mut ativediagr a mt owrit edownthemainformulasofadjustmen td ir ec t ly,thec onc ept softhet woprec edingSecti on sbeingus edher e.Inthelastseetionofthispapers omeeompleman t aryrel at edpro blemsar ed is-e us sed。