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1、对一个常见概率学问题的数学分析对一个常见概率学问题的数学分析 作者：霜焰 提问：听说有一个方法，可让赌博十有八九能赢，而且很科学。方法如下（赌博规则是赢了双倍返还赌金，输了不返还赌金；设每局赢的概率是 49%，输的概率是 51%。因为赌博规则一般都会让输的概率略高，赌场才能赚钱）：第一次投 1 元，如果赢了，停止；如果输了，继续投注 2 元；然后如果赢了停止投注，如果输了，继续投注 4 元依此类推，一旦输了，就翻倍继续投注，直到赢一次为止。这样一来，只要能赢一次，就是赚的。而“一次都不赢”的概率是很低的，比如投 10 次，“一次都不赢”的概率只有 0.25%；如果投 20 次，“一次都不赢”的
2、概率只有 0.0006%；也就是说，使用这个方法，实际上几乎可以百战百胜。使用这个方法，是不是就可以做到久赌必赢呢？回答：这种“翻倍投注，获胜即止”的投注方法，确实可以显著提高获胜的概率。但是要注意一点，在这种投注方法下，“赢的收益”和“输的损失”是相差甚远的。真正“赢”是要看收益，而不是看赢的次数。也就是要看收益的期望值。因为现实人的赌本总是有限的，当你连续输到剩余资金无法进行下一次翻倍投注时，就只能停下来，这时就是输了，而这个损失是很巨大的。将全部这种投注方法，每一轮只能赚 1 元（读者可以自己算算“该次投注金额2累计投注金额”，结果都是 1 元）。而只要一次特别倒霉输掉，会损失千万倍的钱
3、。那么就会造成收益率为负数。举个实际的例子，假设你有 1000 万身家。按上面的方法投注，会有下面的结果。次数 该次投注金额 累计投注金额 一直不赢的概率 1 1 1 51.000000%2 2 3 26.010000%3 4 7 13.265100%4 8 15 6.765201%5 16 31 3.450253%6 32 63 1.759629%7 64 127 0.897411%8 128 255 0.457679%9 256 511 0.233417%10 512 1023 0.119042%11 1024 2047 0.060712%12 2048 4095 0.030963%13
4、4096 8191 0.015791%14 8192 16383 0.008053%15 16384 32767 0.004107%16 32768 65535 0.002095%17 65536 131071 0.001068%18 131072 262143 0.000545%19 262144 524287 0.000278%20 524288 1048575 0.000142%21 1048576 2097151 0.000072%22 2097152 4194303 0.000037%23 4194304 8388607 0.000019%23 4194304 8388607 0.0
5、00019%1000 万的本钱可以让你连搞 23 次，除非 23 次全输你才会输，第 23 次你已经投入 800 多万，一旦输掉，已经没有资金进行下一步的翻倍投注。所以每一轮这种投注，情况如下：赢的概率=10.000019%=99.999981%赢的收益=1（元）输的概率=0.000019%输的收益=8388607（元）每轮的收益期望值=赢的概率赢的收益+输的概率输的收益 =99.999981%10.000019%8388607 =0.58 可以看出，虽然赢的概率是输的概率的 N 倍，但是输的损失却也是赢的收益的 N 倍。综合考虑起来，期望值仍然负数，甚至还低于每次投 1 元，赢就赢，输就输这
6、种最简单的投法（收益期望值-0.02），也就是说只有折腾亏得会更厉害。有人会说，我就是薄利多投，一次赚 1 元也甘心，行不行？坚持下去，积少成多，能不能多赚？很遗憾，不能。因为这种赌法最怕的恰恰是“坚持，多次”，因为输的概率只有大约 5 万分之一，如果你只投几次、几十次，那么基本上都不会输，除非是非常倒霉。但是，一旦次数累积起来，“至少输一次”的可能性就大幅提高。而这种方法，要想多赚钱，却不得不累积次数，这就是致命的矛盾。比如你 1000 万的身家投进去，这样折腾就为赚几百元显然没有意义。你打算要 10%的收益，赚个 100 万，那么你需要投100 万轮，这样搞 50 万次“至少输一次”的可能
7、性为：10000001 99.999981%17%P 17%大约就是 1/6，也就是说，你为了赚 100 万，就有 1/6的可能损失 800 万。六分之一这种高风险还是不能忽略的。如果你真是赌徒心理，想让资产接近翻番，赚个 800 万，那么“至少输一次”的可能性为：80000001 99.999981%77%P 可见你把钱丢水里的可能性将明显大于发财的可能性。同样，对于赌场，如果很多人采用这种“翻倍投注，获胜即止”的投注方法，赌场仍然喜上眉梢。因为即使只有很少的人输，但是仅仅是那几个人给赌场送的钱，也会超过成千上万人赚的钱，赌场仍然赚。由此我们可以看出，这种投注方法，恰恰证明了“久赌必输”，赌的越多，失败的的可能就会累积得越大。另外说一下，有的人用程序模拟这个问题，得出一些“开始先输很多钱，后面会赚一点，然后又会输”这种结论，那么能不能用这种规律指导，在合适的时候停止，做到小赚呢？这里要说明，他们说的这种情况其实是因为电脑程序的随机数其实都是有规律的，所以每次模拟时会出现相对固定的“亏钱期”“赚钱期”，不仅和现实的那难以捉摸的随机不同，连不同的编程工具都可能得出不同的“亏钱期”“赚钱期”，所以指望靠这种方式赚钱仍然是不可能的。