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1、第一讲 数的开方，实数培优竞赛辅导知识要点：1、平方根定义：若x2=a，则 叫做 的一个平方根。记作：x= （a，0）.其中 叫a的算术平方根。平方根的性质：一个正数的平方根有 个，它们互为;。的平方根是负数 平方根；一个非负数的算术平方根是一个 数。2、立方根定义：若x：a,则 叫做 的立方根，记*=,立方根的性质：互为相反数的两个数的立方根之和为 O即：+ y/a = 0, V-a = -ya3、实数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数.与数轴上的点一一对应.任何有理数都可以表示为分数K （p、q是两个互质的整数，且的形式. q注意：1、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。
2、2、相关公式： （4ZO） ； JZ7=（f-a ） = ;=o3、三个非负数:a2 0 ,a 0 (aO) o3、平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是算术平方根等于本身的数是;二、基础夯实一.选择题1、下列给出的25的平方根是5的表达式中，正确的是（）A.收=5B. 725=-52、下列说法正确的是（）C. 士我已=5D. 725=5A. 一个数的立方根有两个C.若一个数有立方根，则它就有平方根B. 一个非零数与它的立方根同号D. 一个数的立方根是非负数3、下列说法正确的是（）A.数轴上任一点表示唯一的有理数B.数轴上任一点表示唯一的无理数C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两
3、点之间都有无数个点4、下列语句：- 1是1的平方根.带根号的数都是无理数.无理数都是无限小数.无限小数是无理数我的立方根是2. （ - 2）2的算术平方根是2.-125的立方根是5.有理数和数轴上的点一一对应.其中正确的有（）D. 5个A. 2个B. 3个C. 4个5、已知a、b是实数，下列命题结论正确的是（）答案：5-2x【例2】（全国竞赛）已知非零实数、b满足|2q 4| + 0 + 2| +4二3 + 4 = 2，则+匕等于（C ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【变式题组】2、已知|2020 4+-2021 = a,求 202（）2 的值。解:v a-20210a-2020+
4、a-2021 =a所以、-2021 =2020 a-2021=20202.2020? =20202、x, y 9 mJ3x + 4y 3 m +，2x + 3y - in x y 5 + 不5 - x + y，Vm + ll的平方根。fx-v-50解：由题可制 y 解之x-y = 55 - x - y 03x + 4y-3-m = 0 2x + 3y - m = 0 解之m = 5X7 = 5, Jm + U的平方根为土2【例3】若。为J万-2的整数部分，b-1是9的平方根，且求a+b的值.解：由题可得a=2, bT=3所以a=2, b=4或-2因为卜一耳二人一。所以2疑所以2=2, b=4所
5、以a+b=6【变式题组】1、若3+右的小数部分是3-石的小数部分是江 则。+匕的值为L_.2、逐5的整数部分为小 小数部分为4 则（石+a） -b =F _ 93、已知M是满足不等式-当 “,b = -2, c =,则a、b、c的大小关系是（C ）A. abc B. acb C. bac D. ca3(B)。三3(C) a3(D) ab,则 a2b2B.若 a b ,则 a2b2C.若 I a I b,则 cPb1D.若苏，则 /。26、一个数的平方是4,这个数的立方是（）A. 8B. 一 8C. 8 或-8D. 4 或-47、C的算术平方根与血的相反数的倒数的积是（）A. - 1 B. 1C
6、. _C. _1D. - -y=428、一个立方体的体积是9,则它的棱长是（）3B. 3遮C.本口莎9、如图,数轴上A, B两点表示的数分别为0和5.1,则A, B两点之间表示整数的点共有（ ）A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个 一d1一0725.110、如图，数轴上A、5两点表示的数分别为一1和、点b关于点a的对称点c则点c所表示的数为（）mC A （J HA. 3 -3 B. 2 a/3C. 3+ /3 D. 2+ /311、在实数泥、0、印二1、3.1415、冗IV3 716、22 法5中，无理数的D. |a+b|D. 0 或-6D.不存在D. b3=aD.实数个数为
7、（）A. 4个 B. 5个 C. 6个D. 7个12、一个正数光的两个平方根分别是。+1与5,则x值为（）A. 2 B. -3 C. 9 D. -913、估算牛运的值是在（）A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D. 5与6之间14、数轴上有两点A、B分别表示实数a、b,则线段AB的长度是（）A. a - bB. a+bC. |a - b|15、若 x2= （ - 3） 2, y3 - 27=0,则 x+y 的值是（）A. 0B. 6C. 0 或 616、使号- 21al+9为最大的负整数，则a的值为（）A.5B. 5C. - 517、如果一人是，的立方根，则下列结论正确的是（）A.
8、 b3 = aB. b=a3 C. b=a）18、两个无理数的和，差，积，商一定是（）A.无理数B.有理数C. 0 19、若3 +百的小数部分是a, 3-倔勺小数部分是4则 +加勺值为（）20、实数的平方根为（）A. aB. aC. 、/D. a/ | a |二.填空题1、同的平方根是， -（-196）的算术平方根是，（-5）2的立方根是,狗的平方根为 o2、若“-y + 1与x+y-3|互为相反数，则%=。3、若W3x-8和#3y+ 5互为相反数。则x+y=。4、设了、y为实数，且，=4 +，5-2x+J4x-1。,则I% 乂的值是5、边长为0的两个正方形拼成一个正方形的边长为6、比较大小：
9、3 6 2-V2 -273-3727、若12x-1 =3 + 1,贝= .8、若（x - 15） 2=169, （y - 1） 3= - 0.125,贝ij x-y=.9、的平方根与-1的立方根的积为. 8三.解答题1、计算：-户+港+4（-2） 2.2、已知x是J记的整数部分，y是 标的小数部分，求（/一、回7 的平方根.培优竞赛精例【例1】、实数a, b,c在数轴上的位置如图，化简而二铲-而方+2-而a b 0 c【变式题组】已知lx4,化简： J(x-4)2 -Q-X)2【例2】(全国竞赛)已知非零实数、满足|2a 4| + |) + 2| + J(a 3) +4 = 2,则。+人等于(
10、) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【变式题组】1、已知|2020 -2021 = 1,求a 20202 的值。2、x, y, m适合不等式j3x + 4y-3-m +J2x + 3y m =Jj;-y 5+j5 x + y,试求Vm + 11的平方根。【例3】若。为J17-2的整数部分，A1是9的平方根，且求的值.【变式题组】1、若3+6的小数部分是，3-6的小数部分是4 则q+8的值为.2、石-5的整数部分为，小数部分为4 则(出+。)-/= .3、已知M是满足不等式-6 a /3 b. V3 - V2 c. V2 + a/3 d. - /22、设o = JJ, b= -2, c
11、= 一 ,则 、b、c 的大小关系是()271. abc B. acb C. bac D. ca3(B) a 三3(C) a0,a20 ，V0 (aO) o7、平方根等于本身的数是电 立方根等于本身的数是 0, 1算术平方根等于本身的数是 0, 1二、基础夯实-.选择题1、下列给出的25的平方根是5的表达式中,A. V25=i5B. V25=-52、下列说法正确的是（B ）A. 一个数的立方根有两个C.若一个数有立方根，则它就有平方根3、下列说法正确的是（D ）正确的是（C ）C. 士倔=5D. 725=5B. 一个非零数与它的立方根同号D. 一个数的立方根是非负数A.数轴上任一点表示唯一的有
12、理数B.数轴上任一点表示唯一的无理数C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间都有无数个点4、下列语句：-1是1的平方根.带根号的数都是无理数.无理数都是无限小数.无限小数是无理数朝的立方根是2.（-2）2的算术平方根是2.-125的立方根是5.有理数和数轴上的点一一对应.其中正确的有（A. 2个B. 3个5、已知。是实数，下列命题结论正确的是A.若 ab,则 a1b2C.若 I q I b,则 a2b2B )C4个D. 5个(B )B.若 a b 9 则 a2b2D.若 苏/,则)6、一个数的平方是4,这个数的立方是（C8、a的算术平方根与血的相反数的倒数的积是（C ）A. - 1
13、 B. 1 C.-1D. -j=V28、一个立方体的体积是9,则它的棱长是（D ）A. 3B. 3?/3C. 3D. 3/q9、如图,数轴上A, B两点表示的数分别为0和5.1,则A, B两点之间表示整数的点共有（C ）A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个 一dW一0725.110、如图，数轴上A、5两点表示的数分别为一1和J5, 点B关于点A的对称点C,则点。所表示的数为（B ） mC A （J bA. 3 /3B. -2 a/3 C. 3+ a/3D. 2+ /311、在实数泥、0、3.1415、V3T22V,奶手中，无理数的个数为（B ）A. 4个 B. 5个 C. 6
14、个D. 7个12、一个正数x的两个平方根分别是，+1与。-5,则x值为（C ）A. 2 B. -3 C. 9 D. -9 13、估算唬的值是在（C ）A.2与3之间 B.3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 14、数轴上有两点A、B分别表示实数a、b,则线段AB的长度是（C ）A. a - bB. a+bC. D. |a+b|15、若 x2= ( - 3) 2, y3 - 27=0,则 x+y 的值是(C )D.0或- 6A. 0B, 6C.0 或 616、使对一 21al+9为最大的负整数，则a的值为（A ）A. 5B. 5C. - 5D.不存在17、如果一b是q的立方根，则下列结
15、论正确的是（A .）A. - b aB.-C . b=a，D. bs=a18、两个无理数的和，差，积，商一定是（D ）A.无理数B.有理数C. 0D.实数19、若3 +血的小数部分是a, 3-相勺小数部分是瓦则。+加勺值为（BA、0B、1C、-1D、220、实数次的平方根为（D ）A. a二.填空题c-D. V lai1、风的平方根是3, -(-196)的算术平方根是14,(-5)2的立方根是恒 ，病的平方根为2。2、若“-y+1与|x+y-3|互为相反数,则九，二1。3、若为 - 8和#3y + 5互为相反数。则x+y=1. 24、设了、y为实数，且y = 4 +J5-2x +J4x-1。,
16、则|%_丫|的值是 35、边长为血的两个正方形拼成一个正方形的边长为 26、比较大小：3-6 2-V2 -2V3 -3V27、若 V2x- 1 = 4x + 1,贝lj x= 2I-8、若(x - 15) 2=169, (y - 1) 3= - 0.125,贝I x-y= 27 5 或 L 5.9、标的平方根与-刁的立方根的积为1.三.解答题1、计算：-户+而五+/ (-2)2答案：92、已知x是 而的整数部分，y是 而的小数部分，求的平方根.答案：9培优竞赛精例【例1】、实数a, b,c在数轴上的位置如图，化简J(a勿2 一 J(c一。)2 +也一0| 而答案:解：原式=|a-b - c-a + b-c-a,.,a-bY0, c-a0,b-c0, aYO原式二a【变式题组】已知lx4,化简： J(x-4)2 .