婆罗摩笈多模型练习题（讲义+练习题+参考答案）.docx

《婆罗摩笈多模型练习题（讲义+练习题+参考答案）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《婆罗摩笈多模型练习题（讲义+练习题+参考答案）.docx（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、婆罗摩笈多模型讲义+练习题+参考答案背景介绍婆罗摩笈多定理在初中校级考试、中考中经常出现，属于经典辅助线模型。因为其涉及 中点、倍长中线、三垂直模型、全等、相似等众多几何知识点，特别被出题人所青睐。2020 年中考江苏宿迁、黑龙江（农垦、森工）都直接考察了这两个模型，在历年中考中也屡见不 鲜。本文档总结了常见的婆罗摩笈多模型，并且将近几年在中考中涉及到的真题、期末校级 考试真题进行了归纳，供读者学习。婆罗摩笈多定理若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、瓦相互垂直，垂足为O。过O做于点 E,交4）于点尸，则方是4）的中点。

2、分析：要证尸是AD的中点，需要通过倒角证明两边相等，在圆中可以利用同弧所对圆周 角相等，巧妙地将角相等的关系转化为边相等的关系，从而实现母的。证明：ACBD,OEBC.ZCBD = /COE ZCBD = /CAD, ZCOE = ZAOF.ZCAD=ZAOF .AF = OF ZAOD = 90, ZOAD + ZODA = 90 . ZFOD = ZFDO :.FO=FD.AF = FD,即尸是AZ）的中点PS：上述证法需要使用圆相关知识点，但是初二初学几何时我们也会遇到婆罗.(2019成都一模)如图1,在AABC中，ZBAC = 90, AB = AC,点。，石分别在边AB,AC上，AD

3、 = AE,连接DC、BE,点。为。C的中点.(1)观察猜想：图1中，线段AP与6E的数量关系是一,位置关系是一；(2)探究证明：把AA。石绕点4逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想(1)中的结论仍 然成立，请你证明小航的猜想；(3)拓展延伸：把AAZ汨绕点A在平面内自由旋转，若AO = 4, AB = 10,请直接写出线 段AP的取值范围.6 .(2017黑龙江)已知：AAO5和ACOD均为等腰直角三角形，ZAOB = ZCOD = 90.连接4), BC,点H为BC中点,连接O”.(1)如图1所示，易证：且2(2)将ACOD绕点。旋转到图2,图3所示位置时，线段。”与4)又有怎样的关系，并

4、 选择一个图形证明你的结论.7 . （2020宿迁）【感知】如图，在四边形ABCD中，NC = ND = 90。，点石在边CD上,AF DFZAEB = 9Q,求证：= EB CB【探究】如图，在四边形ABCD中，NC = NADC = 90。，点石在边CD上，点/在边AD的延长线上，ZFEG = ZAEB = 90 ,且巨=,连接3G交CD于点”. EG EB求证：BH = GH.AF HF【拓展】如图，点E在四边形ABCD内，ZAEB+ZZ）EC = 18O,且=，过石作 EB ECEF交AD于点、F ,若/EFA = NAEB ,延长EE交3c于点G.求证：BG = CG.图 图 图婆罗

5、摩笈多模型讲义+练习题+参考答案（解析版）背景介绍婆罗摩笈多定理在初中校级考试、中考中经常出现，属于经典辅助线模型。因为其涉及 中点、倍长中线、三垂直模型、全等、相似等众多几何知识点，特别被出题人所青睐。2020 年中考江苏宿迁、黑龙江（农垦、森工）都直接考察了这两个模型，在历年中考中也屡见不 鲜。本文档总结了常见的婆罗摩笈多模型，并且将近几年在中考中涉及到的真题、期末校级 考试真题进行了归纳，供读者学习。婆罗摩笈多定理若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如图，圆内接四边形A3C3的对角线AC、3。相互垂直，垂足为O。过。做O旦L3C于点 E,交AD于点

6、尸，则尸是AO的中点。分析：要证尸是4）的中点，需要通过倒角证明两边相等，在圆中可以利用同弧所对圆周 角相等，巧妙地将角相等的关系转化为边相等的关系，从而实现母的。证明：-ACBD,OEBC ZCBD = /COE ZCBD = ACAD. ZCOE = ZAOF:.ZCAD = ZAOF.AF = OF/ ZAOD = 90,ZOAD + ZODA = 90 . ZFOD = ZFDO :.FO = FD . .AF = FD,即b是AD的中点PS：上述证法需要使用圆相关知识点，但是初二初学几何时我们也会遇到婆罗壁笈多定理，我们可以使用其他方法进行证明，详情见下文。模型总结如图，两个等腰直角

7、三角形及A4。8RtCOD,顶点重合。则有以下四个结论: 如果方是AD中点，那么一定有。石J_8C;如果OEA.BC ,那么一定有厂是45中点;AAOD = Scob ； 2OF = BC Q 证明：（已知中点证垂直，采用倍长中线法）延长Ob至使= 连接MD。易证AAOb%ADFM ,/M = ZFOA,MD = OA ,-ZFAO = ZFOA,ZM = ZMDF = ZFOA = ZFOA, ,.ZM + Nb00 = 90。，即 ZMOD = 90。，然后可证MODBOC, . ZMOD = ABCO, .ZMOD+/EOC = 90。,MN ./OEC = 90, BP OEBC证明：

8、（已知垂直证中点，采用做平行线或者构造三垂直模型） 证法一：过点。作。与。9的延长线交于点A. ZM = ZFOA ,通过倒角可知= ZFOA = NOBC, ZMOD = ZOCB ,/-OD = OC/易证 MODCOB ,/:.OB = MD,/然后可证 AMFDAOFA,B:.AF = DF,即尸是4）中点。证法二：过点。作9，过点A作ANJ_O尸，与。尸的延长线交于点N。B ilE AOBEMNO, AOCEAODM ,:.AN = DM ,然后可证ANFADMF,.AF = DF,:.AF = DF,即尸是中点。 S/VIOD = SCOB ；,Saa。/)二AOODJ Saccr

9、 =BOOC iXACJD 2AC (zo 2SAO。= SCOB2OF = BC A/i由结论1、2可知，AD = BCAD = 2OF.2OF = BC婆罗摩笈多模型练习题（专项+参考答案）1 .（2020浙江自主招生）如图，在锐角三角形ABC中，A”是3C边上的高，分别以AB、 AC为一边，向外作正方形ABDE和ACEG,连接CE、3G和EG，EG与H4的延长线交 于点下列结论:3G = CE;3GJ_CE；AA/是AAEG的中线;ZE4M = ZABC，其中正确的结论是【解答】解：在正方形ABZ)石和ACFG中，AB = AE, AC = AG, ZBAE = ZCAG = 90 ,.

10、 ZBAE + ABAC = ZCAG + ABAC ,即 /CAE = /BAG,在MBG和MEC中，AB = AEZCAE = ZBAG , AC = AG AABG 二 MEC(SAS)，：.BG = CE,(故正确)；设3G、C相交于点N,/MBG=AAEC,:.ZACE = ZAGB , N/VCF + NA/G/=NACF + NAG尸=90。+ 90。= 180。， . ZCNG = 360 - (ZNCF + ZNGF + ZF) = 360 -(180 + 90) = 90 ,BG，CE,(故正确)；如图，过点石作EPJ_4的延长线于P,过点G作GQ_LAM于Q,. ZABH

11、 + ZBAH = 90,vZS4E = 90,/. AEAPZBAH = 180 -90 = 90 ,.ZABH = ZEAP,在ABH和AE4P中，/ABH = /EAPZAHB = ZP = 90 ,AB = AE. AABH = AE4P(A4S), :,AEAM = ZABC,(故正确)，EP = AH,同理可得GQ = A”，EP = GQ,在EPM和GQM中,ZP = ZMQG = 90ZEMP = ZGMQ ,EP = GQ X. . EPM = AGQM(AAS),:,EM = GM ,.AM是AAEG的中线，(故正确).综上所述，结论都正确.故答案为：.2.(2014德州一

12、模)如图1,若分别以AABC的AC、5C两边为边向外侧作的四边形ACDE和3CFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形.(1)发现：如图2,当NC = 90。时，求证：AABC与ADCF的面积相等.(2)引申：如果NCV90。时，(1)中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不 成立，请说明理由；(3)运用：如图3,分别以AABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知AABC中，AC = 3, 3c = 4.当 ZC =度时，图中阴影部分的面积和有最大值是.如果/是45中点，那么一定有OELBC;如果OEVBC，那么

13、一定有尸是45中点;M摩笈多定理，我们可以使用其他方法进行证明，详情见下文。模型总结如图，两个等腰直角三角形应AAO& RtCOD ,顶点重合。则有以下四个结论:(4) 2OF = BC。证明：(已知中点证垂直，采用倍长中线法)延长O歹至M,使=府，连接M3。易证AAO尸0ADRV, . /M = NFOA,MD = OA ,-ZFAO = ZFOA, . ZM = ZMDF = ZFOA = ZFOA , .ZM + NM9O = 90。，即 NMOD = 90。，然后可证AMODABOC,；ZMOD = ZBCO,-ZMOD+ZEOC = 90 ,.NOEC = 90。，BP OEA.BC

14、【解答】（1）证明：在AABC与ADPC中，AC = DC /ACB = ZDCF , BC = FC:.ABC = DFC. AA8C与ADFC的面积相等；（2）解：成立.理由如下：如图，延长3C到点P,过点A作正于点P；过点。作。，尸。于点 . ZAPC = ZDQC = 900 . 四边形ACDE, BCFG均为正方形,.AC = CD, BC = CF , ZACP+ZPCD = 90 , ZDCQ + ZPCD = 90 , ZACP = ZDCQ .ZAPC = ZDQC. ZACP = ZDCQ , AC = CDMFC = ADQC(AAS),. AP=DQ.又 BCAP， S

15、2FC = FCDQ ,.SSBC = ADFC ；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是AABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大， 当AA5c是直角三角形，即NC是90度时，阴影部分的面积和最大. ，* S阴影部分面积和= 3x x3x4 = 18.3.(2017江西)我们定义:如图1,在AABC中,把绕点A顺时针旋转。(0。180。) 得到A3,把AC绕点A逆时针旋转/?得到AC,连接9C.当0 + /? = 180。0寸，我们称 A!BrC是MBC的“旋补三角形”, ABrC边BfCf上的中线4)叫做MBC的“旋补中线”, 点A叫做“旋补中心 特

16、例感知:(1)在图2,图3中，ABC是AABC的“旋补三角形，4。是AABC的“旋补中线”.如图2,当AABC为等边三角形时，与3c的数量关系为AO =BC ；如图3,当NE4C = 90。，区C = 8时，则4)长为.猜想论证：(2)在图1中，当AABC为任意三角形时，猜想AD与3C的数量关系，并给予证明.拓展应用(3)如图 4,在四边形 ABCD, ZC = 90, NO = 150。，BC = 12, CD = 243 , DA = 6 .在B一 DB一 D四边形内部是否存在点P,使APQC是AB4B的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 AB4B的“旋补中线”长；若不存在，说明理由.

17、【解答】解：（1）如图2中,AABC是等边三角形，.AB = BC = AC = ABf = AC ,.DB = DC,. AD.LBC ,/Z4C = 60 ,+ AC = 180,.,.N5AC = 120。，. ZBf = ZC = 30，.AD = -ABf = -BC , 22故答案为2图3vZS4C = 90, Za4C + N8AC = 180。,:,ZB,AC = ZBAC = 90, AB = AB, AC = AC,:.ABAC=BfAC,. BC = BC ,;BD=DC,. AD = -BfC = -BC = 4922故答案为4.(2)结论：AD = -BC.2理由：如

18、图1中，延长4)到使得连接以0, CM图1.BD=DC, AD=DM,四边形AC MB，是平行四边形，:,AC = BM = AC,/ZBAC+ZBAC = 180,AC + ZABM = 180 ,:.ZBAC=ZMBA, -.-AB = ABf,:.BAC=/ABM ,:.BC=AM , AD = -BC.(3)存在.理由：如图4中，延长4)交BC的延长线于作3E_LA。于,作线段3C的垂直平分线交BE于P ,交BC于F ,连接Q4、PD、PC,作APCD的中线/W.连接。产交PC于O.ZMDC = 30 ,在 RtADCM 中，CD = 2C , ZDCM = 90 , ZMDC = 3

19、0 , :.CM = 2, DM =4, ZM = 60,在 RtABEM 中，/BEM =9伊,5M = 14, ZMBE = 30。,.EM =LbM = 7 , 2:.DE = EM-DM = 3,.AD = 6 ,AE = DE9 -.BEAD,:.PA = PD, PB=PC,在 RtACDF 中，/ CD = 2x/3 , CF = 6,tan NCDF = 6 ,./CDF = 60,ZADF = 90 = ZAEB,:./CBE = /CFD,/CBE=/PCF,:./CFD = /PCF ,.ZCFD-hZCDF = 90, NPCF + NCPF = 9 伊,.4CPF =

20、 /CDF = 60 ,易证 AFCPm:.CD = PF , CD/PF, 四边形CD尸尸是矩形，.NCD尸= 90。， . ZADP = ZADC /CDP = 60。,.AAZ乃是等边三角形，:.ZADP = P , / ZBPF = ACPF = 60 ,. NBPC = 120,.ZAPD+ZBPC = 180,APDC是ARAB的“旋补三角形”，在 RtAPDN 中，.N 尸DN = 90。，PD = AD = 6, DN = 6 :.PN = ylDN2 +PD2 =7（3）2+62 =V39 .（也可利用旋补中线长求出AB即可） 24.(2017山西一模)阅读与思考婆罗摩笈多(

21、Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学 的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算 仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名 的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1,四边形ABCD内接于OO,对角线ACJL5D于点P, PMJLAB于点延 长MP交CD于点、N ,求证：CN = DN.证明：在 AABP和 AfiA加中，PMA.AB,.ZBAP+ZABP = 90 , ZBPM + ZMBP = 900.ZBAP = ZBPM.yZDPN = ZBPM , ZB

22、AP = ZBDC.(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分.(2)已知：如图 2, AA3C 内接于 OO, ZB = 30, NACB = 45。，45 = 2,点。在 0O 上，ZBCD = 60,连接4),与BC交于点、P,作于点延长7WP交CD于点N,B图1图2【解答】解：（1）在AABP和她以尸中，-.ACA.BD, PMAB,:.ZBAP+ZAJBP = 90 , ZBPM + ZMBP = 90.:.ZBAP=ZBPM ./ ZDPN = ZBPM , ZBAP = ZBDC.ZDPN = ZPDN , .DN = PN,同理：CN = PN,.CN = DN

23、；（2）NACB = 45。，ZBCD = 60,/.ZACD = 450+ 60 = 105,又=NB = 30。，ADAC = 180。 ZACD-ZD = 45 ,.ZAPC = 180。 45 -45 = 90 , MFC是等腰直角三角形，:.PA = PC, ZCPD = 90 ,ZCPD = /APB在 ACPZ）和 AA尸3 中，ZD = ZB , PC=PA. CPD = AAPB（AAS）,CD = AB = 2,NCPD = 900 ,至于点延长MP交CD于点N,.同（1）得：CN = DN,:.PN = -CD = 1； 2故答案为：1.5.(2020黑龙江)以RtAAB

24、C的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACRS, 连接EG,过点A作于/，延长M4交EG于点N.(1)如图，若 NB4c = 90。，AB = AC,易证：EN = GN ；(2)如图，ZBAC = 90；如图，NB4CW90。，(1)中结论，是否成立，若成立，选择 一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.【解答】解：（1）证明：.NH4C = 90。，AB = AC, .NACB = 45。，:AMVBC. . ZMAC = 45 ,:.ZEAN = ZMAC = 45 ,同理 NAi4G = 45。，:.ZEAN = ZNAG. 四边形ABDE和四边形ACFG为

25、正方形，.AE=AB=AC = AG,:.EN = GN.(2)如图1, N84C = 90。时，(1)中结论成立.图1理由：过点石作P_L4V交4V的延长线于P,过点G作GQ_LA于Q, 四边形ARO石是正方形，:.AB = AE, NBAE = 90。, . NE4P + ZBAM = 180 - 90 = 90，.AM BC,:.ZABM + ZBAM =90,:.ZABM = ZEAP,在 A45A1和 AE4P 中，A ABM = NEAPZAMB = ZP = 90 ,AB = AE,. AABM = EAP(AAS), 证明：（已知垂直证中点，采用做平行线或者构造三垂直模型）证法

26、一：过点。作。MQ4,与。b的延长线父于点通过倒角可知 NM = /FQ4 = NOeC, ZMOD = ZOCB ,OD = OC:.OB = MD,然后可证AMFDAOFA,:.AF = DF,即尸是AZ）中点。证法二：过点。作/，过点A作ANJ_O尸，与。尸的延长线交于点N。B UE AOBEMNO, AOCEAODM ,:.AN = DM ,然后可证ANFADMF,:.AF = DF,:.AF = DF,即尸是中点。 Sa/IOD = SCOB ；*.* S,A()nAOODJ Saccr =一BO9OC iXACJD 2AC (zo 2SAO。= SCOB 2OF = BC MA由结

27、论1、2可知，AD = BCAD = 2OF .2OF = BC. .EP = AM,同理可得：GQ = AM ,:.EP = GQ,在AEPN和AGQN中，NP = ZNQG/ENP = ZGNQ , EP = GQ . AEPN = AGQN(AAS)，.,.EN = NG.如图2, NE4Cw90。时，(1)中结论成立.图2理由：过点石作4V交4V的延长线于P,过点G作GQ_LAM于Q, 四边形A3DE是正方形，,AB = AE. NBAE = 90。,AEAP + ZBAM = 180。90 = 90 ,-AM .LBC,:.ZABM + ZBAM=90,:.ZABM = ZEAP,在

28、AABM和AE4P中，A ABM = NEAPZAMB = ZP = 90 ,AB = AEAABM EAP(AAS),. .EP=AM ,同理可得：GQ = AM .;.EP = GQ,在AEPN和AGQN中，4P = 4NQGC = 180。，N3OC+ZA8 = 180。.,./OBE = ZAOD,在ABEO和AQZM中，OB = OAAOBE = ZAODBE = OD. ABEO = ODA ,:.OE=AD:.OH =-OE = -AD 22由 ABO 二 AOH4,知 ZEO3 = ZZMOZDAO + ZAOH = ZEOS + ZAOH = 90 ,:.OH A.AD.如图

29、3中，结论不变.延长O到,使得HE = OH ,连接的，延长EO交AO于G. ：BH = CH , EH = OH , ZBHE = ZOHC,:.ABHE = ACHO,.BE = OC = OD, ZE = ZCOH,.BE/OC, /OBE + ZBOC = 180。， ZBOC + ZAOD = 180OBE = ZAOD,在ABEO和AOZM中,OB = OAZOBE = ZAODBE = ODABEO = ODA:,OE=AD:.OH =-OE = -AD 22由3 AOZM,知 ZEO3 = ZZMOZDAO + ZAOG = AEOB + ZAOG = 90，. ZAGO =

30、90 :.OHA.AD.8.（2020宿迁）【感知】如图，在四边形ABCD中，NC = ND = 90。，点石在边CD上,AF DFZAEB = 9Q,求证：= EB CB【探究】如图，在四边形ABCD中，NC = NADC = 90。，点石在边CD上，点/在边AD的延长线上，ZFEG = ZAEB = 90 ,且巨=,连接3G交CD于点”. EG EB求证：BH = GH.AF HF【拓展】如图，点E在四边形ABCD内，ZAEB+ZZ）EC = 18O,且=，过石作 EB ECEF交AD于点、F ,若/EFA = NAEB ,延长EE交3c于点G.求证：BG = CG.图 图 图婆罗摩笈多模

31、型练习题（专项）1.（2020浙江自主招生）如图，在锐角三角形mc中，a”是 3c边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形和 ACEG,连接CE、5G和石G, EG与的延长线交于点M ,下列 结论：BG = CE；BG上CE；AM是AAEG的中线；ZEAM = ZABC, 其中正确的结论是.【解答】【感知】证明：.NC = = NAB = 90。，ZBEC + ZAED = ZAED+ZEAD = 90 ,;./BEC = /EAD,/. RtAAEDRtAEBC,.AE DE一EBCB*【探究】证明：如图1,过点G作GA/J_C。于点，由(1)可知空=匹EG GMR C图1EF AE

32、AE DE EG EB EB CBDE DE 一gmcbBC = GM ,又NC = NGMH = 90。，ZCHB = ZMHG, . BCH = AGMH(AAS),.BH = GH ,【拓展】证明：如图2,在EG上取点，使/BME=/AFE,过点。作CN/5M,交G的延长线于点N,则ZN = NBMG, ./EAF + ZAFE+ ZAEF = ZAEF + ZAEB+ ZBEM = 180。, ZEFA = ZAEB,.ZEAF = ZBEM 9 .AEFsEBM,AE EF 一bebmZAE3 + NDEC = 180。，NEFA +NDFE = 180。,而 NEFA = ZAEB

33、,./CED = /EFD , . NBMG + NBME = 180。，. ,(NEFD, NEFD+ ZEDF + /FED = /FED+ /DEC+ ZCEN = 180。， ZEDF = ZCEN , ADEFAEGV,DE _EF eccnp AE DE.二 二 ， EB EC.EF EF一BMCN .BM = CN,又 lZN = /BMG, ZBGM = 4CGN, . ABGM 二 ACGN(AAS),BG CG 2.(2014德州一模)如图1,若分别以AABC的AC、5C两边为边向外侧作的四边形ACDE和3CFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形.(1)发现：如图2

34、,当NC = 90。时，求证：AABC与ADCF的面积相等.(2)引申：如果NCV90。时，(1)中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不 成立，请说明理由；(3)运用：如图3,分别以AABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知AABC中，AC = 3, 3c = 4.当 ZC =度时，图中阴影部分的面积和有最大值是.B一 D3. (2017江西)我们定义：如图1,在AABC中,把AB绕点A顺时针旋转a(0。va180。) 得到A3,把AC绕点A逆时针旋转/?得到AC,连接9C.当0 + /? = 180。0寸，我们称

35、 A!BrC是MBC的“旋补三角形”, ABrC边BfCf上的中线4)叫做MBC的“旋补中线”, 点A叫做“旋补中心 特例感知:(1)在图2,图3中，ABC是AABC的“旋补三角形，4。是AABC的“旋补中线”.如图2,当AABC为等边三角形时，与3c的数量关系为AO =BC ；如图3,当NE4C = 90。，区C = 8时，则4)长为.猜想论证：(2)在图1中，当AABC为任意三角形时，猜想AD与3C的数量关系，并给予证明.拓展应用(3)如图 4,在四边形 ABCD, ZC = 90, NO = 150。，BC = 12, CD = 243 , DA = 6 .在四边形内部是否存在点P,使A

36、PQC是AB4B的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 AB4B的“旋补中线”长；若不存在，说明理由.4 .(2017山西一模)阅读与思考、婆罗建设多(Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学 的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算 仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名 的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图1,四边形ABCD内接于OO,对角线ACJL5D于点P, PMJLAB于点延 长MP交CD于点、N ,求证：CN = DN.证明：在 AABP和 Af

37、iA加中，PMA.AB,.ZBAP+ZABP = 90 , ZBPM + ZMBP = 900.ZBAP = ZBPM.yZDPN = ZBPM , ZBAP = ZBDC.(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分.(2)已知：如图 2, AA3C 内接于 OO, ZB = 30, NACB = 45。，45 = 2,点。在 0O 上，ZBCD = 60,连接4),与BC交于点、P,作于点延长7WP交CD于点N,B图1图25 .(2020黑龙江)以RtAABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACRS, 连接EG,过点A作于/，延长M4交EG于点N.(1)如图，若 NB4c = 90。，AB = AC,易证：EN = GN ；是否成立，若成立，选择(2)如图，ZBAC = 90；如图，NB4CW90。，(1)中结论,一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由.图1