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1、学案学案2 平面向量的基本定平面向量的基本定 理及坐标表示理及坐标表示平面向量的平面向量的基本定理及基本定理及坐标表示坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标掌握平面向量的正交分解及其坐标表示表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的理解用坐标表示的平面向量共线的条件条件.引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，更加容易进行，高考常常考查向量之间各种坐标运算，更加容易进行，高考常常考查向量
2、之间各种坐标运算，处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、三角等知识三角等知识.1.两个向量的夹角 (1)定义定义 已知两个已知两个 向量向量a和和b，作，作 OA=a,OB=b，则则AOB=叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角(如图如图).非零非零 (2)范围范围 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 ,a与与b同向时同向时,夹角夹角=;a与与b反向时反向时,夹角夹角=.(3)向量垂直向量垂直 如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是 ,则则a与与b垂垂直直,记作记作 .2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理平面向量基本定理
3、 如果如果e1,e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 向量向量,那么那么对于平对于平0180 0 180 90ab 不平行不平行 面内的任意向量面内的任意向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数1,2,使使a=.其中其中,不共线的向量不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组向量的一组 .(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向的向量量,叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 1e1+2e2基底基底 互相垂直互相垂直 在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，
4、分别取与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的两个单位向量的两个单位向量i，j作为基底作为基底.对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数有且只有一对实数 x,y，使得，使得 a=xi+yj.把有序数对把有序数对 叫做向量叫做向量a的坐标的坐标,记作记作a=,其中其中 叫做叫做a在在x 轴上的坐标轴上的坐标,叫做叫做a在在y轴轴上的坐标上的坐标.设设OA=xi+yj,则则 就是终点就是终点A的坐标的坐标,即若即若OA=(x,y),则则A点坐标为点坐标为 ,反之亦成立反之亦成立(O是坐标原点是坐标原点).3.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算加法、减法、数乘运算 (x,
5、y)(x,y)(x,y)向量向量OA的坐标的坐标(x,y)x y (2)向量坐标的求法向量坐标的求法 已知已知A(x1,y1),B(x2,y2),则则AB=（x2-x1,y2-y1)，即，即一个向量的坐标等于该向量的一个向量的坐标等于该向量的 坐标减坐标减去去 的坐标的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中其中b0,则则a与与b共线共线a=.x1y2-x2y1=0终点终点始点始点 b 如右图，在如右图，在ABC中，点中，点M是是边边BC的中点，点的中点，点N在边在边AC上，上，且且AN=2NC.AM与与BN相交于相交于点点P，
6、求，求AP:PM的值的值.【分析分析分析分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参 数的值数的值.考点考点考点考点1 1 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 【解析解析解析解析】设设BM=e1,CN=e2,则则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和和B,P,N分别共线分别共线,存在实数存在实数,使使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,故故BA=BP-AP=(+2)e
7、1+(3+)e2.而而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2 =3+=3,=.故故AP=AM,即即AP:PM=4:1.由基本定理，得由基本定理，得解得解得 【评析评析评析评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线次使用三点共线.注意方程思想的应用注意方程思想的应用.（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握应根据条件灵活应用，熟练掌握.【解析解析】【分析分析分析分析】利用向量的坐标运算解题利用向量的坐标运算解题.考点考点考点考点2 2 平面向量的坐标运算平面向量的坐
8、标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 设向量设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.ab=C.a-b与与b垂直垂直 D.ab 【解析解析】A项项,|a|=1,|a|b|,A项错项错;B项项,ab=1 +0 =,B项错项错;C项项,(a-b)b=ab-|b|2=0,故故C项正确项正确.故应选故应选C.【评析评析评析评析】利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项的正误的正误.已知已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设设AB=a,BC=b,CA=c,且且CM=3c,CN=-2b.(
9、1)3a+b-3c=_;(2)向量向量MN的坐标为的坐标为_.【解析解析】由已知得由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)CM=OM-OC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).M(0,20).又又CN=ON-OC=-2b,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2).MN=(9,-18).平面内给定三个向量平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若若(a+kc
10、)(2b-a),求实数求实数k.【分析分析分析分析】(1)由两向量平行及两向量平行的条件得由两向量平行及两向量平行的条件得出关于出关于k的方程的方程,从而求出实数从而求出实数k的值的值.考点考点考点考点3 3 平行平行平行平行(共线共线共线共线)向量的坐标运算向量的坐标运算向量的坐标运算向量的坐标运算 【解析解析解析解析】(a+kc)(2b-a),又又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.【评析评析评析评析】向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题实数的运算问题.已知向量已知
11、向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且且uv,则实则实数数x的值为的值为_.因为因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为又因为uv,所以所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即即10 x=5,解得解得x=.1.1.1.1.建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理.因因因因此，对所给向量应会根据条件在此，对所给向
12、量应会根据条件在此，对所给向量应会根据条件在此，对所给向量应会根据条件在x x x x轴和轴和轴和轴和y y y y轴进行分解，轴进行分解，轴进行分解，轴进行分解，求出其坐标求出其坐标求出其坐标求出其坐标.2.2.2.2.已知向量的始点和终点坐标已知向量的始点和终点坐标已知向量的始点和终点坐标已知向量的始点和终点坐标,求向量的坐标时求向量的坐标时求向量的坐标时求向量的坐标时,一定一定一定一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标.1.1.要区分点的坐标与向量的坐标要区分点的坐标与向
13、量的坐标要区分点的坐标与向量的坐标要区分点的坐标与向量的坐标,尽管在形式上它尽管在形式上它尽管在形式上它尽管在形式上它们完全一样们完全一样们完全一样们完全一样,但意义完全不同但意义完全不同但意义完全不同但意义完全不同,向量的坐标中同样有方向量的坐标中同样有方向量的坐标中同样有方向量的坐标中同样有方向与大小的信息向与大小的信息向与大小的信息向与大小的信息.2.2.在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件“若若若若P P是线段是线段是线段是线段ABAB的分点，且的分点，且的分点，且的分点，且|PA|=2|PB|”|PA|=2|PB|”时，时，时，时，P P可能是可能是可能是可能是ABAB的内分点，也的内分点，也的内分点，也的内分点，也可能是可能是可能是可能是ABAB的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有：AP=2PBAP=2PB或或或或AP=-2PB.AP=-2PB.3.3.数学上的向量是自由向量数学上的向量是自由向量数学上的向量是自由向量数学上的向量是自由向量,向量向量向量向量x=(x=(a,ba,b)经过平移经过平移经过平移经过平移后得到的向量的坐标仍是后得到的向量的坐标仍是后得到的向量的坐标仍是后得到的向量的坐标仍是(a,ba,b).).名师伴你行