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1、应用统计第一章 数理统计基本概念1第1页，共39页，编辑于2022年，星期六1.1总体与样本总体与样本一、一、总体与个体总体与个体总总体体指指研研究究对对象象的的某某项项数数量量指指标标值值的的全全体体。组组成成总总体体的的每每个个元元素素称称为为个个体体。由由于于每每个个个个体体的的出出现现带带有有随随机机性性，即即相相应应的的数数量量指指标标值值的的出出现现带带有有随随机机性性。从从而而可可把把此此种种数数量量指指标标看看作作随随机机变变量量，我我们们用用一一个个随随机机变变量量及及其其分分布布来来描描述述总总体体。为为此此常常用用随随机机变变量量的的符符号号或或分分布布的的符符号号X,Y
2、,Z来表示总体。来表示总体。例例1.1研究某灯泡的使用寿命时研究某灯泡的使用寿命时,总体可用随机变量总体可用随机变量X来表示来表示,或用其分布函数或用其分布函数F(x)表示。表示。2第2页，共39页，编辑于2022年，星期六二、样本二、样本为为了了推推断断总总体体分分布布及及其其各各种种特特征征，就就必必须须从从总总体体中中按按一一定定法法则则抽抽取取若若干干个个体体进进行行观观测测或或试试验验，以以获获得得有有关关总总体体的的信信息息.这这一一抽抽取取过过程程称称为为抽抽样样.所所抽抽取取的的部部分分个个体体称称为为样样本本,样样本本中中个个体体的的个个数数称称为为样样本本容容量量.例例如如
3、容容量量为为n的的样样本本可可以以看看作作是是n维随机变量维随机变量(),其观察值为其观察值为().例例1.2研究某地区学龄前儿童发育情况研究某地区学龄前儿童发育情况,人们关心的是其体重人们关心的是其体重X和身长和身长Y这两个数量指标这两个数量指标,则此总体就可用二维随机变量则此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数F(x,y)表示表示.3第3页，共39页，编辑于2022年，星期六简单随机抽样简单随机抽样:它要求满足两点它要求满足两点:(1)代代表表性性.样样本本中中每每个个个个体体与与所所考考虑虑的的总总体体有有相相同同的分布的分布.即样本中每个个体与总体即样本中每
4、个个体与总体X具有相同的分布具有相同的分布.(2)独独立立性性.样样本本中中每每个个个个体体取取什什么么值值并并不不影影响响其其它它个个体体取什么值取什么值.即必须是相互独立的随机变量即必须是相互独立的随机变量.由由简简单单随随机机抽抽样样所所得得到到的的样样本本称称为为简简单单随随机机样样本本.假假如如总总体体的的分分布布函函数数为为F(x),则则其其简简单单随随机机样样本本的的联联合合分分布布函函数数为为4第4页，共39页，编辑于2022年，星期六三、三、分布族分布族在概率论研究中，随机变量的分布总是假设给定的，在概率论研究中，随机变量的分布总是假设给定的，但在数理统计的研究中，总体的分布
5、是未知的，但总但在数理统计的研究中，总体的分布是未知的，但总可以假定总体的分布是某一个分布族的成员可以假定总体的分布是某一个分布族的成员.例例1.3 在在研研究究某某批批灯灯泡泡的的质质量量时时,若若关关心心的的是是其其质质量量是是否否合合格格,若若合合格格记记为为0,不不合合格格记记为为1,因因此此该该总总体体就就可可用用仅仅取取0和和1的的随随机机变变量量X来来表表示示.显显然然,这这个个总总体体的的分分布布就就是是一一个个参参数数为为p的的二二点点分分布布b(1,p),由由于于p未未知知,故故这这个个总总体体分分布布也也是是未未知知的的,但但可可以以假假定定该该总总体体分分布布是是二二点
6、点分分布族布族 F=b(1,p);0p0.6第6页，共39页，编辑于2022年，星期六四、从样本去认识总体四、从样本去认识总体 频数频率分布表及其图示频数频率分布表及其图示例例1.4 我我们们通通常常饮饮用用的的矿矿泉泉水水有有19个个指指标标.某某市市技技术术监监督督局局一一次次抽抽查查了了58批批矿矿泉泉水水,记记录录每每一一批批矿矿泉泉水水的的每每个个指指标标是是否否合合格格,从从中中可可统统计计出出每每批批矿矿泉泉水水不不合合格格指指标标的的个个数数X.这这里里X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量,其其一一切切可可能能取取值值为为0,1,19.58批批矿矿泉泉水水的的指指标标不不
7、合合格格数数构构成成了了一一个个容容量量为为58的的样样本本的的观观察察值值,每每个个可可取取0,1,19中某个值中某个值,将它们整理后列成表将它们整理后列成表1.1.17第7页，共39页，编辑于2022年，星期六表表 1.1.1 58批矿泉水不合格指标数的频率、批矿泉水不合格指标数的频率、频数分布表频数分布表8第8页，共39页，编辑于2022年，星期六9第9页，共39页，编辑于2022年，星期六(2)经验分布函数经验分布函数样样本本直直方方图图可可以以形形象象地地去去描描述述总总体体概概率率密密度度函函数数大大致致形形状状,经验分布函数将可以用来描述总体分布函数的大致形状经验分布函数将可以用
8、来描述总体分布函数的大致形状.定义定义1.1.1 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为F(x),从中获得的样本从中获得的样本观察值为观察值为 ,将它们从小到大排列成将它们从小到大排列成 ,令令 称称 为该样本的经验分布函数为该样本的经验分布函数.10第10页，共39页，编辑于2022年，星期六定义定义1.1.1.1.2 2 经验分布函数经验分布函数 用用S(x)表示样本表示样本X1，Xn中不大于中不大于x的随机变量个数。定义经验分布的随机变量个数。定义经验分布函数函数Fn(x)为为11第11页，共39页，编辑于2022年，星期六例例1.5写出经验分布函数写出经验分布函数某食品厂用自动装罐机生
9、产净重量为某食品厂用自动装罐机生产净重量为345克的午餐肉罐头克的午餐肉罐头,由于随机性由于随机性,每个罐头的净重有差别每个罐头的净重有差别,现从中随机取现从中随机取10个罐个罐头头,其净重如下其净重如下:344,336,345,342,340,338,344,343,344,343,求经验分布函数求经验分布函数.12第12页，共39页，编辑于2022年，星期六1.2统计量及其分布统计量及其分布1.定定义义1.2.1 设设 是是取取自自某某总总体体的的一一个个容容量量为为n的样本的样本,假如样本函数假如样本函数 中中不不含含任任何何未未知知参参数数,则则称称T为为统统计计量量.统统计计量量的的
10、分分布布称为抽样分布称为抽样分布.2.2.常用的几个统计量常用的几个统计量设设 是来自总体是来自总体X的样本的样本样本均值样本均值 样样本本均均值值是是反反映映总总体体数数学学期期望望所所在在位位置置信信息息的的一一个个统计量统计量,是总体数学期望的一个很好的估计是总体数学期望的一个很好的估计.13第13页，共39页，编辑于2022年，星期六样本方差样本方差 样本标准差样本标准差 样样本本方方差差与与样样本本标标准准差差反反映映了了数数据据取取值值分分散散与与集集中中的程度的程度,即反映了总体方差与标准差的信息即反映了总体方差与标准差的信息.样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩
11、 它它们们分分别别反反映映了了总总体体k阶阶(原原点点)矩矩与与k阶阶中中心心矩矩的的信信息息.14第14页，共39页，编辑于2022年，星期六样本偏度样本偏度 SK反反映映了了总总体体分分布布密密度度曲曲线线的的对对称称性性信信息息.当当SK0时时,分分布布的的形形状状是是右右尾尾长长,称称为为正正偏偏的的;当当SK0时时,分布密度曲线在其峰比正态分布来得陡分布密度曲线在其峰比正态分布来得陡;当当KU0是形状参数是形状参数,0是尺度参数是尺度参数.而而(,);0,0就是就是分布族分布族当当=1时的时的分布为指数分布其密度曲线如下分布为指数分布其密度曲线如下:26第26页，共39页，编辑于20
12、22年，星期六27第27页，共39页，编辑于2022年，星期六分布族分布族性质性质28第28页，共39页，编辑于2022年，星期六(5)分布族分布族定义定义1.2.6:定义在（定义在（0,1）上）上,且密度函数且密度函数表示的概率分布称为表示的概率分布称为分布记为分布记为(a,b)(a,b)或或Be(a,b),Be(a,b),其其中中a0,b0.a0,b0.而而(a,b):a0,b0(a,b):a0,b0 为为分布族分布族.分布有几个重要的特分布有几个重要的特例例.当当a=1,b=1时时,分分布就是布就是U(0,1)29第29页，共39页，编辑于2022年，星期六4、随机变量的分布的分位点、随
13、机变量的分布的分位点1、设随机变量、设随机变量XF(x),给定常数给定常数:0 1，若存在若存在，满足满足，则称则称为分布为分布F(x)的上的上(侧侧)分位点分位点.2、设随机变量、设随机变量XN(0,1),给定常数给定常数:0 1，若存在若存在，满足满足，则称则称为标准正态分布为标准正态分布的上侧的上侧 分位点分位点.30第30页，共39页，编辑于2022年，星期六标准正态分布的分位点标准正态分布的分位点0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.961.6451.28231第31页，共39页，编辑于2022年，星期六设设X 2(n)，若对于，若对
14、于：0 1，若存在，若存在满足满足则称则称 为为 分布的上分布的上 分位点。分位点。2分布分布分位点分位点32第32页，共39页，编辑于2022年，星期六设设T Tt(n)t(n)，若对，若对:0:0 1,tPTt(n)=(n)=，则称则称t t(n)(n)为为t(n)t(n)的上侧的上侧 分位点分位点.t分布分位点分布分位点33第33页，共39页，编辑于2022年，星期六设设F F F(n1F(n1,n2)n2)对于对于 ：00 1FPFF(n(n1 1,n n2 2)=)=，则称则称F F(n(n1 1,n n2 2)为为F(nF(n1 1,n n2 2)的上侧的上侧 分位点分位点F分布的
15、分位点分布的分位点34第34页，共39页，编辑于2022年，星期六1.3正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理35第35页，共39页，编辑于2022年，星期六36第36页，共39页，编辑于2022年，星期六第一章第一章练习题练习题习题习题1、设总体、设总体XU(0,20),取容量为取容量为10的样本，的样本，求求37第37页，共39页，编辑于2022年，星期六设设X1，Xn是取自是取自N（,2)的样本的样本,求求样本方差样本方差S2的期望与方差。的期望与方差。练习题练习题2解：由抽样分布定理解：由抽样分布定理再利用再利用 2分布的性质分布的性质于是，得于是，得38第38页，共39页，编辑于2022年，星期六设设X1，X10是取自是取自N（0，0.32)的样本的样本,求求练习题练习题3解：由解：由 2分布的定义，得分布的定义，得于是于是其中其中39第39页，共39页，编辑于2022年，星期六