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1、3.2 3.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法贵州省普安县第一中学 数学组 贺超通通过过本本节节的学的学习习，掌握一元二次不等式的解法，掌握一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间间的关系，能利用一元二次不等式解决的关系，能利用一元二次不等式解决简单简单的的实际问题实际问题1 1只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 2的整式不等式，称的整式不等式，称为为_不等式不等式答案答案：一元二次：一元二次自学导引自学导引 b b2 24 4acac 00 0 0 00)0)
2、的的图图象象axax2 2bxbxc c0 0(a a0)0)的根的根x x1 1，x x2 2_axax2 2bxbxc c00(a a0)0)的解集的解集_R Raxax2 2bxbxc c00)0)的解集的解集 x x|x x1 1 x x x x2 2 _ 答案答案：没有没有实实数根数根 x x|x x x x2 2 1 1一元二次不等式一元二次不等式axax2 2bxbxc c0(0(a a0)0)具具备备哪些条件哪些条件时时，解集，解集为为R R或或？答案答案：当：当a a00，00时时，解集，解集为为R.R.当当a a0010是关于是关于“x x”的二次的二次不等式不等式吗吗？答
3、案答案：axax2 25 5x x1010不一定是一元不一定是一元二次不等式，当二次不等式，当a a0 0时时它是一元一次不它是一元一次不等式若等式若题题目中目中给给出的条件是出的条件是“一元二一元二次不等式次不等式axax2 25 5x x10”10”则隐则隐含的条件含的条件是是a a0.0.自主探究自主探究1 1不等式不等式x x2 2x x2 20 0的解集是的解集是()A A x x|x x2 2，或，或x x1 1 B B x x|22x x10100中，中，6 62 2400400，不等式不等式x x2 26 6x x10100 0的解集为的解集为R.R.选选C.C.答案答案：C
4、C3 3不等式不等式x x2 2pxpxq q00的解集的解集为为 x x|33x x200的解集是全体的解集是全体实实数的条件是数的条件是_解析解析：利用三个利用三个“二次二次”关系及二次函数图象推关系及二次函数图象推导导1 1一元二次不等式一元二次不等式通通过过同解同解变变形，一元二次不等式可化形，一元二次不等式可化为为：axax2 2bxbxc c00或或axax2 2bxbxc c0(0)0)不妨不妨设设方程方程axax2 2bxbxc c0 0的两根的两根为为x x1 1 、x x2 2且且x x1 1 0(0(a a0)0)的解集，就是二次函数的解集，就是二次函数y yaxax2
5、2bxbxc c(a a0)0)在在x x轴轴上方部分的点的横坐上方部分的点的横坐标标x x的集合；的集合；axax2 2bxbxc c0(0)0)的解集，就是二次函数的解集，就是二次函数y yaxax2 2bxbxc c(a a0)0)在在x x轴轴下方部分的点的横坐下方部分的点的横坐标标x x的集合的集合2 2解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程序序由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般思考步的关系，可以得到解一元二次不等式的一般思考步骤骤：(1)(1)化不等式化不等式为
6、标为标准形式：准形式：axax2 2bxbxc c0(0(a a0)0)，或，或axax2 2bxbxc c0(0)0)；(2)(2)求方程求方程axax2 2bxbxc c0(0(a a0)0)的根，并画出的根，并画出对应对应函数函数y yaxax2 2bxbxc c图图象的象的简图简图；(3)(3)由由图图象得出不等式的解集象得出不等式的解集3.3.含参数的一元二次型的不等式含参数的一元二次型的不等式在解关于含参数的一元二次型的不等式在解关于含参数的一元二次型的不等式时时，往往，往往要要对对参数参数进进行分行分类讨论类讨论，为为了做到分了做到分类类“不重不漏不重不漏”，讨论讨论需从如下三个
7、方面需从如下三个方面进进行考行考虑虑：(1)(1)关于不等式关于不等式类类型的型的讨论讨论：二次：二次项项系数系数a a00，a a00)0)，一根一根(0)0)，无根，无根(0)x x2 2，x x1 1x x2 2，x x1 1 1414；(2)(2)x x2 27 7x x6.6.解解：(1)(1)先将先将1414移到左移到左边边化化为为x x2 25 5x x140.140.因因为为方方程程x x2 25 5x x14140 0的两根分的两根分别为别为2,7.2,7.结结合二次函数合二次函数图图象易得不等式解集象易得不等式解集为为 x x|x x 77典例剖析典例剖析(2)(2)先将不
8、等式化先将不等式化为为x x2 27 7x x6060，因，因为为方程方程x x2 27 7x x6 60 0的两根的两根为为1,6.1,6.所以利用所以利用图图象可得不等式解集象可得不等式解集为为 x x|1|1x x66方法点评方法点评：当所当所给给不等式是非不等式是非标标准形式准形式时时，应应先先化化为标为标准形式，在具体求解一个准形式，在具体求解一个标标准形式的一元二次准形式的一元二次不等式的不等式的过过程中，要根据一元二次方程的根的情况以程中，要根据一元二次方程的根的情况以及二次函数的及二次函数的图图象求解象求解这这种方法体种方法体现现了了“化归化归”的数的数学思想方法的运用，要注意
9、体会学思想方法的运用，要注意体会解解：(1)(1)原不等式可化原不等式可化为为2 2x x2 2x x1 10 0，(2(2x x1)(1)(x x1)1)0 0，(2)(2)因因为为(2)2)2 243438080.30.题题型二含参数的一元二次不等式的解法型二含参数的一元二次不等式的解法【例例2 2】设设m mR R，解关于，解关于x x的不等式的不等式m m2 2x x2 22 2mxmx30.30.解解：当：当m m0 0时时，3030恒成立，恒成立，原不等式的解集原不等式的解集为为R.R.当当m m00时时，原不等式化，原不等式化为为(mxmx3)(3)(mxmx1)01)0，方法点
10、评方法点评：解不等式解不等式时时，由于，由于m mR R，因此不，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因能完全按一元二次不等式的解法求解因为为当当m m0 0时时，原不等式化，原不等式化为为3030，此，此时时不等式的解集不等式的解集为为R R，所以解所以解题时应题时应分分m m0 0与与m m00种情况来种情况来讨论讨论2 2解关于解关于x x的不等式的不等式axax2 2(2(2a a1)1)x x20.20.解解：(1)(1)当当a a0 0时时，原不等式可化，原不等式可化为为x x20222(2)(2)当当a a00时时，原不等式化，原不等式化为为(axax1)(1)(x x2)02
11、)00，axax2 2bxbxc c000的解集的解集为为 x x|x x (0(0 )求不等式求不等式cxcx2 2bxbxa a000的解集的解集为为 x x|x x 00 ，a a0.0.根据一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，得得误误区解密忽略二次区解密忽略二次项项系数系数为为零而出零而出错错【例例4 4】若不等式若不等式(a a2)2)x x2 22(2(a a2)2)x x4040的解的解集集为为R R，求，求实实数数a a的取的取值值范范围围错解错解：不等式：不等式(a a2)2)x x2 22(2(a a2)2)x x4040(0(a a0)0)的解集与的解集与对对应应的一元二次方程的一元二次方程axax2 2bxbxc c0 0的根以及二次函数的根以及二次函数y yaxax2 2bxbxc c的的图图象之象之间间的关系，求解的关系，求解时时明确具体的解明确具体的解题题步步骤骤对对于于应应用用问题问题，要先确定其中的不等关系，要先确定其中的不等关系，进进而用相而用相应应的不等式表示出来，再解不等式的不等式表示出来，再解不等式获获得得问题问题的的答案答案课堂总结课堂总结