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1、 数数 字字 通通 信信 原原 理理 Principles of Digital Communication中南大学信息科学与工程学院中南大学信息科学与工程学院Central South UniversityCollege of Information Science and Engineering数字通信原理1/6/20231/6/2023数字通信原理第一讲第一讲 绪论绪论第二讲第二讲 信息论基础和信号分析信息论基础和信号分析第三讲第三讲 模拟调制技术模拟调制技术第四讲第四讲 信源编码技术信源编码技术第五讲第五讲 数字基带传输数字基带传输第六讲第六讲 数字调制技术数字调制技术第七讲第七讲 差
2、错控制编码差错控制编码数字通信原理1/6/2023目目 录录1/6/2023数字通信原理第七讲第七讲 差错控制编码差错控制编码7.1 7.1 基本概念基本概念7.2 7.2 纠错编码原理纠错编码原理7.3 7.3 常用的简单编码常用的简单编码7.4 7.4 线性分组码线性分组码7.5 7.5 循环码循环码1/6/2023数字通信原理7.1 7.1 基本概念基本概念7.1.1 7.1.1 产生误码的原因和信道分类产生误码的原因和信道分类一、原因一、原因v系统特性的不理想：系统特性的不理想：乘性噪声乘性噪声数字信号波形失真数字信号波形失真接收端误判接收端误判形成误码形成误码v信道噪声干扰：信道噪声
3、干扰：加性噪声加性噪声数字信号变形数字信号变形误码误码二、信道分类二、信道分类 按加性噪声引起的错码分布规律的不同分类：按加性噪声引起的错码分布规律的不同分类：v随机信道：存在白色高斯噪声，误码相互独立；随机信道：存在白色高斯噪声，误码相互独立；v突发信道：存在突发脉冲干扰，误码在短时间内成串出突发信道：存在突发脉冲干扰，误码在短时间内成串出现，并前后有关；现，并前后有关；v混合信道：随机信道突发信道；混合信道：随机信道突发信道；1/6/2023数字通信原理三、差错类型三、差错类型vv随机差错独立差错随机差错独立差错随机差错独立差错随机差错独立差错l差错的出现随机，且差错之间是统计独立的差错的
4、出现随机，且差错之间是统计独立的l由随机噪声引起由随机噪声引起l存在这种差错的信道称为随机信道无记忆信道存在这种差错的信道称为随机信道无记忆信道vv突发差错突发差错突发差错突发差错l差错在短时间成串出现，而在其间又存在较长的差错在短时间成串出现，而在其间又存在较长的无差错区间，且差错之间相关无差错区间，且差错之间相关l因脉冲噪声，也可能是由存储系统中磁带的缺陷因脉冲噪声，也可能是由存储系统中磁带的缺陷或读写头接触不良引起或读写头接触不良引起l存在这种差错的信道称为突发信道有记忆信道存在这种差错的信道称为突发信道有记忆信道1/6/2023数字通信原理加大发送功率加大发送功率加大发送功率加大发送功
5、率 即提高信噪比，虽简单有效，但功率不可无限即提高信噪比，虽简单有效，但功率不可无限增加，所以实际上受到一定的限制；增加，所以实际上受到一定的限制；匹配滤波接收匹配滤波接收匹配滤波接收匹配滤波接收：可一直白色噪声，使误码率下：可一直白色噪声，使误码率下降；降；合理的调制解调方式合理的调制解调方式合理的调制解调方式合理的调制解调方式PePePSKPSK PePeDPSKDPSK PePeFSKFSK相干、相干、ASKASK t)1/6/2023数字通信原理Ce1d0tC1C2td0C1C2ted0t1/6/2023数字通信原理vv差错控制编码的效果差错控制编码的效果v假设随机信道中发送假设随机信
6、道中发送“0”码与发送码与发送“1”码码传错概率相等为传错概率相等为Pe,且且Pe1,则在码长为则在码长为n的码的码组中发生组中发生r个错误的概率为：个错误的概率为：vPn(r)=Cnr Per(1-Pe)n-rn!/r!(n-r)!Perv当码长当码长n=7,Pe=10-3时，则有时，则有P7(1)7 Pe=7 10-3P7(2)21 Pe2=2.1 10-5P7(3)35 Pe3=3.5 10-81/6/2023数字通信原理编码效率编码效率v指一个码组中信息位所占比重，用指一个码组中信息位所占比重，用表示表示v=k/n，其中其中k为信息码元的数目，为信息码元的数目，n为码长为码长v可见：若
7、加入的监督位越多，纠错能力越强，编可见：若加入的监督位越多，纠错能力越强，编码效率越低；码效率越低；v纠错编码的纠错编码的任务任务任务任务是，根据不同干扰特性设计出纠是，根据不同干扰特性设计出纠检错能力最强，效率高的纠错码，且译码设备不检错能力最强，效率高的纠错码，且译码设备不太复杂；太复杂；1/6/2023数字通信原理7.3 7.3 常用的简单编码常用的简单编码奇偶校验码奇偶校验码奇偶监督码奇偶监督码vv奇奇监督码监督码：使码字加上：使码字加上1 1位监督位位监督位C C0 0后，后，码字中码字中“1”“1”的个数为奇数个；的个数为奇数个；vv偶监督码偶监督码：使码字加上：使码字加上1 1为
8、监督位为监督位C C0 0后，后，码字中码字中“1”“1”的个数为偶数个；的个数为偶数个；v只能检测出奇数个错误，不能纠错只能检测出奇数个错误，不能纠错v应用：以随机错误为主的计算机通信系统，应用：以随机错误为主的计算机通信系统，难于对付突发错误难于对付突发错误v最小码距最小码距d dminmin=2=21/6/2023数字通信原理二维奇偶校验码二维奇偶校验码水平垂直奇偶监督码水平垂直奇偶监督码v将奇偶监督码推广到二维。即在每一行进行奇将奇偶监督码推广到二维。即在每一行进行奇偶校验，同时在矩阵中每一列进行奇偶校验，偶校验，同时在矩阵中每一列进行奇偶校验，发送时按列的顺序传输发送时按列的顺序传输
9、v接收端将码元排成发送时的方阵形式，再分别接收端将码元排成发送时的方阵形式，再分别按行、按列进行奇偶校验按行、按列进行奇偶校验v能够发现某行、某列上所有奇数个错误以及突能够发现某行、某列上所有奇数个错误以及突发长度不大于方阵行数或列数的突发错误；并发长度不大于方阵行数或列数的突发错误；并有可能检测出偶数个错误（在行上检测不出，有可能检测出偶数个错误（在行上检测不出，但有可能在列上检测出），但当偶数个错误刚但有可能在列上检测出），但当偶数个错误刚好分布在矩阵的四个顶点时，则检测不出好分布在矩阵的四个顶点时，则检测不出v可纠正一些错误可纠正一些错误v适用于检测突发错误，将使误码减少到原来的适用于检
10、测突发错误，将使误码减少到原来的111/6/2023数字通信原理1/6/2023数字通信原理等比码等比码v每个码组中含每个码组中含“1”和和“0”的个数的比例的个数的比例恒定，又称恒定，又称等重码等重码、恒比码恒比码、定定1码码；v能检测出所有能检测出所有1位错和奇数个错误，并能位错和奇数个错误，并能部分检测出偶数个错误（成对交换错则检部分检测出偶数个错误（成对交换错则检测不出）测不出）v简单，适应于对字母或符号进行编码，常简单，适应于对字母或符号进行编码，常用于电传机传输汉字，以及其他产生固定用于电传机传输汉字，以及其他产生固定字符的键盘设备中；字符的键盘设备中；v举例举例1/6/2023数
11、字通信原理正反码正反码v监督位数与信息位数目相同，且两者相同或相反，监督位数与信息位数目相同，且两者相同或相反，取决于信息序列中取决于信息序列中“1”的个数；的个数；vv编码规则编码规则编码规则编码规则l当信息位中有奇数个当信息位中有奇数个“1”时，监督位是信息位的简时，监督位是信息位的简单重复；单重复；l当信息位中有偶数个当信息位中有偶数个“1”时，监督位是信息位的反时，监督位是信息位的反码；码；vv接收端解码接收端解码接收端解码接收端解码l先将码组中信息位与监督位按位模先将码组中信息位与监督位按位模2加，得到合成码加，得到合成码组组l产生校验码组：码组中信息码元有奇数个产生校验码组：码组中
12、信息码元有奇数个“1”，则，则校验码组校验码组=合成码组，否则校验码组合成码组，否则校验码组=合成码组的反码合成码组的反码l按照校验码组中按照校验码组中“1”的个数进行检错及纠错的个数进行检错及纠错1/6/2023数字通信原理校验码组的组成校验码组的组成错码情况错码情况1 1全全为为“0”“0”无错码无错码2 2有有4 4个个“1”“1”，1 1个个“0”“0”信息码中有一位错码，位置为信息码中有一位错码，位置为校验码中对应的校验码中对应的“0”“0”的位置的位置3 3有有4 4个个“0”“0”，1 1个个“1”“1”监督码中有一位错码，位置为监督码中有一位错码，位置为校验码中对应的校验码中对
13、应的“1”“1”的位置的位置4 4其他组成其他组成错码错码多于多于1 1个个1/6/2023数字通信原理举例：电报通信中常用举例：电报通信中常用5单位电码来构造正反码单位电码来构造正反码v编码编码l若为若为11001，则码字为，则码字为1100111001l若为若为10001，则码字为，则码字为1000101110v假设发送码组为假设发送码组为1100111001l若接收码组为若接收码组为1100111001，判决为无错传输，判决为无错传输l若接收码组为若接收码组为1000111001：合成码组：合成码组01000；因码组中信息码；因码组中信息码元有偶数个元有偶数个“1”，则校验码组为，则校验
14、码组为10111；说明信息码元中第二；说明信息码元中第二位错码，给以纠正位错码，给以纠正l若接收码组为若接收码组为1100101001：合成码组：合成码组10000；因码组中信息码；因码组中信息码元有奇数个元有奇数个“1”，则校验码组为，则校验码组为10000，说明监督码元中第一，说明监督码元中第一位错码位错码l若接收码组为若接收码组为1001111001：合成码组：合成码组01010；因码组中信息码；因码组中信息码元有奇数个元有奇数个“1”，则校验码组为，则校验码组为01010，说明错码多于，说明错码多于1个个v码长为码长为10的正反码能够纠正的正反码能够纠正1位差错，并能检测所有位差错，并
15、能检测所有2位位及以下的错码。及以下的错码。1/6/2023数字通信原理7.4 7.4 线性分组码线性分组码基本概念基本概念基本概念基本概念vv系统码系统码系统码系统码：信息码元编码后，信息码元本身不变，而只在：信息码元编码后，信息码元本身不变，而只在信息码元后加入监督码元，即前半部分为不变的信息码信息码元后加入监督码元，即前半部分为不变的信息码元，后半部分为监督码元的码型；元，后半部分为监督码元的码型；vv线性码线性码线性码线性码：监督码元和信息码元成线性关系的码型；：监督码元和信息码元成线性关系的码型；vv分组码分组码分组码分组码：监督码元只和本身信息码元有关的码型；：监督码元只和本身信息
16、码元有关的码型；vv线性分组码线性分组码线性分组码线性分组码：利用代数关系，将信息序列划分为等长的：利用代数关系，将信息序列划分为等长的k k位序列段，在每一信息段后附加位序列段，在每一信息段后附加r r个监督码元，并使监督个监督码元，并使监督码元和信息码元成线性关系，这样构成的码型就叫；码元和信息码元成线性关系，这样构成的码型就叫；vv汉明码汉明码汉明码汉明码：纠单个错的线性分组码；：纠单个错的线性分组码；vv循环码循环码循环码循环码：在严谨的代数基础上构造的、纠错能力强的解：在严谨的代数基础上构造的、纠错能力强的解编码设备并不复杂的线性分组码；编码设备并不复杂的线性分组码；vv卷积码卷积码
17、卷积码卷积码：监督码元不仅与本身信息码元有关，且跟其它：监督码元不仅与本身信息码元有关，且跟其它码元有关的一种码型；码元有关的一种码型；1/6/2023数字通信原理线性分组码的特点线性分组码的特点v具有具有封闭性封闭性封闭性封闭性，即任意两许用码组之和仍为一许，即任意两许用码组之和仍为一许用码组；用码组；vv码距的最小值等于最小码重码距的最小值等于最小码重码距的最小值等于最小码重码距的最小值等于最小码重（除全（除全“0”“0”码组以码组以外）；外）；v线性分组码的表示（线性分组码的表示（n n，k k），），码长为码长为n n，信息码信息码长为长为k k，监督码长监督码长r rn nk k；一
18、致校验矩阵一致校验矩阵 H(H(Paritycheck Paritycheck Matrix)Matrix)用于说明监督码元与信息码元监督关系的矩阵；用于说明监督码元与信息码元监督关系的矩阵；1/6/2023数字通信原理举例：举例：（7，4）码）码v设码元表示为：设码元表示为：C=CC=C6 6C C5 5C C4 4C C3 3C C2 2C C1 1C C0 0；v由（由（7 7，4 4）码可知：）码可知：n=7n=7，k=4k=4，r=3r=3；v假设：假设：1/6/2023数字通信原理举例：举例：（7，4）码）码v则可写成矩阵形式：则可写成矩阵形式：为一致校验矩阵为一致校验矩阵 HH1
19、/6/2023数字通信原理1/6/2023数字通信原理vv一致校验矩阵一致校验矩阵一致校验矩阵一致校验矩阵 HHHH的特性的特性的特性的特性：l HH是是rnrn阶矩阵，阶矩阵，r r为监督码元个数，为监督码元个数，n n为码长；为码长；l H=P|H=P|I Ir r，P P是是rkrk阶阵，阶阵，I Ir r为为r r个监督码系数构成个监督码系数构成的的rrrr阶单位矩阵，此时称阶单位矩阵，此时称 HH为典型形式监督矩阵，为典型形式监督矩阵，各行线性无关；各行线性无关；l若接收到码字若接收到码字R R与与 HH的转置乘积为的转置乘积为00，则说明接收，则说明接收到的码字到的码字R R是正确
20、的，即是正确的，即 RHRHT T=0=0，则则R R正确；正确；l最小码距最小码距d d0 0=n-k+1=r+1RRCC，说明正确接收；说明正确接收；l若传输过程发生误码，设收发码组之差为若传输过程发生误码，设收发码组之差为 E,E,则则 E=EE=En-1n-1E En-2n-2EE0 0=R-C=R-C E Ei i1 1 第第i i位有错，即位有错，即R Ri i不不等于等于C Ci i 0 0 第第i i位没有错，即位没有错，即R Ri iC Ci ilEE为为错误图样，错误图样，即发送数据序列与接收序列对应码位的模和；即发送数据序列与接收序列对应码位的模和；l R=C+E(R=C
21、+E(模模2)2)，可知，可知，S=RHS=RHT T=EH=EHT T，称称 SS为校正为校正子或伴随式或校验子，为子或伴随式或校验子，为11r r阶行矩阵，它最多能指出阶行矩阵，它最多能指出2r-1种种错误。错误。l以（以（7，4）汉明码为例，设发送码组）汉明码为例，设发送码组A=（0001011），），接收码组接收码组R=（0000011），），则收端译码过程如下：则收端译码过程如下：计算校正子计算校正子S=RHT=0000011HT=011T查表得查表得a3为错误位置，即可纠正为错误位置，即可纠正1/6/2023数字通信原理线性分组码不能检错的概率线性分组码不能检错的概率v但错误码组刚
22、好等于任意许用码组时，校正但错误码组刚好等于任意许用码组时，校正子子S=0，不能检测出错误不能检测出错误v设信道的误码率为设信道的误码率为pe，线性分组码的最大检线性分组码的最大检错个数为错个数为D，则不能检错概率为则不能检错概率为其中，其中，Wi表示该码中重量为表示该码中重量为i的码组数目。的码组数目。1/6/2023数字通信原理7.5 7.5 循环码循环码特点特点特点特点v除除线性分组码的特点外，还具有循环性，即任意许用码线性分组码的特点外，还具有循环性，即任意许用码组循环移位后仍是许用码组（除全组循环移位后仍是许用码组（除全“0”“0”码组外）码组外）码多项式码多项式码多项式码多项式v为
23、进一步说明循环码的性质和构造而设计的，是为进一步说明循环码的性质和构造而设计的，是把码长把码长为为n的码组中的各码元当作的码组中的各码元当作n-1次多项式的系数而构成的。次多项式的系数而构成的。vv码多项式表示码多项式表示码多项式表示码多项式表示 若码组若码组A=（an-1，an-2，a1，a0)，则其相应的码多则其相应的码多项式为：项式为：A(x)=an-1xn-1+an-1xn-1+a1x+a0l如码组（如码组（1100101）对应的码多项式可表示为）对应的码多项式可表示为 A7(x)=1x6+1x5+0 x4+0 x3+1x2+0 x+1=x6+x5+x2+1l码多项式与码组的关系：本质
24、上是一回事，仅是表示方法的不同码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已而已1/6/2023数字通信原理vv码多项式的模运算码多项式的模运算码多项式的模运算码多项式的模运算 一般来说，若一整数一般来说，若一整数m可以表示为可以表示为则称在模则称在模n运算下，有运算下，有m p（模模n）即：模即：模n运算中，整数运算中，整数m等于被等于被n除所得的余数；除所得的余数；vv码多项式的模运算也类似：码多项式的模运算也类似：码多项式的模运算也类似：码多项式的模运算也类似：1/6/2023数字通信原理定理定理定理定理1 1：若若T(x)T(x)是是n n长循环码中的一个码多项式，则长循
25、环码中的一个码多项式，则xiT T(x)(x)按模按模xn1 1运算的余式必为循环码中的另一个码多项式；运算的余式必为循环码中的另一个码多项式；即即若若 xi A(x)Ai(x)（模模xn+1）则则 Ai(x)也是一许用码组，且为也是一许用码组，且为A(x)码组向左循环移位码组向左循环移位i次次的结果。的结果。（证明）（证明）生成多项式生成多项式生成多项式生成多项式g(x)g(x)g(x)g(x)和生成矩阵和生成矩阵和生成矩阵和生成矩阵 GGGGvg(x)g(x)是循环码中前是循环码中前k-1k-1位为位为0 0的码字的码多项式，即为的码字的码多项式，即为(n-n-k)k)阶码多项式；阶码多项
26、式；vv定理定理定理定理2 2 2 2：在循环码中，在循环码中，(n-k)阶码多项式有且仅有一个；阶码多项式有且仅有一个；vv定理定理定理定理3 3：循环码中，所有码多项式都能被循环码中，所有码多项式都能被g(x)整除；整除；l l推论推论推论推论：次数不大于：次数不大于k-1次的任何多项式与次的任何多项式与g(x)的乘积都是码多项的乘积都是码多项式；式；vv定理定理定理定理4 4：循环码的生成多项式循环码的生成多项式g(x)是是xn+1的的一个因式；一个因式；vv生成多项式的常数项必须不为生成多项式的常数项必须不为生成多项式的常数项必须不为生成多项式的常数项必须不为“0”“0”。1/6/20
27、23数字通信原理v根据循环性，根据循环性，xg(x)，x2 g(x)，xk-1g(x)都是许都是许用码组，连同用码组，连同g(x)共共k个许用码组，构成码的生成矩阵个许用码组，构成码的生成矩阵G(x)：注：该生成矩阵并不是典型形式的，但可通过线性变注：该生成矩阵并不是典型形式的，但可通过线性变注：该生成矩阵并不是典型形式的，但可通过线性变注：该生成矩阵并不是典型形式的，但可通过线性变换变换成典型的生成矩阵。换变换成典型的生成矩阵。换变换成典型的生成矩阵。换变换成典型的生成矩阵。1/6/2023数字通信原理循环码的编码过程和译码过程循环码的编码过程和译码过程循环码的编码过程和译码过程循环码的编码
28、过程和译码过程v编码编码(设信息码多项式为设信息码多项式为m(x)m(x)l确定确定g(x);l信息码元左移信息码元左移r位，得位，得M(x)=xn-km(x)；lM(x)除以除以g(x)，求余数求余数R(x)；lT(x)=xn-km(x)+R(x)v例，对例，对(7,3)循环码编码循环码编码l设设(7,3)循环码的生成多项式为循环码的生成多项式为g(x)=x4+x2+x+1,待编待编码信息位为码信息位为110,则则m(x)=x2+x,xn-km(x)=x4(x2+x)=x6+x5l而而 即余式即余式r(x)=x2+1l于是，对应码组于是，对应码组A(x)=x6+x5+x2+1 1100101
29、1/6/2023数字通信原理循环码的编码过程和译码过程循环码的编码过程和译码过程循环码的编码过程和译码过程循环码的编码过程和译码过程v可见，上例编出的循环码就是系统码。可见，上例编出的循环码就是系统码。v于是，以多项式形式表示的系统循环码的生成于是，以多项式形式表示的系统循环码的生成矩阵为：矩阵为：其中其中,r rn n-i-i(x)(x)是是g(x)g(x)除除x xn n-i(-i(i=1,2,i=1,2,，k)k)所得所得的余式。的余式。1/6/2023数字通信原理v编码实现编码实现(见图见图P251P251，图图9 93)3)vv译码译码译码译码：l设发送码字设发送码字T(x)=xrm
30、(x)+R(x)，接收码字为接收码字为A(x)l检错：检错：用用g(x)去除接收到的码组去除接收到的码组A(x)，根据余式根据余式r(x)是否为是否为0，判断，判断传输正误；传输正误；当超出检错能力，也有当超出检错能力，也有r(x)=0，称不可检错误；称不可检错误；组成见组成见P252，图图94；l纠错：纠错：较之检错要复杂得多较之检错要复杂得多要求每个可纠正的错误必须与一个特定的余式建立一一对应要求每个可纠正的错误必须与一个特定的余式建立一一对应关系，这样才能纠正错码，计算错误图样来判断错码位置；关系，这样才能纠正错码，计算错误图样来判断错码位置；v常用循环码有常用循环码有费尔码费尔码费尔码
31、费尔码(Fire)，能纠三个随机错误的能纠三个随机错误的高莱高莱高莱高莱码码码码(Golay)，是是(23,12)码；另外还有一种为码；另外还有一种为BCHBCH码码码码，可，可纠多个错；纠多个错；RSRS码码码码等；等；1/6/2023数字通信原理v例例1：设（：设（7,4）线性码的生成矩阵）线性码的生成矩阵 当信息位为当信息位为0001时，试求其后的监督位。时，试求其后的监督位。v例例2：求上例的监督矩阵；：求上例的监督矩阵；v例例3：试求：试求(7,3)循环码的生成多项式和生循环码的生成多项式和生成矩阵。成矩阵。例题例题1/6/2023数字通信原理v例例4：已知（：已知（7，4）循环码的
32、全部码组为：）循环码的全部码组为：试写出该循环码的生成多项式试写出该循环码的生成多项式g(x)和生成矩和生成矩阵阵G，并将并将G化成典型矩阵。化成典型矩阵。例题例题1/6/2023数字通信原理缩短循环码缩短循环码v在在(n，k)循环码的循环码的2k个码组集合中，选个码组集合中，选择前择前i个信息位为个信息位为0的所有码组（共的所有码组（共2k-i个）个），组成一个新的码组集合，这一新的码，组成一个新的码组集合，这一新的码组集合就构成了组集合就构成了(n-i，k-i)码，称它为码，称它为(n，k)的的缩短循环码缩短循环码。v例如要构造一个能够纠正一位错误的例如要构造一个能够纠正一位错误的(12，
33、8）码，我们可以从（）码，我们可以从（15，11）汉）汉明码中挑出前三位均为明码中挑出前三位均为0的码组来构成。的码组来构成。1/6/2023数字通信原理v在在(n，k)的缩短循环码中，每一个码组的缩短循环码中，每一个码组必定能必定能被被g(x)除尽除尽（注注：g(x)是原循环码的生成多项式是原循环码的生成多项式）l每一个码组是原来循环码的码组，只是这码组的前每一个码组是原来循环码的码组，只是这码组的前i个信息码元为个信息码元为0，所以它必定能被，所以它必定能被g(x)除尽。除尽。l换言之，所有次数小于换言之，所有次数小于n-i次，且能被次，且能被g(x)除尽的多除尽的多项式都是项式都是(n-
34、i，k-i)缩短循环码的码多项式。缩短循环码的码多项式。v在在(n，k)的缩短循环码中，所有码组的前的缩短循环码中，所有码组的前i位为位为0，故发送时可不发送这，故发送时可不发送这i个个0，仅传输后面的，仅传输后面的n-i位码元。位码元。v(n-i，k-i)码的纠检错能力不低于原来的码的纠检错能力不低于原来的(n，k)循环码的纠检错能力。循环码的纠检错能力。l缩短循环码的所有码组是原来循环码组集合中的一缩短循环码的所有码组是原来循环码组集合中的一部分，且监督码元位数没变。部分，且监督码元位数没变。1/6/2023数字通信原理v缩短循环码的生成矩阵可从原循环码的典缩短循环码的生成矩阵可从原循环码
35、的典型生成矩阵中除去前型生成矩阵中除去前i行和前行和前i列得到。列得到。l例如（例如（7，3）循环码的一种典型生成矩阵为：）循环码的一种典型生成矩阵为：l除去其第一行第一列，便得到（除去其第一行第一列，便得到（6，2）缩短）缩短循环码的生成矩阵循环码的生成矩阵G（6,2）。v缩短循环码的码组之间并缩短循环码的码组之间并不一定存在循环不一定存在循环关系关系。1/6/2023数字通信原理循环码的检错能力循环码的检错能力v能检出全部的单个错误：能检出全部的单个错误：l对应一位错码的错码多项式对应一位错码的错码多项式E(x)=xi，而多于一项的生成多项式而多于一项的生成多项式g(x)=+1，显然显然x
36、i除以除以g(x)的余数不会等于的余数不会等于0，也即能检测出，也即能检测出全部单个错码。全部单个错码。v能检出全部离散的二位错：能检出全部离散的二位错：l对应的错码多项式对应的错码多项式E(x)=xi+xj=xi(1+xj-i)，只要选取的只要选取的g(x)不能除不能除尽尽(xj-i+1)，且且(n-k)(j-i)v能检出全部的奇数个错码：能检出全部的奇数个错码：l含有奇数项错码的多项式必不含含有奇数项错码的多项式必不含(x+1)因子，因子，只要选取的只要选取的g(x)含有含有(x+1)因子因子v能检测所有长度不超过能检测所有长度不超过(n-k)的突发错误：的突发错误：l突发长度不大于突发长
37、度不大于b的突发错误对应的错码多项式的突发错误对应的错码多项式 为为E(x)=xi(eb-1xb-1+eb-2xb-2+e1x+1)=xi E1(x)l由于由于g(x)除不尽除不尽xi；g(x)为为n-k次多项式，只要次多项式，只要E1(x)的次数的次数b-1不不超过超过(n-k-1)次，次，g(x)便除不尽便除不尽E1(x)。也就是说，能也就是说，能检测长度不检测长度不超过超过(n-k)的突发错误。的突发错误。1/6/2023数字通信原理循环码的检错能力循环码的检错能力v在突发长度在突发长度b大于大于(n-k)的错误中，若的错误中，若b=n-k+1，则则(n，k)循环码不能检测概率为循环码不
38、能检测概率为2-(n-k-1)；若若bn-k+1，则不能检测概率为则不能检测概率为2-(n-k）。l设错码多项式为设错码多项式为E(x)=xi E1(x)，E1(x)的次数为的次数为(b-1)，必有必有x0 和和xb-1项，还应有项，还应有b-2项项xj，因此共有因此共有2b-2种不同的多项式。种不同的多项式。l只有只有E1(x)有有g(x)的因子时，即的因子时，即E1(x)=g(x)Q(x)时，时，这种错码才不能检测出来。这种错码才不能检测出来。lg(x)为为(n-k)次，所以次，所以Q(x)定为定为b-1-(n-k)次；当次；当b-1=n-k（即即b=n-k+1），），则则Q(x)=1，此时仅有一个此时仅有一个E1(x)=g(x)的错误图样不可检测，占突发错误图样的错误图样不可检测，占突发错误图样总数总数的的1/2b-2=2-(n-k-1)1/6/2023数字通信原理