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1、合肥工业大学硕士学位论文熵理论在证券投资中的模型及应用研究姓名：王博申请学位级别：硕士专业：管理科学与工程指导教师：张公让20080601熵理论在证券投资中的模型及应用研究摘要证券投资的最根本目的在于获取利益。但在投资活动中，收益总是伴随着风险。通常，收益越高，风险越大；风险越小，收益越低。为了分散风险，许多投资者将许多种证券组合在一起进行投资，即所谓的投资组合，以期获得最大收益，这就使得投资风险的研究成为金融界面临的重大课题之一。M a r k o w i t z 以证券收益率的方差作为组合证券风险的度量，开辟了金融定量分析的时代，在度量风险的基础的上建立了组合投资决策模型，该模型在理论和实
2、际应用中都有重要意义。证券投资风险常用的度量方式主要是投资收益率的方差或p 值，但是随着研究的深入，人们发现常用的风险度量指标存在不可回避的重大缺陷，为了克服现有理论的不足，理论界进行了广泛的研究，但是到目前为止，还没有一种广泛有效的度量风险的方法。本文正是在此背景下对上述问题展开研究的。在本篇论文中，作者首先以证券投资的风险为对象，研究了不同的风险度量模型；分析了各种风险度量方法的不足。鉴于目前的风险度量方法都存在不同程度的缺陷，在马科维茨的均值方差模型及威廉夏普的单一指数模型的基础上，将熵理论与单一指数模型相结合，提出一种新的投资组合模型，作为实证研究，本文以投资深市证券决策为例，将本文提
3、出的基于熵的单一指数投资组合模型加以应用，利用M a t l a b 作为工具，从深证1 0 0 指数中选择2 0 支股票，利用该模型选出的股票在一定条件下可以达到与整体股票组合相似的最大收益和最小风险的要求，为投资者进行投资决策提供良好可靠的建议。关键词：熵；单一指数模型；投资组合；证券投资风险R e s e a r c ha n dA p p l i c a t i o no fE n t r o p yT h e o r yi nP o r t f o l i ol n V e s t m e n tD e C l S l O nT1 A b s t r a e tT h em a i
4、nw i s h o fi n v e s t o r si St oo b t a i nm a x i m u mp r o f i t sf o rt h e m s e l v e s S i n c ei n v e s tr e t u r ni st i g h t l ya s s o c i a t e dw i t ht h er i s k，t h ec o m m o n s e n s ep r i n c i p l ei st h a tt h ei n v e s t o r ss h o u l dn o tp u ta l lh i se g g si n
5、t oo n eb a s k e t H es h o u l dd i v e r s i f yh i sp o r t f o l i o，i e H es h o u l di n v e s tt h i sf u n d si nas p r e a do fl o wa n dh i g hr i s ks e c u r i t i e si ns u c haw a yt h a tt h et o t a le x p e c t e dr e t u r nf o ra l lh i si n v e s t m e n t si sm a x i m i z e da
6、 n da tt h es a m et i m et h ei n v e s t m e n tr i s ki Sm i n i m i z e d S ot h er e s e a r c ho fi n v e s tr i s kb e c o m e so fav e r yi m p o r t a n tp r o b l e mw h i c hi sf a c e di nf i n a n c i a lf i e l d T h ew o r ko fM a r k o w i t zi np o r t f o l i os e l e c t i o nh a
7、sb e e nm o s ti n f l u e n t i a lf o rt h ed e v e l o p m e n to fm o d e mm a t h e m a t i c a lf i n a n c ea n di t sa p p l i c a t i o n si np r a c t i c e，w h e r eh ea p p l i e dv a r i a n c et om e a s u r ei n v e s tr i s ka n dc o n s t r u c t e dt h em e a n v a r i a n c em o d
8、 e l T h ec o m m o ni n d e x e sf o rm e a s u r i n gs e c u r i t yi n v e s t m e n tr i s kv a r i a n c eo fi n v e s t m e n tr e t u r na n d1 3 A st h er e s e a r c ho nr i s km e a s u r ed e e p e n so n i th a sb e e nf o u n dt h a tt h e r ea r es o m ev e r ys e v e r ef l a w sw h
9、i c hc a nn o tb ea v o i d e dw h e nu s i n gt h e s ei n d e x e s I no r d e rt oo v e r c o m et h e s es h o r t c o m i n g s，al o to fr e s e a r c hw o r kh a sb e e n d o n ei nt h e o r e t i c a lf i e l d s B u tu pt ot h ep r e s e n t，t h e s ep r o b l e m sh a v en o tb e e ns o l v
10、 e ds a t i s f a c t o r i l y T h i st h e s i sd o e ss t u d yt h e s ep r o b l e m sm e n t i o n e da b o v ee x a c t l ys o l v e du n d e rt h i sc i r c u m s t a n c e O nt h eb a s eo fM a r k o w i t zi n v e s t m e n tp o r t f o l i om o d e la n dS h a r ps i n g l e f a c t o rm o
11、 d e l，t h i sp a p e rc o m b i n e se n t r o p yp r i n c i p l ew i t hm e a s u r eo fr i s ko nt h ei n v e s t m e n td e c i s i o nm a k i n gi ns e c u r i t i e sm a r k e t O nt h i sb a s i s，an e wp o r t f o l i om o d e l su s i n ge n t r o p yt om e a s u r er i s ka r ep r o p o s
12、 e d F i n a l l y,u s i n gt h eM a t l a bs o f t w a r e，w ea n a l y s e st h ei n v e s t m e n td e c i s i o no f 2 0i n d e xs t o c k so fS h e n z h e nS e c u r i t yM a r k e t S u i t a b l es t o c k ss e l e c t i n gb yt h i sm o d e lh a v eb e e nm a d eo p t i m a lp o r t f o l i
13、 o sm o d e l F u r t h e r m o r e，t h ee f f i c i e n tf r o n t i e rd e r i v e db yt h eo p t i m a lp o r t f o l i o so fs t o c k ss e l e c t i n gb yS i n g l e F a c t o rm o d e lo fi n v e s t m e n tp o r t f o l i ob a s e do ne n t r o p yc a nf i te f f i c i e n tf r o n t i e ro
14、p t i m a lp o r t f o l i o sd e r i v e df r o mt h ew h o l es t o c k s K e yw o r d s：E n t r o p y；s i n g l e f a c t o rm o d e l；P o r t f o l i o；S e c u r i t yI n v e s t m e n tR i s kP o r t f o l i oI I 插图清单图1资产A 收益率与市场收益率之间的特征线1 6图22 0 支股票均值一方差模型的有效前沿3 6图32 0 支股票均值一方差模型的有效前沿3 7表格清单表格
15、卜1论文框架结构4表格2-1几种熵的概念8表格4-1选取的股票代码及名称2 6表格4-22 0 支股票日收益率的概率分布3 1表格4-32 0 支股票的P 值3 3表格4-42 0 支股票的误差项风险(熵)3 3表格4-52 0 支股票的风险(熵)3 3表格4-62 0 支股票收益率的期望值3 4表格4-7均值一方差模型的优化组合系数3 5V I I 独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金罡王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与
16、我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。日躲儡鸫帅州月侈学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解盒胆兰些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金壁王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：_ 辎签字日期：6 宫年(月6 日学位论文作者毕业后去向：工作单位：通讯地址：签字日期：o 湃月1 6 日电话：邮编：致谢在论文完成之际，首先感谢我的导师张公让老
17、师。在两年半的学习、论文写作以及平时的生活中，导师给予我很大的关心和帮助。从论文的选题、研究、项目的完成、小论文的发表、论文的撰写到修改无不渗透着导师的智慧和心血。张老师渊博的知识、严谨的治学作风以及富于创新的学术思想，让我在学业上受益匪浅，同时也培养了我踏踏实实研究学问的态度。在此，我谨向导师致以崇高的敬意和衷心的感谢!两年半的研究生学习和生活中，我得到了老师和同学的关心和帮助，在此表示感谢!感谢毛雪岷老师以及实验室所有师兄、师弟、师姐和师妹们，他们是我不可多得的良师益友。感谢各位评审专家在百忙之中抽出时间对论文进行了仔细的评阅!借此机会，感谢我的父母，感谢他们给我健康的身体、勤劳朴实的作风
18、、上进的思想!工大良好的学习环境、浓郁的学术氛围让我度过了美好的两年半时光，感谢工大给予我的一切。作者：王博2 0 0 8 年3 月1 1。选题背景与研究目的第一章绪论在证券投资中，由于受到各种政治的、经济的、法律的、公司外部的，公司内部的等不确定性因素的影响，证券投资的收益可大可小，甚至遭受损失，这种收益的不确定性及其发生的概率即是风险。一般而言，预期收益越大的证券，其投资风险也越大。为了避免或分散较大的投资风险，追求“安全、高效率、低风险，证券投资者可以按照不同的投资比例对多种证券进行组合投资，即所谓证券投资组合，以期降低风险从而获得最大收益。目前已经出现很多种证券投资组合的风险度量方法，
19、其中收益率的方差、标准差等最为常用。方差表示收益的各种可能值与其期望值的偏离程度，即收益的不确定性。证券组合的标准差就是方差的开方。在实际应用中，这些风险度量方法都存在不同程度的缺陷。采用不同的方法来度量风险，得到的结果并不一定一致，目前还没有一种广泛有效的度量风险的方法。熵理论被科学家爱因斯坦称为“整个科学的首要法则，我国学者许国志、李凤章将熵与决策行动的不确定性和风险相联系并用于决策分析中。学者顾昌耀、邱苑华提出将熵的概念引入到贝叶斯决策中，去改进和完善已有的信息价值度量等，丰富和发展了传统的贝叶斯决策理论n o H。在此基础上，研究熵理论在风险型决策中的应用将是个重要的理论问题，而将理论
20、应用于实践中去解决实际问题也是我们研究这个理论的最主要目的。在金融领域为了驾驭金融衍生产品和其他证券以及证券组合的投资风险，金融机构会从一些数学模型中去寻求庇护。将投资组合理论与熵理论结合起来，研究风险行动的风险度量和决策模型，以及模型在金融市场中的应用，对于完善我国金融系统的现代化和防范总体金融风险，提高国内银行等金融机构的风险管理水平，都具有重大的意义。因此，研究熵理论在证券投资中的应用有着非常重要的现实意义。1 2 国内外研究现状1 2 1 风险型决策闯题以及熵理论在风险决策方面的发展1 9 4 4 年，V o n N e u m a n 和O Mo r g e n s t e r n
21、建立了不确定情况下决策的现代期望效用理论，为风险决策奠定了理论基础。期望效用理论是被广泛接受的规范化的风险型决策的理论方法。遗憾的是，该准则没有明确给出度量风险的方法，而风险的度量又是一个关键问题，因为我们是在面临风险时做出决策的。针对这个问题心理学家和决策分析专家P o ll a t s e k 和T v e r s k y，C o o m b s 和L e h n e r，L u c e 和W e b e r，S a r i r l 提出一系列风险度量模型心“5 引，但是，在这些模型中，风险的度量和决策偏好是单独建立的，如何将风险度量和决策模型结合起来尚不清楚，因此将其应用于决策领域尚有困
22、难。1 9 9 3 年，S a r i n 和W e b e r 提出一种可用于风险决策的风险一价值模型(R i s k V a l u eM o d e l)n 3，可将风险和价值包含在一个函数中，但他们仍未能将风险度量和决策偏好结合起来。1 9 9 6 年，J i a 和D y e r 提出一种标准型的风险度量模型和风险价值模型阻1。1 9 9 9 年，在标准型风险度量的基础上，P a D y e r 和B u t l e r 提出利用风险变量的两个属性度量风险的方法和模型阳1。这两种模型是将风险度量和决策偏好结合起来的描述性模型，但不是应用于实际决策问题的规范化模型。另一方面，期望效用理
23、论作为风险型决策的规范化模型，同时也应用于许多经济行为的描述模型中，它假定人们面对风险型决策问题时，总是选择期望效用最大的行动或方案。但是在1 9 5 3 年，法国经济学家、诺贝尔经济奖获得者M A l l a i S 就提出著名的悖论，说明在实际作决策或选择时，许多人都不遵守最大期望效用理论。其后三十多年，人们又找到更多的证据，证实了A 1l a iS的结论是正确的。对此，决策分析学家做了大量的工作，试图解释A 1 l a i s 现象，并且提出一些新的理论。但是，到目前为止，这些理论和模型还没有被普遍地接受作为规范化决策的模型，探求一般风险型决策的规范化模型仍然很有必要。1 9 5 9 年
24、，马科维茨(M a r k o w i t z)以证券收益率的方差作为投资风险的测度建立了组合证券投资模型，利用投资组合来分散风险。方差表示的是实际的收益偏离平均收益的一种波动情况，这种波动越大则表示实际收益的不确定性程度越大，而不论实际收益是高于平均收益还是低于平均收益。这就使得用方差表示投资的风险存在了一个主要的缺陷，那就是方差表示的是正负两种偏差，而对于证券投资者而言，他们不希望实际收益少于期望收益但是并不拒绝实际收益高于期望收益。另外由于风险的形式多种多样，投资者进行投资的时候面I 陆的是许多不可预料的风险，这说明仅仅用方差并不能定量表示所有的风险。投资者投资实际得到的收益往往与决策时
25、期望的收益不一致，即存在投资风险。这里，风险就是指未来收益的不确定性及其发生的概率。从熵的内涵看，它是一种不确定性程度的度量。它的值越大，意味着我们对所解问题知道的越少。因为风险是与不确定性紧密相连的，而熵在本质上是不确定性的体现，从而基于熵的内涵把熵理论引入证券投资，就是把熵这种不确定性度量引入到对投资风险的度量。我国学者许国志、李凤章将熵与决策行动的不确定性和风险相联系并用于决策分析中。学者顾昌耀、邱苑华提出将熵的概念引入到贝叶斯决策中，去改进和完善已有的信息价值度量等，丰富和发展了传统的贝叶斯决策理论n“1。在此基础上，许多学者建立了自己的模型，他们利用熵的特性试图全面描述和度量风险。有
26、学者考虑到熵仅仅是对概率分布的形状做出描述，与其位置无关；而投资风险取决于人们对收益的感知，所以许多学者在研究这个问题时，把对证券收益率做为一种权数加到对熵度量投资风险模型中，比如效用风险熵模型n 副，考虑了随机事件客观状态的不确定性和结果价值两方面的因素；期望效用一熵决策模型n 朝，把风险行动的风险度量与决策者的偏好结合起来，但这个模型只是按这种风险度量方法把行动方案排序，最后还是利用马科维茨的模型给出最优解；还有把收益最大和熵量度的风险最小做为两个目标的多目标决策模型n 制；还有利用熵的最大熵原理改变组合投资的目标函数建立的模型n 5 1。经过多年的发展，熵理论在风险型决策模型上的应用研究
27、越来越受到关注，吸引了众多学者的目光，并取得了令人瞩目的成果。1 2 2 熵理论在证券投资市场上应用研究的重要性投资者在从事股票投资时，对未来的收益状况都有自己的预期，而未来实现的收益与预期收益之间往往存在着差异，即实际收益可能大于或小于预期收益，预期收益呈负方向变动的可能性和变动的幅度，就是股票投资风险。基于不同的风险描述如方差、半方差、绝对偏差、p 系数、模糊数等情况下的证券组合选择理论和模型如雨后春笋，但是都存在不同程度的缺陷。长期以来，如何通过确立有效的证券投资组合规模来降低投资者的投资风险，增大其投资收益，一直是一个悬而未决的重大问题。由于证券投资组合本身存在一个边际递减现象，因而不
28、仅投资组合会有一个极限，而且对投资风险的降低也存在一个边界。因此选择一种合理的风险度量模型，从而确立一个合适的投资组合规模，把投资风险降低到最低限度，已经成为人们普遍关注的重大问题。(1)方差法度量风险存在着很大的缺陷，具体表现在如下几个方面：a)均值一方差模型假设投资者是厌恶风险的，从而假设了均值与方差之间存在正相关关系。R u e f i l e 1 6】从数理分析的角度探讨了均值一方差之间的关系，他指出：如果假设收益的分布在各个时期不同(是漂移的)，则研究者将面临辨识问题；如果假定收益的分布在整个区间内是正态而且稳。定的，那么均值与方差之间的关系可转变为虚假的相关关系，他最后总结，方差作
29、为风险测度的方法是不合适的，必须开发新的风险测度方法。b)从效用函数的角度分析，以方差作为风险的计量指标，只有在投资者的效用函数为二次函数时才成立，而二次效用函数并不是投资者偏好的恰当选择。风险规避的投资者真正希望的是避免极低的收益率，而均值一方差方法即使在收益率较高的情况下仍然对方差进行惩罚。在投资收益率不服从正态分布时，均值一方差模型隐含风险厌恶假设和正态分布假设。它认为只要与期望收益率有偏差，不管是高于它还是低于它，都作为风险衡量，而一般投资者更担心较小的收益率，对超过期望收益率水平的部分是欢迎的。因此方差不是风险的最好测度方法。c)方差度量风险的另一条件是要求证券投资收益率及其联合分布
30、是正态分布。而大量观测数据表明收益率并不定服从正态分布，在这种情况下，均值一方差模型可能失效。d)从统计角度看，当证券数目增大时，均值一方差模型计算非常复杂，由于需要求证券间的协方差，均值一方差方法的求解比较困难。由于其复杂性，至今在解决大规模的证券投资组合问题中仍未得到广泛的应用。尽管均值一方差方法由于计算比较复杂等原因在实践中应用有很大的局限性，但是在理论上比较完善，他的组合投资思想被世人广泛接受。但是方差并不能全面权衡投资组合期望收益率与风险之间的关系。因而均值一方差模型在对风险最小化的同时，组合收益率也相对较小。这一切说明用方差来度量风险是不足的。(2)半方差在概念上比方差更加适合用来
31、作为风险度量的指标，但是它在计算上的困难压倒了概念上的实用性，此方法在实际中一直没有得到推广应用。因此，如何尽快找到一种合适的风险度量模型和合理的投资组合模型，将是十分重要和有意义的，这正是本文研究工作的出发点。1 3 论文的主要研究内容及章节安排本文主要介绍了熵理论及组合投资理论发展，在马科维茨的均值方差模型及威廉夏普的单一指数模型的基础上，将熵的概念引入到证券投资的风险度量中，提出一种新的投资组合模型，并进行了实证研究。本论文具体的章节安排和研究内容如表1 1 所示：表格1 1论文框架结构章节目录主要研究和讨论内容1 绪论1 1 选题背景与研究目的介绍论文研究背景、论文1 2 国内外研究现
32、状内容概述、论文结构和特1 3 论文框架结构点。2 熵理论及组2 1 熵理论发展概述介绍熵理论及组合投资合投资理论发2 1 1 熵理论的历史、现状和发展理论的历史、发展和现展概述2 1 2S h a n n o n 信息熵的定义和性质状，着重阐述了S h a n n o n2 2 投资组合理论发展概述信息熵的概念和性质、2 2 1 投资组合理论的产生与发展M a r k o w i t z 的均值一方差2 2 2M a r k o w i t z 的均值一方差模型模型，以及单一指数模2 2 3 单一指数投资组合模型型。3 基于熵的3 1 引言介绍了基于熵的单一指单一指数投资3 2 基于熵的单一
33、指数投资组合模型数投资组合模型的建立组合模型3 2 1 证券投资风险的熵度量的定义过程。3 2 2 模型的假设条件4 基于熵的4 1 数据的选取以新建立的基于熵的单单一指数投资4 2 深市投资的基于熵的单一指数一指数投资组合模型，利组合模型在证投资组合模型用M a t l a b 作为工具，从券市场上的实4 3M a t l a b 及其在金融领域中的应深证1 0 0 指数中选择2 0证研究用支股票，进行实证研究，4 3 1M a t l a b 简介得到了满意的结果，相似4 3 2M a t l a b 工具箱简介实践中具有一定的指导4 4 计算结果意义。4 5 小结5 总结和展望对论文研究
34、内容和主要结论进行总结，并展望了论文需要进一步研究的方向。第二章熵理论及组合投资理论发展概述2 1 熵理论发展概述2 1 1 熵理论的历史、现状和发展【1 3，1 7 1 8 1 9 l熵(E n t r o p y)最早由德国物理学家克劳修斯(R C l a u s i u s)在热力学中引入，熵的概念一出现，很快就在热力学和统计力学范围内占据了重要地位。熵的概念，在热力学中，表示物质热状态的概率，在数学中表示情况或问题的不确定性，而在信息论中则表示信源发出信息的能力。约1 4 0 年前，科学家们在发现热力学第一定律(能量守恒定律)之后不久，又在研究热机效率的理论时发现，在卡诺热机完成一个循
35、环时，它不仅遵循能量守恒定律，而且工作物质吸收的热量Q 与当时绝对温度T 的比值之和(E Q T)为零(Q，T 都不为零)，鉴于以上物理量有这一优点，C l a u s i u s 就把可逆过程中工作物质吸收的热与温度T 之比值称为E n t r o p i e，与德文的能量“E n e r g i e 相似。1 9 2 3 年，我国物理学家胡刚复教授首次把其译为“熵。他从熵是热量变化与温度变化之比出发，而把商字译成“熵字。C l a u s i u s 同时发现熵还有一个重要的性质，即：其改变量的大小仅与研究对象的起始状态和终止状态有关，而与其经历的热力学路径无关，也就是说熵是又一个新发现的
36、状态函数，它意味着系统的状态一旦确定，其熵值就保持不变。在进而分析了不可逆过程中的熵变化后，他得出参与不可逆过程的各部分的熵值变化之和总是大于Q T 的结论。1 8 5 6 年他把热力学第二定律视为孤立系统中熵仅能加大或不变的“熵增加原理”，即孤立不可逆过程使熵增加，可逆过程熵不变。它揭示了系统内部一切不可逆过程的自发进行方向是熵增加的方向。1 8 7 0 年，玻尔兹曼(L B o l t z m a n n)在分子运动论的基础上研究发现分子处于不同能级状态的个数Q 之对数值应当与熵成正比。这一发现为熵提供了微观的物理图象。使人们加深了对熵的理解。于是，熵是分子运动的无序程度或混乱程度的提法流
37、行了起来。热力学熵的研究不仅推进了热机效率的研究，而且经过亥姆霍兹(H H e l m h o l t z)、吉布斯和麦克斯韦等人的努力，在熵与其它的热力学函数的联系，以及熵如何用于判知化学反应的进行方向与程度等方面都取得了重大进展。这样熵已跨出热力学领域而进入理论化学领域。普朗克和爱因斯坦(A E i n s t e i n)都利用熵原理做出过出色的工作，他们扩大了熵的物理阵地，量子论的创始人之一薛定谬(E S c h r o e d i n g e r)于1 9 4 5 年又把熵引入生物学领域。2 0 世纪3 0 年代后，熵理论冲破了平衡态的局限，推进到了非平衡态。这一进展首先由线性非平衡
38、态的两个成果：L O n s a g e r 发现的倒易关系和I P r i g o g i n e 发现的最小熵产生的定理开始，尔后再进到非线性非平衡态的。这是熵理论发展的第二阶段。1 9 4 8 年，维纳(N W i e n e r)和申农(C E S h a n n o n)4 立了信息论，申农把通信过程中信息源的信号的不确定性称为信息熵。把消除了多少不确定性称为信息。信息论针对需要定义两个等概率状态对应的熵为比特(b i t)的计值方法不仅在通信中十分方便，而且在后来兴起的电子计算机技术中的存储量单位中也应用了比特。在统计力学中，自从C l a u s i u s、K e l v i
39、n、M a x w e l l、B o l t z m a n n 等人给出熵的概念后，己经有了很长的历史了，它是连接自然中宏观和微观方面的一个桥梁(W i l s o n，1 9 7 0)t 2 0】，它也是信息论中最重要的概念(S h a n n o n&W e a v e r，1 9 4 9)【2，J a y n e 通过熵最大化原理，构造了统计推断理论，研究物理系统(J a y n e s，1 9 5 7)2 2 2 3 1；K u l l b a c 则将最大化原理用于模型构造原理(K u l l b a c k，1 9 5 9)t 2 4 1，W i l s o n 利用熵研究城市
40、和区域模型(W i l s o n，1 9 6 7，1 9 7 0，1 9 7 3)t 2 5 t2 0 2 6 1，近年来，阎植林对管理决策中的熵理论及其应用进行了研究【2 1 7 1，杨继平对风险型决策的熵理论及其应用进行了研究【l3 1，鲁晨光将熵原理应用到证券的投资组合中【2 8 1，张学文等将熵原理应用到气象学中 2 9 1。信息熵仍在不断完善之中，它不仅被广泛应用于几乎所有学科，而且提出了将信息的量与质统一量度的理论和将概率熵概念移植到模糊集合上而定义非概率的模糊熵。从科学发展的角度来看，今天人们对熵与信息的理解恰如牛顿力学建立前夜人们对力的理解。2 0 世纪5 0 年代，杰尼斯(
41、E T J a y n e s)用信息论中阐述的熵极大原理反回去论证由玻尔兹曼等人在1 9 世纪导出的统计物理学中的正则分布。这项工作不但把统计物理学中的重要成果纳入信息熵的体系中，也说明了脱离了“热的熵的一般原理的强大力量。2 0 世纪6 0 年代的最大熵谱的提出则是又一个实例。在信息论的带动下，熵概念首先进入了概率论、通信和计算机领域。2 0 世纪后半叶，以电子计算机为代表的信息革命方兴未艾，推进了与信息密切相关的熵概念的史无前例的大扩展。人们称熵为新的世界观、真理观，是现代新文明观的科学基础，2 1 世纪是熵世纪。但是，由于熵在各领域的广泛使用，造成了其概念混乱的现象，也应引起重视。表2
42、 1 给出了几种学科中熵的概念。其热力学中熵的变化劣表示在可逆过程，一个微小的元过程单位热力学温度变化所需的吸热量；玻尔兹曼熵S 反应了物质系统的无序程度；实验熵H 表示试验所提供的信息量，又称为信息熵。表格2-1 几种熵的概念学科熵计算公式说明热力学d S=蛔T在卡诺循环中，熵的变化等于单位热力学温度的吸热量统计物理学S=K I n N物质系统的玻尔兹曼S，等于玻氏系数K 与系统物质状态个数N 之对数的积信息熵某项试验的第f 1，刀】种日=-C l o g P,I 一状态出现的概率为P，(Ct=i为待定常数)，它所提供的信息量为熵值H1 9 9 1 年，中国学者顾昌耀和邱苑华，首次定义了复熵
43、，并将它应用于决策分析【4 引。1 9 9 4 年邱苑华研究了群决策复熵模型，得到一系列有价值的结论。纵观熵的1 4 0 年的历史，可以说，熵是对“不确定性 的最佳测度。2 0 世纪4 0 年代末首次出现的S h a n n o n 熵，5 0 年代末以解决遍历理论经典问题而崭露头角的K o lm o g o r o v 熵，以及6 0 年代中为研究拓扑动力系统而产生的拓扑熵都是以对不确定性的数学度量的不同身份出现的。它们是现代动力系统和遍历理论的重要概念，并在自然科学和社会科学中应用也日趋广泛。2 1 2S h a n n o n 信息熵的定义和性质1 1 3 I在风险型决策的模型G=，A，
44、X 中，其主要特征是决策的后果随着不同状态的出现而不同，不同的状态出现的概率可能是不同的，对于决策者来说，设已知状态空间的概率分布为P(此概率分布可以是客观己知的，也可以是决策者的主观判断，即主观概率)，对不同的概率分布P，决策者从P 中所能获得的关于状态空间 的信息或不确定性是不同的。当风险型决策问题的行动空间为有限空间，状态空间为离散型状态空间时，设A=“，a 2，a m)，=。，0：，O，)，且状态e，发生的概率为P j，即P(。J)2 乃(，=1，2，3，川1-。能否找到一个度量后果的不确定性程度的量呢?如果有，它必为(岛，仍，岛，见)的函数，记为H(P l，P 2，P 3，以)，那么
45、可以合理的要求它满足如下的性质：1 日(届，1 2，P 3，以)对于每个p，来说是连续函数；2 如果所有的易都是相等的，即P，=l n0-1，2，n)，则对应的日(A，P 2，P 3，见)应当是n 的单调函数；3 如果某个风险行动能够分解为两个相继的风险行动，则原来的风险行动的H 值应为相应的各个H 值之加权和。那么，有如下重要的结论：定理2 1 唯一满足条件1，2，3 三个条件的H 具有如下的形式：H=一尼P jh l 乃(2 1)J=1其中k 为正的常数。由定理2-1 可知，若有某一个P j=1，则日(p l，P 2，P 3，见)=0。这与我们的要求一致，乃=1 意味着对应的事件总是发生的
46、，因而不确定性的度量为0。H=一后P，I n p，形如户1的数(常数k 的值取决于度量单位的选择)作为信息、选择和不确定性的度量在信息论中起着非常重要的作用。H 的形式与统计力学中熵的公式的形式相同，其中乃表示一个系统(分子)处在它的相空间中第i 个相格中的概率。因此，这里的H 就是在玻尔兹曼著名的H 定理中的H。在上面的结论中，常数k 随着对数的底的不同而不同，为了今后讨论的方便，如果没有特别声明，我们总是取自然对数，并且通常取常数k 为l。下面，我们给出如下关于熵的定义，这样定义的熵称为S h a n n o n 熵。定义2 1 我们称H(P l，1)2，以)=一P jI n p j(2
47、2)j=l为对应于概率分布凸，p 2，乜，见的S h a n n o n 熵。在定义2-1 中，若p，-0，则相应的项p，l I l p，定义为0，因此在风险行动中增减概率为0 的后果不影响不确定性，这是很自然的。S h a n n o n 熵有如下一些性质，由这些性质也可以看出其作为不确定性度量的合理性。性质2-1 当且仅当p，0=1，2，n)，之中的一个等于1 时，熵H=0，其它情况下，熵恒为正。性质2 2 对于给定的1 1，当所有的P j0=1，2，n)都相等，即p j=l n0=1，2，n)时，熵日(n，P 2，1 3，见)达到最大，其值为I n n。性质2 3 假设X 和Y 为两个分
48、别对应于m 和n 个状态的风险行动，岛为X 出现第f 个状态，Y 出现第j 个状态的概率，联合风险行动的熵为H(X，r)=-Z 岛l n 岛(2 3)i=1j-I而日(x)=一弓M 岛)，H o o=-E 弓l I l(岛)，(2 4)ljjtiJ则H(X，】，)日(X)+日(】，)，(2 5)当且仅当两个风险行动X 和Y 独立时，等号成立。即联合风险行动的不确定性小于等于它们单独不确定性的和。性质2-4 对于概率A，P：，P 3，以趋于相等化的任何变化都增大其熵值。因此如果A 0，则熵H 增加或不变。且只有在该线性变换为五，P 2，以的置换时，熵H 保持不变。2 2投资组合理论发展概述1 3
49、 2 3 3 34 3 钉2 2 1 投资组合理论的产生与发展证券投资者，不论是个人还是机构，其目的主要在于获得最大预期收益。为此，他们可以把全部资金投在一种或少数几种收益最高的证券上，以争取获得最大限度的收益。但是，投资的收益与风险是行影相伴，相辅相成的，高收益必然包含高风险，低风险必然包含低收益。所以，精明的投资人为避免过高风险和过低收益这两种极端情况的出现，往往选择若干证券进行搭配，而非集中于某种证券上。通俗地讲，就是“不要把鸡蛋放在一个篮子里。这种根据多样化原则，选择若干券种进行搭配的投资称为组合投资，相应组合投资券种的集合称投资组合(p o r t f o l i o)，当然，证券不
50、是随便凑合的，而是经过有目的地选择、精心安排和科学地搭配而组成的。组成以后还须根据其功效的好坏，经常监视、调整，使其能完成投资者所预定的目标。对投资组合的管理，有两种不同的研究途径和方法：一种为传统的投资组合分析理论，重点放在决定投资者本身的限制条件问题上，根据投资者对证券投资收益的需求，从经常收入和资本增值方面来研究如何进行证券组合，以满足投资者的目的，且其分析大都属于定性分析，另一种为现代投资组合理论，从证券的预期收益与风险相联系方面研究如何使风险减低到何种程度，使收益最大化，且大量采用定量分析方法，更具科学性和严密性。现代证券组合选择理论经过四十多年的蓬勃发展，取得了丰硕的成果。现代金融