《湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试卷含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期元月月考数学试卷含答案.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、启用前启用前永州一中永州一中 2023 年高三元月大联考数学年高三元月大联考数学注意事项：本卷满分注意事项：本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在
2、答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合2log12,04AxxBxxZ，则AB（）A.0,1B.0,1,2C.1,2D.22xx2.已知23i47iz ，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是（）A.1,1B.2,1C.1,2D.2,23.已知nS为等差数列 na的前n项和，4784
3、16,aSaa ，则10a（）A.1B.2C.3D.44.全球智能手机市场销量持续增长乏力已经是不争的事实，但折叠屏手机却走出逆势，成为行业唯一增长的高端机品类.下图是某数据公司统计的2022年第一季度中国折叠屏手机市场份额.现有 2022 年第一季度中国折叠屏手机市场份额超过 5%的品牌折叠屏手机各一部，从中任取 2 部手机，则其中有A品牌折叠屏手机的概率为（）A.310B.12C.35D.7105.在平面内，,A B是两个定点，C是动点，若|CACBAB ，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线6.已知直线:220lxy是圆22:(3)()6Cxyb的一条对称轴，设直线l与x轴
4、的交点为P，将直线l绕点P按顺时针方向旋转30得到直线l，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.1B.3C.2D.57.已知0.60.560.5,0.6,log 5abc，则,a b c的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca8.四面体ABCD的各个顶点都在球O的表面上，,BA BC BD两两垂直，且11,3,4,ABBCBDE是线段BC上一点，且2BEEC，过E作四面体ABCD外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（）A.7B.9C.5D.8二多选题：本题共二多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项
5、符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知函数 sin 23f xx，则下列结论中正确的是（）A.为函数 f x的一个周期B.2,03是曲线 yfx的一个对称中心C.若函数 yfx在区间,a a上单调递增，则实数a的最大值为512D.将函数 fx的图象向右平移12个单位长度后，得到一个偶函数的图象10.已知抛物线2:4C yx的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作l的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（）A.准线l的方程为2x B.若过焦点F的直线交抛物线C于1
6、122,A x yB xy两点，且126xx，则8AB C.若2,1E，则PEPF的最小值为 3D.延长PF交抛物线C于点M，若43PF，则163PM 11.若实数,x y满足442 22xyxy，则1122xy的值可以是（）A.1B.32C.2D.5212.如图，已知正三棱柱111ABCABC中，11,2,ABAAM为1AA的中点，直线1BM与平面ABC的交点为O，则以下结论正确的是（）A.3OC B.直线OC平面1BMCC.在线段1BC上不存在一点P使得11APBCD.以1A为球心，52为半径的球面与侧面11BCC B的交线长为2三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小
7、题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数 ln2f xx xxe，其中e为自然对数的底数，则曲线 yfx在1x 处的切线方程为_.14.5(1)x 的展开式中所有有理项的系数之和为_.15.已知0,2x，且5sin2cos2xx，则tan 24x_.16.已知O为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别是12,F F，离心率为62，点11,P x y是C的右支上异于顶点的一点，过2F作12FPF的平分线的垂线，垂足是,2M MO，若点22,Q xy满足22xy，则221212xxyy的最小值为_.四解答题：本题共四解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分
8、分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知数列 na的前n项和为nS，且满足22233nnSan.（1）求证：数列1na 是等比数列；（2）若12nnba，数列 nb的前n项和为nT，求证：16nT.18.（12 分）已知在ABC中，6A，点D在边AB上且满足3,ADBDDC.（1）若ADC的面积为32，求22BDAC的值；（2）若3BC，求B的大小.19.（12 分）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时发展了利用短视频平台进行直播带货，成就了一批
9、带货主播.国内短视频领域，已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.（1）现对某时段 100 名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段1924岁401050用户年龄段25 34岁203050合计6040100根据小概率值0.001的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？（2）（i）若小李第一天等可能地从甲乙两家中选一家平台购物，如果第一天去甲平台，那么第二天去甲平台的概率为0.7；如果第一天去乙平台，那么第二天去甲平台的概率为 0.8.求小李第二天去甲
10、平台购物的概率；（ii）双十一这天，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率均为(01)pp，三人是否抢购成功互不影响.若X为三人下单成功的总人数，且1E X，求p的取值范围.参考公式：22()n adbcabcdacbd，其中nabcd .2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82820.（12 分）如图，已知矩形ABCD的长为 4，宽为3，点M是边AB上的点，且3AMMB.如图，将AMD沿MD折起到A MD的位置，使得平面A MD平面BMDC，平面A MB平面
11、ACDl.（1）求证：l平面BMDC；（2）在线段DC（不包含端点）上是否存在一点P，使得平面A MP与平面AMC的夹角的余弦值为2 55？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由.21.（12 分）已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，直线xn与椭圆C交于,E F两点，当1EFF的周长取得最大值 8 时，3EF.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点2F作斜率存在且不为 0 的直线l交椭圆C于A B两点，若31,2P，直线AP与直线4x 交于点Q，记直线QA QB的斜率分别为12,k k，试判断12kk是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明
12、理由.22.（12 分）设函数 xfxeax，其中e为自然对数的底数.（1）若 fx存在极值，求实数a的取值范围；（2）当0a 时，不等式 ln1xfxa x恒成立（fx为 fx的导函数），求实数a的值.永州一中永州一中 2023 年高三元月大联考数学年高三元月大联考数学全解全析及评分标准全解全析及评分标准123456789101112BCDBACAAABDBCDBCAB一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.B【解析】2log
13、12,014,13xxx ，即13Axx，由04BxxZ，得0,1,2,3,0,1,2BAB.故选 B.2.C【解析】由23i47iz ，得47i23i47i12i23i23i23iz ，所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为1,2，故选 C.3.D【解析】方法一：设等差数列 na的公差为d，由478416,aSaa ，得418477 171620aadaa，即1111372116730adadadad，解得151ad，所以116naandn，则104a，故选 D.方法二：设等差数列 na的公差为d，因为1744744477281622aaaaSaaa，所以42a .由840aa可得60a，由
14、462,0aa 得15,1ad，所以5116nann ，则104a，故选 D.4.B【解析】方法一：由题意，知市场份额超过5%的折叠屏手机品牌有,A B C D，且现有这四个品牌手机各 1 部，共 4 部，从中任取 2 部手机，有A品牌折叠屏手机的概率为132412CC，故选B.方法二：由题意，知市场份额超过5%的折叠屏手机品牌有,A B C D，且现有这四个品牌手机各 1 部，共 4 部，从中任取 2 部手机，基本事件有,AB AC AD BC BD CD，共 6 种，其中有A品牌折叠屏手机的是,AB AC AD，共 3 种，所以所求概率为3162P.故选 B.5.A【解析】设O为线段AB的
15、中点，2CACBCO .因为|CACBAB ，所以|2|ABCO ，所以12COAB ，所以ACBC，当点C在点A或B时也满足|CACBAB ，所以点C的轨迹为以线段AB为直径的圆.故选A.6.C【解析】根据题意，得点3,b在直线:220lxy上，所以2 320b ，所以4b ，故圆C的圆心坐标为3,4C，半径为6r.由直线:220lxy得直线l与x轴的交点为1,0P，所以2 5PC，所以圆心到直线l的距离为sin305PC，故直线l被圆C截得的弦长为222(6)(5)2.故选 C.7.A【解析】因为0.60.50.50.50.50.6，所以ab.因为0.60.64，所以0.50.540.60
16、.645b，又5645lg5lg3125log 514lg6lg1296，所以64log 55c，所以bc，故选 A.8.A【解析】设所得截面圆的面积为S，半径为r，由,BA BC BD两两垂直可将四面体ABCD放入长方体中，如图所示，易得外接球半径222132RBCBDAB，过E作球O的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面，2max9SR；所得截面圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.在OBC内，3OBOCBC，所以60OCB，所以2222cos607OEOCCEOC CE，所以7OE，即222minminmin2,2rROESr，所以maxmin7SS.故选 A.二多选题：本题共二多
17、选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.ABD【解析】对于A：函数 sin 23f xx的最小正周期为，所以为函数 f x的一个周期，故 A 正确；对于 B：令23xkkZ，解得26kxkZ，当1k 时，23x，所以点2,03是曲线 yfx的一个对称中心，故 B 正确；对于:C：由111222,232kxkk Z，得1115,1212kxkkZ，令10k，得51212
18、x，因为 fx在区间,a a上单调递增，所以实数a的最大值为12，故 C 错误；对于 D：将函数 fx的图象向右平移12个单位长度后，得到sin 2sin 2cos21232yxxx 的图象，易知cos2yx 为偶函数，故 D 正确.综上，故选 ABD.10.BCD【解析】因为抛物线C的方程为24yx，所以2p，所以准线l的方程为1,2pxA 错误；由题意可知12628ABxxp，B 正确；由抛物线C上的点到焦点F与到准线的距离相等可知PEPFPQPE，所以当,Q P E三点共线时，PEPF取得最小值，即为点E到准线的距离，所以最小值为3,C正确；如图所示，不妨设P在第一象限，过P作PHx轴于
19、点H，过M作MNx轴于点N，过M作准线l的垂线，垂足为D，设准线与x轴的交点为G，则42,2,233PFPQFGFHFMMDFNDMFGFM，易知PHFMNF，则有PFHFMFFN，即42332MFMF，解得4MF，则163MPMFPF，D 正确.故选 BCD.11.BC【解析】211144222 22,22222xyxyxyxyxy，设22(0)xyt t，则由题意得22 222xytt，即22 222xytt.因为22202 2222xyxy，即22022ttt，当且仅当22xy，即1xy时等号成立，解得24t，所以1122xy的取值范围是（1，2.故选 BC.12.AB【解析】如图，延长
20、1,BA BM交于点O，连接OC，因为1AMBB，所以1OAMOBB，又M为1AA的中点，所以1,OMMB AOBAAC，所以BCOC，所以3OC，故A正确；连接1BC交1BC于点N，因为四边形11B BCC为矩形，所以N是1BC的中点，连接MN，则MN为1BOC的中位线，所以MNOC，又因为MN 平面1,BMC OC 平面1BMC，所以直线OC平面1BMC，故 B 正确；取11BC的中点0P，连接1 0AP，则1 011APBC，又由1 01APCC可得10AP 平面11B BCC，故1 01APBC.过点0P作01PPBC，垂足为P，连接1AP，则1BC 平面10APP，所以11APBC，
21、故 C 不正确；因为10AP 平面11B BCC，所以所求交线即为平面11BCC B内以0P为圆心，半径为22532222的圆与侧面11BCC B的交线，交线为14该圆，所以交线长为2122244，故 D 不正确.故选AB.三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.10 xye【解析】求导可得 ln1fxx，则 11f ，又 12fe ，则曲线 yfx在1x 处的切线方程为21yex ，整理，得1yxe .故填10 xye.14.16【解析】由二项式定理，可得5(1)x 的展开式通项为515()(1),0,1,2,3,4,5rrrrTC
22、xr，当50,2,4r，即5,3r，时，1rT为有理项，所以所有有理项的系数之和为55331555(1)(1)11 10516CCC .故填16.15.23【解析】25sin2cos2,0,5sin32sin2xx xxx，即212sin5sin30,sin2xxx或sin3x （舍去），31,tan 2tan23643413xx .故填23.16.12【解析】设半焦距为c，延长2F M交1PF于点N，由于PM是12FPF的平分线，2F MPM，所以2NPF是等腰三角形，所以2PNPF，且M是2NF的中点.根据双曲线的定义可知122PFPFa，即12NFa，由于O是12FF的中点，所以MO是1
23、2NFF的中位线，所以1122MONFa，又双曲线的离心率为62，所以3,1cb，所以双曲线C的方程为2212xy，根据题意，知所求的是双曲线右支上一点到直线yx的距离的最小值的平方.设与直线yx平行的直线方程为yxh，联立2212xyyxh，消去y，可得224220 xhxh，所以22(4)4 220hh，所以1h 或 1（舍去），所以切点到直线yx的距离为1 0222，所以221212xxyy的最小值为12.故填12.四解答题：本题共四解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（10 分）【解析】（1）
24、由22233nnSan，得2326nnSan，当2n时，1123216nnSan，-整理得1132,131nnnnaaaa，当1n 时，111238,8aaa，即119a ，数列1na 是以 9 为首项，3 为公比的等比数列.（2）由（1）可知119 3nna，131nna，即1131nnb，231231111111313131333nnnT111931111163613nn.18.（12 分）【解析】（1）133sin,2242ADCSAD ACAACAC.由余弦定理，得2222cos136 36DCADACAD AC，2222176 3BDACDCAC.（2）设5,2,2266BDCBAD
25、CACD .由BCD是等腰三角形及0ACD可得025206，解得5012.在ADC内，由正弦定理，得35sinsin266DC，在BDC内，由正弦定理，得sin2sinBCDC，33sin325sin22cossin26DC，5sin2cos,6即5262或52,623或9.B的大小为3或9.19.（12 分）【解析】（1）零假设为0H：用户使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄无关.根据列联表可得22100(40 3020 10)60 40 50 500.0015016.66710.8283x，所以根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断0H不成立，即用户使用哪家购物平台购物
26、与观看这两家短视频的用户的年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.（2）（i）设1A“第一天去甲平台购物”，1B“第一天去乙平台购物”，2A“第二天去甲平台购物”，根据题意得1121210.5,0.7,0.8P AP BP AAP AB，则21211210.5 0.70.5 0.80.75P AP A P AAP BP AB.（ii）当01p时，由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3，且3,XBp，所以3E Xp，所以31E Xp，所以113p，故p的取值范围为1,13.20.（12 分）【解析】（1）BMCD，又BM 平面,A CD CD平面,A CDBM平面ACD.又BM 平面A
27、MB，平面A MB平面,A CDllBM，l 平面,BMDC BM 平面,BMDCl平面BMDC.（2）假设存在点P.由题意知3,4,1,3AMMB ABAMMB，又3,BCAD由勾股定理可得2 3,2CMMD，222,CMMDCDCMMD.又平面A MD平面BMDC，平面A MD平面,BMDCMD CM平面BMDC，CM平面A MD，过点M作垂直于平面BMDC的直线MH，以M点为原点，分别以,MC MD MH所在直线为x轴y轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则130,0,0,2 3,0,0,0,2,0,0,22MCDA，则130,2 3,0,0,2 3,2,022MAMCCD ，设111,
28、nx y z为平面AMC的法向量，0,0MC nMA n ，1112 3013022xyz，则10 x，令13y，则11z ，0,3,1n为平面AMC的一个法向量.设CPCD ，由题意，知0,1，则2 32 3,2,0MPMCCPMCCD ，设222,mxyz为平面A MP的法向量，0,0MP mMA m，22222 32 32013022xyyz，令23y，则22,11xz，则,3,11m为平面A MP的一个法向量，由2 5cos,5m n 得2451，解得10,12.在线段DC（不包含端点）上存在一点P，使得平面A MP与平面AMC所成角的余弦值为2 55，此时点P为线段DC的中点.公众号
29、：高中试卷君21.（12 分）【解析】（1）如图，当直线xn与椭圆C相交于,A B两点，与x轴交于G点时，连接2A F，由椭圆定义可知122A FA Fa，显然2A FA G，同理可知，122B FB Fa，显然2B FB G，所以当直线xn经过焦点2F时，1EFF的周长最大，最大值为48a，所以2a.此时21322EFEF，则221212123524,222EFaEFFFEFEF，即1,3cb.所以椭圆C的标准方程为22143xy.（2）设直线l的方程为10 xmym，与椭圆C方程联立得2234690mymy，设1122,A x yB xy，则12122269,3434myyyymm，可得1
30、21223myyyy，又111321ykx，所以直线AP的方程为11332121yyxx，令4x，得1113694,2myyQmy，1121121122212136922369426myyymymy ymyykxm y ymy，112111221121323692126ymy ymyykkxm y ymy121211112112112112332623692369222623ymymy ymyyymy ymyymym y ymymymy12121212121211333333132633262yyyyyyyymy yyyymym所以12kk为定值，值为 1.22.（12 分）【解析】（1）求导
31、，得 xfxea.若0a，则对任意的,0 xfxR，函数 fx在R上单调递增，此时 fx无极值.若0a，令 0 xfxea，得lnxa.当lnxa时，0fx，当lnxa时，0fx，fx在,lna上单调递减，在ln,a上单调递增，函数 fx存在极小值.综上所述，若函数 fx存在极值，则实数a的取值范围是0,.（2）不等式 ln1xfxa x恒成立，即ln1xxeaxa x恒成立.方法一：设 ln1xF xxea xx，则 1,0,xxFxxeaxx，当0a 时，令,0,xh xxea x，则 10 xh xxe，h x在0,上单调递增.00,10aahah aaeaa e ，存在唯一的00,xa
32、，使得00h x，当00,xx时，0,0h xFx，当0,xx时，0,0h xFx.F x在00,x上单调递减，在0,x上单调递增.00h x，即00 xx ea，两边取对数得00lnlnxxa，F x的最小值为00000ln1xF xx ea xx，00000ln1ln1xF xx ea xxaa a.令 ln1,0,G xxx xx，则 lnGxx，G x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，10G xG，当且仅当1x 时，等号成立.当且仅当1a 时，0F x 在0,上恒成立.综上，1a.方法二：设 ln,0,h xxx x，易知 h x在0,上单调递增.又当0,1x时，ln1ln,xxx
33、 当0,1x时，ln,1yxx.当1,x时，ln1,yxx.lnh xxx的值域为R.对于R上任意一个值0y，都有唯一的一个正数0 x，使得000lnyxx.ln1xxeaxax，即ln10 xxeaxa x，即lnln10 xxea xx.设 1,tF teattR，要使lnln10 xxea xx，只需min()0F t.0a 时，当,lnta 时，0,tFteaF t在,lna上单调递减；当ln,ta时，0,tFteaF t在ln,a上单调递增.min()lnln1F tFaaa a.设 ln1,0,m xxx xx，则 lnm xx，当0,1x时，0,m xm x在0,1上单调递增；当
34、1,x时，0,m xm x在1,上单调递减.maxmin()10,0,()0m xmm aF t，当且仅当1a 时，等号成立.又minmin()0,()0,1F tF ta.综上，1a.说明：第（2）问另解：不等式 ln1xfxa x恒成立，即ln1ln10 xxxxea xxxeaxe 恒成立，令(0)xtxe t，令 ln1tta t，1atattt，当 ,0,tatt单调递增，当 0,0,tatt单调递减，ln1taaa a，设 ln1,0,m xxx xx，则 lnm xx，当0,1x时，0,m xm x在0,1上单调递增；当1,x时，0,m xm x在1,上单调递减.min()10,0,()0maxm xmm at，当且仅当1a 时，等号成立.又minmin()0,()0,1tta.