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1、第五章第五章 曲面曲面报告人：李莎莎报告人：李莎莎组组 员：李莎莎员：李莎莎 王延涛王延涛 张张 雷雷 刘刘 垒垒一、曲面的表示方法一、曲面的表示方法二、曲面实例二、曲面实例三、切面和曲面的法线三、切面和曲面的法线四、基于四、基于matlab的曲面构造的曲面构造1.1 曲面的参数表示法曲面的参数表示法一、曲面的表示方法一、曲面的表示方法 曲面参数表示法是指曲面上流动点的位置 矢量用两个变量和来联系，并且用下列矢量方程表示：其中 表示坐标轴的单位矢量；给定 通过函数 确定曲面上点笛卡尔坐标。1.2、曲面的隐函数表示法、曲面的隐函数表示法曲面的隐函数表示法是指用一个隐函数来表示一个曲面。方程表示为
2、：且需满足：一、曲面的表示方法一、曲面的表示方法 曲面有规则曲面和不规则曲面之分，规则曲面可以看作是运动的线按照一定的控制条件运动的轨迹（下图），该运动的线称为母线。曲面上任一位置的母线，称为该曲面的素线。控制母线运动的线或面，分别称为导线、导面。二、曲面实例二、曲面实例2.1、曲面介绍曲面介绍二、曲面实例二、曲面实例球面球面二、曲面实例二、曲面实例圆锥面圆锥面二、曲面实例二、曲面实例抛物面抛物面二、曲面实例二、曲面实例双曲面双曲面2.2 直纹面直纹面 直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、单叶旋转双曲面等为旋转直纹面，柱状面、锥状面、双曲抛物面等属于非旋转直纹面。柱 面 锥 面
3、直母线L沿着一条曲导线C运动，且始终通过定点S，这样形成的曲面称为锥面，如图右所示。定点S称为锥顶，锥面上的所有素线都通过它。二、曲面实例二、曲面实例 以圆柱螺旋线及其轴线为导线，直母线沿着它们移动而同时又与轴线保持一定角度，这样形成的曲面称为螺螺旋旋面面。其中，若直母线与轴线始终正交，则形成的是正正螺螺旋旋面面（或称直螺旋面或平螺旋面），如图(a)所示；若直母线与轴线斜交成某个定角，则形成的是斜斜螺螺旋旋面面。图(b)所示螺旋楼梯为斜螺旋面在建筑工程中的应用一例。图（a）正螺旋面 图(b)螺旋楼梯 二、曲面实例二、曲面实例直母线L沿着两条交错直导线AB、CD移动，且始终平行于某个导平面P，这
4、样形成的曲面称为双曲抛物面，如图(c)所示。由形成过程可知，双曲抛物面上的所有素线都平行于导平面，而它们彼此间则为交错关系。图(c)双曲抛物面 二、曲面实例二、曲面实例 直母线L绕着一条与其交错的轴线旋转，形成的曲面称为单叶旋转双曲面，如图(d)所示。母线上距轴最近的点旋转的轨迹是曲面的喉圆。图(d)单叶旋转双曲面 二、曲面实例二、曲面实例2.3 齿轮齿面的成形原理齿轮齿面的成形原理发生面在基圆柱上纯滚动时，发生面上一条与轴线平行的直线在空间的轨迹面渐开面，即为直齿轮的齿廓曲面。图(e)渐开线直齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成二、曲面实例二、曲面实例2.3.1 直齿轮齿廓曲面直齿轮齿廓曲面 发生面沿基
5、圆柱(base cylinder)纯滚动时，发生面上一条与轴线不平行的斜直线在空间的轨迹面即为斜齿圆柱齿轮的齿廓曲面。图(f)斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成二、曲面实例二、曲面实例2.3.2 斜齿轮齿廓曲面斜齿轮齿廓曲面 3.1 曲线坐标：曲线坐标：中一个参数固定，则表示曲面上的一条曲线：中一个参数固定，则表示曲面上的一条曲线：三、切面和曲面的法线三、切面和曲面的法线3.2 切面切面假定假定M0在曲面上，用在曲面上，用 表示，相邻点表示，相邻点M用下式表示：用下式表示：M 趋近于趋近于M0时，时，M0至至M引一条极限射线，若极限射线充满一个平引一条极限射线，若极限射线充满一个平面，则认为在面，则认
6、为在M0处有一个切面。处有一个切面。三种形式的极限射线集合：三种形式的极限射线集合：三、切面和曲面的法线三、切面和曲面的法线（a）（b）（c）3.3 曲面的法线曲面的法线曲面的法线矢量 垂直于切面P，且表示为：曲面法线矢量的方向决定于矢量积的两个因子的顺序三、切面和曲面的法线三、切面和曲面的法线螺旋面的一般方程螺旋面的一般方程及法线求解及法线求解 我们假定平面曲线L作螺旋运动，这个螺旋运动的轴线垂直于L所在的平面。在这种运动中，曲线L形成一螺旋面。平面曲线L在辅助坐标系Sa中方程：三、切面和曲面的法线三、切面和曲面的法线即即 ，按坐标变换得螺旋面一般方程为按坐标变换得螺旋面一般方程为:螺旋面的
7、法线矢量为螺旋面的法线矢量为：三、切面和曲面的法线三、切面和曲面的法线算例1：程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x,y,z=cylinder(2+sin(t),30);subplot(2,2,1);surf(x,y,z);subplot(2,2,2);x,y,z=sphere;surf(x,y,z);subplot(2,1,2);x,y,z=peaks(30);surf(x,y,z);四、基于四、基于matlab的曲面构造的曲面构造算例二：用MATLAB绘制阿基米德正螺旋面，方程：x=rcos;y=rsin;z=h/(2*pi);程序如下：h=2*pi;r,theta=meshgrid(
8、linspace(0,1,50),linspace(0,4*pi,500);x=r.*cos(theta);y=r.*sin(theta);z=h*theta/2/pi;surf(x,y,z);shading interp 四、基于四、基于matlab的曲面构造的曲面构造1（美）李特文（Litvin）著.齿轮几何学与应用理论M.上海：上海科技出版社，2008.2（日）田忠炎著.齿轮几何学M.北京：机械工业出版社，1985.3（苏）诺尔坚（HopneH A N）著.曲面轮M.北京：高等教育出版社，1965.4 傅则绍编.微分几何与齿轮啮合原理M.北京：石油大学出版社，1999.5 吴序堂著.齿轮啮合原理M.北京：机械工艺出版社，1984.参考文献：参考文献：谢谢！