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1、1大家好机械优化设计一.概念是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。（三级减速器，V降低23%）二.优化设计发展概况时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。2第二节优化设计的数学模型一.例子。设计：一长度为6米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S解：6=2（a+b)S=a*b法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。法二：做图法3二.优化设计的数学模型统一形式描述：minf(
2、x)x=x1,x2,xns.tgi(x)=0i=1,2,3.mhj(x)=oj=1,2,.p包括：1.设计变量2.目标函数3.约束问题4三.优化过程：优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:四.优化问题的分类1）按有无约束分：无约束优化问题和有约束优化问题。5（2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。（3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。（4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。五.优化问题的求解1.迭代过程X（k+1）=x（k）+（k）s（k）x（k）第K步迭代点（k）第K
3、步迭方向s（k）第K步迭步长6x(k)x(k+1)x(2)X(1)X(0)迭代过程终止准则：（1）点距准则：x(k+1)-x(k)1(2)下降准则：f(x(k+1)-x(k)2(3）梯度准则：f(x(k+1)3x*a(0)S(0)7第三节一维搜索概念：对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。一.方法分类l1.分析方法（微分法）l2.数值迭代法(a).直接法，包括黄金分割法和对分法(b).间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法8二二.进退法进退法进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。任
4、意给定初始点X1和步长h，算出f(x1)和x2=x1+h点的f(x2)函数值。图(a)f(x1)f(x2)，说明x*x1，将步长增加一倍，取x3=x2+2h；图(b)f(x1)f(x2)，说明x*x1，需改变步长符号，得点x3=x2-h。以此类推，即每跨一步为前一次步长的2倍，直至函数值增加为止。9三.黄金分割法黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解x*。(一）区间缩小的基本思路已知f(x)的单峰区间a,b。为了缩小区间，在a,b内按一定规则对称地取2个内部点x1和x2，并计算f(x1)和f(x
5、2)。可能有三种情况：10图(a)经过一次函数比较，区间缩小一次。在新的区间内，保留一个好点x1和f(x1)，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1对称的点x3，计算f(x3)，与f(x1)比较。如此反复。图(b)淘汰a,x1,令x1b，得新区间a,b。图(c)可归纳入上面任一种情况处理。（二）取点规则黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。根据上式，黄金分割法的取点规则是11(三）收敛准则由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。对于直接法，有以下几种收敛准则：（1）区间绝对精度；（2）区间相对精度；（
6、3）函数值绝对精度；（4）函数值相对精度（四）黄金分割法特点（1）不必要求f(x)可微，只要利用函数值大小的比较，即可很快地找到x*；（2）除了第一次缩小区间要计算两个点及其函数值以外，其余每次只要计算一个点及其函数值；（3）可靠性好。12131415四.二次插值法（一）概念：是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代（二）构造设目标函数f(x)在三点x1x2x3上的函数值分别为f(x1),f(
7、x2),f(x3)，二次插值多项式为p(x)=a+bx+cx2。多项式在插值点的函数值应与目标函数的函数值相等，满足：16(三）收敛准则相继两次的二次插值函数极小点x(k),x(k+1)之间距离小于给定精度时,认为收敛。（四）特点：（1）二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微。（2）收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。（3）如p(x)的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。17第四节无约束优化方法一.概念：对于一个n维目标函数，如果在没有任何限制条件下寻求它的极小点，称无约束极小化问题或无约束优化问题。数学上表达为minf(X)X R n大量实际问题都是有约束的，
8、研究无约束优化方法的意义在于：（1）一类功能很强、使用方便的有约束优化方法，往往能将有约束问题转化成无约束问题，易于采用无约束优化方法求解。（2）无约束优化的理论与方法是约束优化的基础。（3）有些理论计算问题或设计问题本身就是无约束的。18二.梯度法（1）基本思想：任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。(2).收敛准则：19三.迭代过程20三、共轭梯度法一.概述从任意点出发，沿两个互为共轭方向作一维搜索，经过若干步可以获得目标函数的极小点。二.迭代过程X（k+1）=x（k）+（
9、k）s（k）s(0）=-g0s(k+1）=-gk+1+ks（k）k=|gk+1|2/|gk+1|221四.牛顿法牛顿法一.概述牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。其基本思想是：在点x(k)的邻域内用一个二次函数(x)去近似替代原目标函数F(X)，然后求二次函数的极小点作为下一个迭代点x(k+1)，通过不断构造二次函数和迭计算，使迭代点逼近函数的极小点X*。阻尼牛顿法是在原始牛顿法基础上进行修正，能保证每次迭代点的函数值都有所下降。二.迭代过程2223(三).方法特点：（1）初始点应选在X*附近，有一定难度。（2）尽管每次迭代都不会是函数值上升，但不能保证每次下降（3）若迭代点的海赛矩阵为奇异，
10、则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向。（4）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。24五.变尺度法变尺度法一.概述变尺度法综合以上两种方法优点：（1）梯度法：初期收敛速度快（2）牛顿法：在迭代极值点速度最快二.迭代公式X(k+1)=x(k)(k)Akgk开始：Ak=I结束：Ak=Hk-125六.鲍威尔法鲍威尔法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一，是一种十分有效的算法。在无约束方法中许多算法都是以共轭方向作为搜索方向，它们具有许多特点
11、。根据构造共轭方向的原理不同，可以形成不同的共轭方向法。搜索过程26七.其他方法坐标轮换法沿各个坐标搜索，完成一轮搜索单纯形法对整个区间的点进行搜索，典型的直接法27第5节约束优化方法一.数学模型机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为28二.有约束优化问题的分类（1).直接法直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可行方向法。(2).间接法间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向
12、。间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。29三.复合形法基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1K2n）作为初始复合形的顶点。比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。30四.网格法典型的直接法通过网格的方式，计
13、算结点的函数值，比较大小得最好点。五.随机方向法在初始点附近产生若干随机方向，选择一个下降最快的方向作为搜索方向。31五.惩罚函数法1.惩罚函数法的原问题的数学表达式为：322.分类：根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者AVFiacco和GPMcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。迭代过程：可行域内选一个严格初始点X(0)，最好不要靠近任一约束边界。（2）选一个适当大的初始罚因子r(0)，用无约束优化方法寻求罚函数的极小点X0*，再选一个罚因子递
14、减率c(0c0，且最好在可行域内离边界远一点，使一开始作无约束求优时，泛函的值较小，收敛快，成功的机会大。（2）初始罚因子的选择：r(0)不宜过小。一般先以一个r(0)值进行计算，由计算结果调整其大小。（3递减系数c的选择：一般来说，取0.1。344.内外点法的比较内点法的特点：1初始点必须为严格内点2不适于具有等式约束的数学模型3迭代过程中各个点均为可行设计方案4一般收敛较慢5初始罚因子要选择得当6罚因子为递减，递减率c有0c1355.混合法混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点，克服某些缺点，可处理等式约束和不等式约束的优化问题。混合罚函数法的构造形式与外点法的区别是：选定初始点后，对于已满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对于等式和未被满足的不等式约束按外点法构造惩罚项。混合罚函数法的具体形式是366.P66页的表2-2约束优化方法的比较网格法直接法：随机方向法复合形法基本惩罚函数法外部惩罚函数法间接法：内部惩罚函数法混合惩罚函数法增广乘子法37