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1、有限元方法的一般步骤结构离散化选择位移函数单元刚度局阵的建立单元刚度局阵的投放形成全结构总体刚度矩阵结构平衡方程求解计算单元的各种结果(应力、应变、位移、温度等)一、结构离散化 有限自由度系统代替具有无限自由度数目的系统,离散基本是靠工程经验,在选择单元的形状、尺寸、数量和排列时必须谨慎，以便尽可能精确地模拟原物体，而不增加求解的计算工作量。结构离散应该考虑的问题：1、单元的选择 通常,应根据物理问题本身来选择单元的类型.例如,如果问题属于分析在给定的一组载荷条件下的桁架结构,那么,为了理想化而选用的单元类型显然是如图所示的杆单元或线单元对下图所示的短梁作应力分析时,可以用三维体单元进行有限元
2、理想化 但是,在某些情况下，用作理想化的单元类型可能不明显。此时，必须谨慎地选择单元的类型.在分析如图所示的薄壁壳体问题时,可以用几种类型的单元把壳体理想化,此时,需要的自由度数目,预期的精度,容易推导所需的方程以及实际结构可模拟的准确程度将决定理想化所用单元类型的选择。2、单元的尺寸 由于单元的尺寸直接影响解的收敛性，因而必须小心地加以选择，单元尺寸越小，最后的解就越精确。但应当记住，采用小尺寸的单元也就意味着需要更长的计算时间.有时，对同一物体可能要使用不同尺寸的单元。孔洞附近(此处存在应力集中)的单元尺寸应远小于远离孔洞的单元尺寸.通常,每当预料会有陡的应力梯度时,在这些区域总是要采用更
3、密的网格.另一个影响有限元解的与单元尺寸有关的性质是单元的纵横比.纵横比描述了单元在单元集合中的形状,对一个二维单元来说,纵横比取为单元的最长尺寸与最短尺寸之比.纵横比几乎等于1的单元往往能得出最好的结果.3、结点的设置 如果物体在几何形状、材料性质和外部条件(如载荷、温度)方面没有突然变化,则可把物体分为相等的小部分,从而可使结点的间距均匀.另一方面,如果问题存在有任何间断,则显然应当在这些间断处设置结点,见图 4、单元的数量 为了理想化而选择的单元数量,与所要求的精度,单元尺寸以及所涉及的自由度数目有关.虽然增加单元数量通常意味着有更精确的结果,但对某一个给定的问题来说,存在着某个单元数,
4、超过了这个数目,再也不会在有效数上增加精度,图中曲线示出了这种特点.此外,由于采用大量单元包含了大量的自由度,因此,在可用的计算机内存中可能没有能力来存放由此产生的矩阵.5、利用物体的物理条件进行简化工程实际中,很多结构具有对称性.如能恰当地加以利用,可以使结构的有限元计算模型以及相应的计算规模得到减缩,从而使数据准备工作和计算工作量大幅度地降低.如果物体的形状以及外加条件都是对称的,则在进行有限元理想化时就可以只考虑物体的一半.但是在求解过程中,必须加入对称条件,如图所示一具有中心圆孔的矩形板,由于板不可能在对称线A-A有水平位移,所以在求解时必须在对称线上引入u=0的条件.对称面上的边界条
5、件可以按以下规则确定:在不同的对称面上,将位移分量区分为对称分量和反对称分量,例如在ox面上,u是对称分量,是反对称分量;而在oy面上,是对称分量,而u是反对称分量.将载荷也按不同的对称面,分别区分为对称分量和反对称分量.对于同一个对称面,如载荷是对称的,则位移的反对称分量为0;如载荷是反对称的,则位移的对称分量为0.上述规则表示:一个结构若外载及结构相对于某轴(面)对称,则对称面上自由节点相对于对称轴(面)作为反对称移动的位移为零.反之,若结构对称,载荷反对称,则相对于对称轴(面)作为对称移动的位移分量为零.利用这个性质:可以确定对称轴(面)上结点的支持情况,只需要计算结构的一部分.如图(a
6、)所示的桁架,全结构四个结点,五个杆单元.但杆元13的轴线是对称线,而且载荷p也是对称的.对称线上的结点为1、3,利用上述性质,在对称线上(即结点1、3)为反对称位移,它必等于零.这也相当于在 方向上,在1,3结点处加了刚性支座,于是计算简化为图(b)所示结构6、总刚度矩阵的性质与结点编号 用有限元法分析结构时，通常结点的自由度数目巨大,从而使方程组有大型的特点，K往往有数百阶甚至几千阶，而且K中的每一行势必含有大量的零元素，叫做稀疏矩阵。总刚度矩阵中非零元素集中在主对角线两侧，又使总刚度矩阵呈带状。考虑到刚度矩阵的对称性，因而定义包括主对角元素在内的一侧非零元素最大延伸长度，叫刚度矩阵的半带
7、宽。一般说来，计算最大半带宽得公式为其中，B是最大半带宽，D是从全部单元集合中得到的单元结点编号差值的最大值，f是每个结点得自由度数。二、选择位移函数 有限元法的基本思想是分段逼近,即把感兴趣的区域分为许多小区域(有限元)后再对每个子域用简单函数近似求解,最后得到复杂问题的解.因此,最必要的步骤是为每一个单元的解选择一个简单的函数,用以表示单元内位移形状的这种函数称为位移函数,由于以下原因,多项式形式的位移函数用得最为广泛.(1)用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易,特别是易于进行微分和积分.(2)如图所示,增加多项式的阶数可以改善结果的精度.在理论上,无限次多项式就相当于准确
8、解.但在实际中,我们只取有限次的多项式作为近似解.位移函数的多项式形式一维单元中,位移函数的多项式形式表示为:二维单元中,位移函数的多项式形式表示为:三维单元中,位移函数的多项式形式表示为:在大多数实际应用中,插值函数的多项式的阶数都取为一次、二次或三次,因此,上述方程对于实际情况简化为:插值多项式阶次的选择在选择插值函数多项式的阶次时,必须考虑到下列因素:(1)多项式描述的位移形式与局部坐标系无关;(2)ai的数目应等于单元结点自由度的数目.(3)插值多项式应当尽可能满足收敛性要求;第(1)条要求即在不同局部坐标系中,位移函数(多项式)表达式不变,这种性质称为几何等向性,为获得几何等向性,多
9、项式中应含有不违反对称性的那些项.如二维线性单元中,含有X和Y两项,而不仅仅是其中一项.或在二维高阶单元(三角形)情况下,如果由于种种原因忽略了X3(或X2Y)项,则为了保持模式的几何等向性,也不应包括Y3(或XY2)项.第(2)条选择插值多项式阶次的要求,是使多项式中所含的总项数等于单元的结点自由度数目.如三结点三角形平面单元,插值多项式选为:因为单元结点自由度=3x2=6,插值多项式系数包含a1,6,从而可以用单元结点未知数来表示多项式系数.又如六结点三角形平面单元,插值多项式可选为:第(3)条要求位移函数具有收敛性,才能得到近似解.下面进行讨论.收敛性要求由于有限元法是一种数值方法,故当
10、单元的尺寸逐渐缩小时,就得到一系列近似解.如果插值多项式满足下列收敛性要求,这一系列解就收敛于准确解,位移函数收敛准则归纳起来有三条:(1)位移函数中必须含有反映刚体运动的项数.多项式形式的常数项即体现这一刚体位移.每个单元的位移一般总是包含两部分,一是由本单元形变引起,另一部分是与本单元形变无关的,即刚体位移,它是由其他单元发生形变而连带引起的,如悬臂梁自由端处本身形变小,位移主要是连带引起.(2)位移函数应反映单元的常应变,即位移函数的导数中必须有常数项存在.当单元尺寸无限缩小时,单元应变将趋近于常量,因此单元位移函数中应包括常应变项平面应力和空间应力中,应变是位移的一阶导数,常应变即要求
11、位移函数含有一次项(3)位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的.在有限单元法中,按位移(即按最小势能原理)求解时,只计算了各单元内部的功(应变能),没有计算相邻两单元接触面上的功,由于接触面的厚度是零,当接触面上的应变是有限值时,此功等于零,反之,当接触面上的应变不是有限值时,此功就可能不等于零,忽略它会引起一定的误差.如果插值多项式满足全部三个收敛要求,则当我们加密网格和增加更小单元的数量时,近似解就收敛于正确解.在结构问题中,满足全部收敛性要求的插值函数总是导致位移解从下向上收敛.原因是:按最小势能原理求解时,必须先假定单元位移函数,这些位移函数是连续的,但却是近似的,从物体中取
12、出的一个单元,作为连续介质的一部分,本来具有无限个自由度,在采用位移函数后,只有以结点位移表示的有限个自由度,位移函数对单元的变形能力有所限制,使单元的刚度增加了,物体的整体刚度也随之增加了,因此计算的位移近似解将小于精确解.三、单元刚度矩阵的建立 从前面学习可以看出,有限元法的核心是建立单元刚度矩阵,有了单元刚度矩阵,加以适当组合,可以得到平衡方程组,这以后剩下的就是一些代数运算了.我们首先介绍虚位移原理及其在单元分析中的应用.在各种能量原理中,虚位移原理应用最为方便,因而得到广泛的应用，所谓虚位移可以是任何无限小的位移,它在结构内部必须是连续的,在结构的边界上必须满足运动学边界条件,例如对于悬臂梁来说,在固定端处,虚位移及其斜率必须等于零。今考虑如上图所示的物体,它受到外力F1，F2,等的作用。记F=F1,F2,F3,T,在这些外力作用下,物体的应力为:现假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位移为1*，2*，3*，。记*=1*，2*，3*，T,由虚位移所产生得虚应变为 在产生虚位移时，外力已作用于物体，而且在虚位移过程中，外力保持不变，因此，外力在虚位移上所做的虚功是在物体的单位体积内，应力在虚应变上得虚应变能是整个物体的虚应变能是虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那么在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体得虚应变能，即