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1、数学数学数学数学 选修选修选修选修2-2(2-2(北师大版北师大版北师大版北师大版)第四章第四章第四章第四章 第一节第一节第一节第一节1.1 定积分的背景定积分的背景面积和路程问题面积和路程问题永丰中学永丰中学永丰中学永丰中学 程春民程春民程春民程春民这个湖泊的面积该怎样计算呢？这个湖泊的面积该怎样计算呢？如何求曲线围成的平面图如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的一个典型问题形的面积呢？这就是定积分要解决的一个典型问题。引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小
2、结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1 1问题问题1 1：我们古代的数学家是怎样计算圆的面积的：我们古代的数学家是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？圆周率是如何确定的？割圆术割圆术刘徽刘徽刘徽刘徽祖冲之祖冲之引入新引入新引入新引入新课课
3、课课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置4 4引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1 1一一.曲边
4、梯形的概念：曲边梯形的概念：引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置2 2探究探究1 1（阿基米德问题）：求由抛物线（阿基米德问题）：求由抛物线y=xy=x2 2与与直线直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 Archimedes，约公元约公元前前287年年约公元前约公元前212年年引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以
5、致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置3 3分割分割近似替近似替代代求和求和逼近（极限）逼近（极限）区间长度：区间长度：x=x=区间高：区间高：h=h=小矩形面积：小矩形面积：S=S=第第i i个小区间个小区间探探究究1.求求抛抛物物线线y=x2、直直线线x=1和和x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形的的面积。面积。引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置6 6 引入新课引入新课引入
6、新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置7 7引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1010探究探究1.1.求由抛物线求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图所围成的平面图形的面积的近似值形的面积的近似值0.20.40.6 0.80.20.4 0.6
7、0.8引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置7 7问题问题3：如何更精确地求出阴影部分的面积：如何更精确地求出阴影部分的面积S?0.1 0.2 0.3.0.9 10.1 0.2 0.3.0.9 1 y=f(x)bax yOA A1+A2+An将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，再求和，于是曲边梯形的面积的面积，再求和，于是曲边梯形的面积A
8、 A近似为：近似为：A1AiAn 以直代曲以直代曲,无限逼近（用过剩估计值和不足估计值无限逼近（用过剩估计值和不足估计值无限逼近曲边梯形面积的准确值。）无限逼近曲边梯形面积的准确值。）抽象概括：抽象概括：求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积的方法：的方法：引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1212引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课
9、堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1313（2）其中体现了其中体现了“以直代曲以直代曲”和和“无限逼近无限逼近”的数学思想，这也是定积的数学思想，这也是定积分的基本思想分的基本思想练练习习1S为为曲曲线线 yx25,直直线线x=0,x=2及及x轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积（1）画出该平面图形；）画出该平面图形；(2)试估计该平面图形的面积试估计该平面图形的面积.引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置
10、作业布置作业布置yyxx14140.2 1.8 0.2 1.8 解将区间将区间0,20,2 10等分，如图：等分，如图：过剩估计值过剩估计值S1(0250.2251.825)0.27.72 不不足足估估计计值值S2(0.2250.4251.825225)0.26.92可以用过剩估计值或不足估计值或它们中间的一个值来估计平面图可以用过剩估计值或不足估计值或它们中间的一个值来估计平面图形的面积。形的面积。练练习习1S为为曲曲线线 yx25,直直线线x=0,x=2及及x轴轴所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积（1）画出该平面图形；）画出该平面图形；(2)试估计该平面图形的面积试估计该平面图形
11、的面积.引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置yyxx1414探究探究2求变速运动的路程求变速运动的路程一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速的速度为度为v(t)t25(单位：单位：km/h)试估计这辆汽车在试估计这辆汽车在0t2(单位：单位：h)这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程 思路点拨思路点拨与求曲边梯形面积类似，将区间与求曲边梯形面积类似，将区间0,2分成分成n个小个
12、小区间，在每个小区间上，由于区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可近似的看的变化很小，可近似的看做汽车做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行做汽车做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得驶路程的近似值，再求和得S的近似值，即通过求矩形面积的近似值，即通过求矩形面积问题即可解决故采取问题即可解决故采取“以不变代变以不变代变”，将变速直线运动，将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题。的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题。引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学
13、以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1515解：解：将区间将区间0,2 10等分，如图：等分，如图：估计该车在这段时间内行驶的路程介于估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与与7.72 km之间之间引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1616过剩估计值过剩估计值S1(0250.2251.825)0.27.72(km)不足不足估计值估计值S2(0.2250.4251.82522
14、5)0.2 6.92（km）引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1818反思与感悟反思与感悟一一.本节课你学到了哪些知识本节课你学到了哪些知识？二二.本节课用到哪些数学思想方法？本节课用到哪些数学思想方法？知识回顾知识回顾 引入新课引入新课 合作探究合作探究 思考交流思考交流 学以致用学以致用 课堂小结课堂小结 作业布置作业布置1.曲边梯形的概念。曲边梯形的概念。2.求求曲边梯形的面积曲边梯形的面积（变速直线运动的路程）的一般步骤
15、：（变速直线运动的路程）的一般步骤：分割、近似替代、求和、逼近分割、近似替代、求和、逼近(取极限取极限)3.了解了定积分的实际背景了解了定积分的实际背景-曲边梯形的面积和变速直线运动的路程。曲边梯形的面积和变速直线运动的路程。“以直代曲以直代曲”、“以不变代变以不变代变”“无限逼近无限逼近”的数学思想的数学思想方法方法，这也是定积分的基本思想这也是定积分的基本思想引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置1919知识回顾知识回顾 引入新
16、课引入新课 合作探究合作探究 思考交流思考交流 学以致用学以致用 课堂小结课堂小结 作业布置作业布置（1）必做题：）必做题：课本：课本：P80 A 组组 1、2 题题（2）选做题：）选做题：（3）思考题：）思考题：弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)=3(x为伸长量，为伸长量，单位：单位：m,力的单位力的单位:N），试估计弹簧从平衡位置拉长），试估计弹簧从平衡位置拉长5m所做所做的功，并写出估计值的误差。的功，并写出估计值的误差。引入新课引入新课引入新课引入新课 合作探究合作探究合作探究合作探究 思考交流思考交流思考交流思考交流 学以致用学以致用学以致用学以致用 课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 作业布置作业布置作业布置作业布置2020以区间内任意点以区间内任意点i的函数值的函数值f(i)作高，求此时曲边梯形的面积作高，求此时曲边梯形的面积谢谢！谢谢！