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1、数学分支介绍-分析学数学思想与数学文化第四讲内 容 0.前言 1.微积分学及其发展道路 2.分析学的分支0.前 言在一切理论成就中，未必再有什么像19世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。-恩格斯自然辩证法微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别的有效工具。遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶。-R柯朗1.微积分学及其发展道路v微积分学-是研究函数微分与积分性质与应用的一个数学分支。v微积分的出现，是由初等数学向高等数学转变的一个具有划时代意义的大事。v但
2、是，在微积分发展的过程中也曾产生过一些“混乱”或者说“神秘性”。这种“神秘性”主要集中在“无穷小量”上。v16世纪的欧洲向自然科学提出两个基本问题：（1）已知路程求速度；（2）已知速度求路程。在等速运动的情况下，这两个问题可以用初等数学来解决，但在变速的情形，只用初等数学就无法解决了。v由于笛卡尔（RDescartes，1596-1650）等人创立了解析几何学，开始有了变量的概念，并把描述运动的函数关系和几何中曲线或曲面问题的研究统一了起来。v前面所讲的力学中两个最基本的问题正好与初等几何一直未解决的两类问题完全一致。这两个问题是：（1）求任意曲线的切线；（2）求任意曲线所围成的面积（或求任意
3、曲面所围成的体积）。Kepler在于1615年写的酒桶的立体几何学一书中，求出了87种旋转体的体积；1635年，意大利数学家卡瓦列利（B.Cavalieri，1598-1647）出版了不可分连续量的几何学，书中引入了所谓“不可分量”，并提出了卡瓦列利原理，它是计算面积和体积的有力工具；1656年，英国人沃里斯（.allis,1616-1703）把卡瓦列利方法系统化，使“不可分量”更接近于定积分的计算，在无穷算术中明确提出了极限思想；费马于1638年在求最大值和最小值的方法中给出了求曲线的切线和函数极值的方法；牛顿在剑桥大学的老师巴罗（I.Barrow，1630-1677）不仅给出了求曲线切线的
4、方法，而且也揭示了求曲线的切线和求曲线所围成面积这两个问题的互逆性。中国古代数学家刘徽和祖冲之的儿子祖暅对体积的计算也做过重要的贡献。祖暅于5世纪提出并证明了“幂势既同，则积不容异”这个原理，即空间体积，若其底、高分别相等，等高处的截面积均相等，则两空间体的体积必相等（卡瓦列利原理）。牛顿和德国数学家莱布尼兹（G.W.Leibniz,1646-1716）在前人工作的基础上，分别从力学和几何学独立地创立了微积分学。牛顿侧重于力学研究，突出了速度的概念，考虑了速度的变化，建立了微积分的计算方法。他于1665年创造了“流数法”，并利用这个方法从行星运动三大定律推出了万有引力定律，再根据万有引力定律解
5、决了许多力学和天文学的问题。莱布尼兹则突出了切线的概念，从变量的有限差出发引入微分概念，他特别重视运算符号和法则。恩格斯说过：“微积分是牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。”牛顿（英，1642-1727）莱布尼茨（德，1646-1716）微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示出强大的威力。例如，在天文学中，它能够精确地计算行星、彗星的运行轨道和位置。英国天文学家哈雷（E.Halley,1656-1742）就通过这种计算断定1531年、1607年、1682年出现过的彗星是同一颗彗星，并推测它将于1759年再次出现，这个预见后来果然被证实。虽然微积分的应用愈来愈丰富，但当时的微分和积分
6、并没有确切的数学定义。特别是一些定理的证明和公式的推导，在逻辑上前后矛盾，不好理解，使人感到可疑，但推出的结论往往是正确无误的。这样，微积分就具有了一种“神秘性”。v这种“神秘性”集中体现在当时对“无穷小量”的认识上。牛顿在一些经典的推导中，他既用无穷小量作分母进行除法，这意味着无穷小量不是零；然而他又把被无穷小量所乘的项当做没有而去掉，这说明他又认为无穷小量是零。奇怪的是，这样所推导的公式在力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的。附：牛顿在1704年发表了“曲线的求积”，其中他确定了x3的导数（当时他称之为流数）。牛顿所用方法意译如下：当x增长为x+0 时，幂x3变为(x+0)3 或者x3
7、+3x20+3x02+03，它们的增量分别是0和3x20+3x02+03。这两个增量与x的增量0的比分别为1与3x2+3x0+02，然后让增量消失，则它们最后比将为1比3x2。从而x3对x的变化率为3x2。这种用逻辑上自相矛盾的方法推导出正确结论的事实，使微积分运算表面看来有很大的随意性。正如马克思所说：“这种新发现的计算方法，就是通过数学上肯定是不正确的途径而得出了正确的（而且在几何学应用上简直是惊人的）结果。”人类进入19世纪后，埋藏在数学内部的逻辑基础问题最终还是由科技领域提出的“热传导”这一大课题的研究为导火线而爆发出来。1811年，法国数学家傅里叶（Fourier）发表了一篇名为关于
8、热传导问题的研究的论文。文中他提出了对数学物理具有普遍意义的方法，即将任意函数表示为无穷项三角函数之和，简称为三角级数。这种表达函数的方式与函数的传统表达方式相违背，给数学带来了新的混乱，即什么叫“无穷项求和问题”？这个问题不解决，解决热传导问题的方法就缺乏理论依据。其实，这个问题仍然归结为如何认识无穷小量的问题。至此，微积分中逻辑上的混乱，即对无穷小量的理解，已经到了必须澄清的时候了。也就是说，必须给微积分建立严格的理论基础。在为微积分作奠基性工作方面，瑞士数学家约翰伯努里（Johann Bernoulli，1667-1748）和欧拉、奥地利数学家波尔查诺（BBolzano，1781-184
9、8）、德国数学家狄内赫利（Dirichlet，1805-1851）等都做过贡献。起决定作用的是法国数学家柯西（Cauchy，1789-1857），他于1821年在分析教程中给出了极限概念比较精确的分析定义，并以极限概念为基础，给出了无穷小量、无穷级数的“和”等许多概念的较明确的定义。德国数学家韦尔斯特拉斯（KWeierstrass，1815-1897）总结了前人的工作，于1855年给出了极限的严格定义，即今天教材上通用的定义，并把分析基础归结为对实数理论的研究。他与德国数学家戴德金（RDedekind，1826-1866）、康托（GCantor，1845-1918）一起创立了实数理论，这是分析
10、学的逻辑基础发展史上的重大成就。至此，人们才知道无穷小无穷小量只不过是在某个变化过程中以零为极限的变量只不过是在某个变化过程中以零为极限的变量量。柯西柯西（法，（法，1789-1857）魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(德，德，18151897)从1665年牛顿创造的流数法到1855年韦尔斯特拉斯给出极限的严格定义，经历了190年。如果从我国魏晋时代就有微积分计算方法的萌芽-割圆术算起，大约经历了1600多年，若再从阿基米德于公元前3世纪提出“穷竭法”算起，则经历了2000多年。微积分这个漫长的发展史，给我们的重要启示就是：一个新的理论（或新的学科）的诞生，需要许多人付出艰辛的劳动，甚至要经过几代人的努力，科学研究的道路从来就不是平坦的。另外，也告诉我们：人们对客观世界中数量关系的认识是逐步深化的，需要从感性认识能动地跃进到理性认识，又要从理性认识能动地指导实践，并取得进一步的发展，这个过程就是“实践、认识、再实践、再认识”的过程。2.分析学的分支1.微积分学（研究函数的导数、积分的性质和应用）2.微分方程（从所给的微分方程解出解出未知函数）3.复变函数（研究解析函数的性质）4.实变函数（积分论、函数构造论）5.泛函分析（古典分析观点的推广，研究无穷维线性空间中映射理论）本节结束！谢谢！