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1、2.2直接证明引例引例1 1引引1【思思路路点点拨拨】解解答答本本题题可可由由已已知知条条件件出出发发，结结合合基基本本不不等等式式，即即可可得得出出结论结论从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法)用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:特点:“由因导果”【思维总结思维总结】例例1:
2、1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+a+a2 2 2ac,b02ac,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:：求证：求证：证明：因为证明：因为 所以所以 左式左式=log195+2log193+3log192 =l
3、og19(53223)=log19360.因为因为log19360log19361=2，所以所以 探索求知探索求知：求证不等式：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分 条件。引例引例2 2例例2证明：证明：要证要证只需证只需证即证即证只需证只需证故不等式成立故不等式成立.从要证明的结论出发，逐步从要证明的结论出发，逐步寻求寻求推证过程中，推证过程中，使每一步结论成立的使每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做为止，这种证明的方法叫做分析法分析法 特点
4、：特点：这个明显成立的条件可以是：这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等执果索因执果索因即：即：要证结果要证结果Q Q，只需证条件，只需证条件P P思考思考：分析法是把所要求：分析法是把所要求证证的的结论结论当作已知条件当作已知条件 来推理来推理吗吗？分析法的格式分析法的格式：要证：要证，只需证，只需证，只需证，只需证，因为，因为成立，所以原不等式成立。成立，所以原不等式成立。概念深化概念深化提示：提示：分析法并不是把所要求分析法并不是把所要求证证的的结论结论当作已知当作已知条件来推理，而是条件来推理，而是寻寻求使求使结论结论成立的充分条件成立的充分
5、条件【思路点思路点拨拨】条件和条件和结论结论的的联联系不明确，考系不明确，考虑虑用分析法用分析法证证明明【证证明明】只需证-26，求证：当一个圆与一个正方形的周求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大 证明：设圆和正方形的周长为证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为依题意，圆的面积为 正方形的面积为正方形的面积为因此本题只需证明因此本题只需证明 为了证明上式成立，只需证明为了证明上式成立，只需证明 变式变式4两边同乘以正数两边同乘以正数 得得 因为上式是成立的，所以因为上式是成立的，所以 这就证明了如果一个圆与一个正方
6、形的这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。形的面积大。求证：logn(n1)logn1(n2)(n2)分析基本不等式：分析基本不等式：(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明.证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立证明证明:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立还原成还原成综合法综合法：小结小结 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则
7、用能找到证明的途径，则用 ，否则，否则用用 .2.2.综合法的每步推理都是寻找综合法的每步推理都是寻找 条条件，分析法的每步推理都是寻找件，分析法的每步推理都是寻找 条条件，在解题表述中要注意语言的规范性件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性和逻辑性.3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点连结点.课堂测试课堂测试2023/1/5申占宝322023/1/5
8、申占宝33失失误误防范防范1利用利用综综合法合法证证明明问题时问题时，要把，要把产产生某生某结结果的具果的具体原因写完整，不可体原因写完整，不可遗遗漏漏2用分析法用分析法书书写写证证明明过过程程时时，格式要，格式要规规范，一般范，一般为为“欲欲证证，只需，只需证证，只需，只需证证，由于，由于显显然成然成立立(已知，已已知，已证证)，所以原，所以原结论结论成立成立”其中的关其中的关联词语联词语不能省略不能省略1综综合法与分析法的推理合法与分析法的推理过过程是合情推理程是合情推理还还是是演演绎绎推理？推理？提示：提示：综综合法与分析法的推理合法与分析法的推理过过程是演程是演绎绎推理，推理，因因为综
9、为综合法与分析法的每一步推理都是合法与分析法的每一步推理都是严严密的密的逻辑逻辑推理，从而得到的每一个推理，从而得到的每一个结论结论都是正确的，都是正确的，不同于合情推理中的不同于合情推理中的“猜想猜想”概念深化概念深化2分析法是把所要求分析法是把所要求证证的的结论结论当作已知条件来当作已知条件来推理推理吗吗？提示：提示：分析法并不是把所要求分析法并不是把所要求证证的的结论结论当作已当作已知条件来推理，而是知条件来推理，而是寻寻求使求使结论结论成立的充分条成立的充分条件件一、选择题1用分析法证不等式：欲证AB，只需证C0答案C解析a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(ab
10、c)(ab)2(bc)2(ca)2而a，b，c不全相等(ab)2(bc)2(ca)20，故a3b3c33abcabc0.故应选C.答案ab答案acb符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言学会语言转换学会语言转换找出隐含条件找出隐含条件 在在中，三个内角、对应的中，三个内角、对应的边分别为边分别为a a、b b、c c，且、成等差数列，且、成等差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形证明：证明：由由A,B,C成等差数列，有成等差数列，有2B=A+C，-因为因为A,B,C是三角形的内角，所以是三角形的内角，所以A+B+C=180o 所以所以B=60o。-由由a,b,c成等比数列，有成等比数列，有b2=ac,-由余弦定理得，由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有再有得得a2+c2-ac=ac，即，即(a-c)2=0因此因此a=c。从而有。从而有A=C-则由则由 得得A=B=C=60o.所以三角形所以三角形ABC是等边三角形。是等边三角形。