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1、 第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 3-1 系系统时间统时间响响应应的性能指的性能指标标3-5 线线性系性系统统的的稳稳定性分析定性分析3-6 线线性系性系统统的的稳态误稳态误差差计计算算 3-2 一一阶阶系系统统的的时时域分析域分析3-3 二二阶阶系系统统的的时时域分析域分析3-4 高高阶阶系系统统的的时时域分析域分析3-1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标一、典型输入信号一、典型输入信号 控制系统的响应决定于系统本身的控制系统的响应决定于系统本身的结构结构和和参数参数，还，还有系统的有系统的初始状态初始状态以及以及输入信号的形式输入信号的形式。在实际应用中
2、，。在实际应用中，系统的输入信号往往并非都是确定的，为了便于分析和系统的输入信号往往并非都是确定的，为了便于分析和设计，常采用一些典型输入信号，通过评价系统在这些设计，常采用一些典型输入信号，通过评价系统在这些典型输入信号作用下的静态误差来衡量和比较系统的静典型输入信号作用下的静态误差来衡量和比较系统的静态性能。态性能。采用典型的输入信号，可以使问题的数学处理采用典型的输入信号，可以使问题的数学处理系统化，另外，它还可以由此去推知更复杂输入下的系系统化，另外，它还可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。统响应。时域表达式时域表达式复域表达式复域表达式名名 称称正正 弦弦 函函 数数单单 位位 脉
3、脉 冲冲 函函 数数单单 位位 斜斜 坡坡 函函 数数(等等 速速 度度 函函 数数)单单 位位 阶阶 跃跃 函函 数数单单 位位 抛抛 物物 线线 函函 数数(等等 加加 速速 度度 函函 数数)图图 形形二、动态过程和稳态过程二、动态过程和稳态过程 动态过程：动态过程：又称又称过渡过程过渡过程、瞬态过程瞬态过程或或暂态响应暂态响应是指是指 系统在典型输入信号作用下，输出量从初始状态到最终系统在典型输入信号作用下，输出量从初始状态到最终 状态的响应过程。一般表现为状态的响应过程。一般表现为衰减衰减(稳定系统稳定系统)、发散发散(不不 稳定系统稳定系统)或或等幅振荡等幅振荡(临界稳定系统临界稳
4、定系统)等形式。等形式。稳态过程：稳态过程：又称又称稳态响应稳态响应，是指系统在典型输入信号的，是指系统在典型输入信号的 作用下，当时间作用下，当时间 时，系统输出量的表现形式。时，系统输出量的表现形式。三、动态性能和稳态性能三、动态性能和稳态性能 动态性能：动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。描述描述稳定的稳定的稳定的稳定的系统在系统在阶跃函数阶跃函数阶跃函数阶跃函数作用下，动态过程随时间的作用下，动态过程随时间的变化状况的指标称为
5、动态性能指标。通常包括：变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：l 延迟时间延迟时间延迟时间延迟时间 ：指响应曲线指响应曲线第一次第一次到达稳态值到达稳态值一半一半所需的时间。所需的时间。l 上升时间上升时间上升时间上升时间 ：指响应指响应第一次第一次 上升到终值所需的时间。对上升到终值所需的时间。对 于于无振荡的系统无振荡的系统是指响应从是指响应从 终值的终值的10%上升到上升到终值的终值的 90%所需要的时间。它是系所需要的时间。它是系 统响应速度的一种度量。上统响应速度的一种度量。上 升时间越短，响应速度越快。升时间越短，响应速度越快。稳态误差稳态误差误差带误差带l 峰值时间峰值时间峰
6、值时间峰值时间 ：响应超过其响应超过其 终值到达第一个峰值所需终值到达第一个峰值所需 的时间。的时间。l 调节时间调节时间调节时间调节时间 ：指响应指响应到达到达 并并保持保持在在误差带误差带(终值的终值的 或或 )内所需的内所需的 最短时间。最短时间。l 超调量超调量超调量超调量 ：指响应的最大值与终值的差与终值之比的指响应的最大值与终值的差与终值之比的 百分数，即：百分数，即：也称为也称为最大超调量最大超调量最大超调量最大超调量或或百分比超调量百分比超调量百分比超调量百分比超调量。稳态误差稳态误差误差带误差带 性能指标说明性能指标说明n 若系统没有延迟环节，则延迟时间、上升时间及峰值时间若
7、系统没有延迟环节，则延迟时间、上升时间及峰值时间 的变化规律相同。的变化规律相同。n 延迟环节会影响延迟时间，但不会影响上升时间。延迟环节会影响延迟时间，但不会影响上升时间。n 延迟时间、上升时间可反映系统的快速性（给了外加激励，延迟时间、上升时间可反映系统的快速性（给了外加激励，系统反映变化的快慢程度）和延迟。系统反映变化的快慢程度）和延迟。n 延迟时间、上升时间短的系统，动态过程不见得短，因为延迟时间、上升时间短的系统，动态过程不见得短，因为 系统阻尼的问题，可能需要很长时间才能结束动态过程。系统阻尼的问题，可能需要很长时间才能结束动态过程。描述动态过程结束的快慢，用调节时间。调节时间是描
8、述动态过程结束的快慢，用调节时间。调节时间是 一个综合指标。一个综合指标。n 超调量是一个反映系统阻尼特性的指标。超调量是一个反映系统阻尼特性的指标。稳态性能：稳态性能：稳态性能一般用稳态误差来表示，它是指系统稳态性能一般用稳态误差来表示，它是指系统 稳态时的输出稳态时的输出与与期望输出期望输出之间的差。之间的差。综合性能指标综合性能指标(误差准则误差准则)前述暂态响应性能指标是相互关联的，当其中一个前述暂态响应性能指标是相互关联的，当其中一个指标为最优时，有可能使得另一个指标的性能降低，为了指标为最优时，有可能使得另一个指标的性能降低，为了达到整个系统综合性能指标的最优化，需要采取一些能体达
9、到整个系统综合性能指标的最优化，需要采取一些能体现综合性能的指标。现综合性能的指标。l 误差平方积分误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)l 时间乘误差平方积分时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)l 误差绝对值积分误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)l 时间乘误差绝对值积分时间乘误差绝对值积分 (ITAE，Integral of Timed Absoluted Error)(是输入输出之间存在的误差是输入输出之间存在的误差)3-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时
10、域分析 一阶系统：一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，以一阶微分方程作为运动方程的控制系统，可用来描述很多实际系统，如电枢控制的电机，单容水槽可用来描述很多实际系统，如电枢控制的电机，单容水槽。一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型可表示为：一阶系统的数学模型可表示为：其中：其中：为时间常数，为时间常数，是系统增益，是系统增益，是交接频率。是交接频率。对于线性系统，对于线性系统，不会影响系统响应的形状，也不不会影响系统响应的形状，也不影响分析过程和结论，下面都取影响分析过程和结论，下面都取 。根据线性微分方程理论：根据线性微分方程理论：线性常微分方程的通解线
11、性常微分方程的通解=(给定初值条件下给定初值条件下)齐次方程的通解齐次方程的通解 +(零初值条件下零初值条件下)非齐次方程的特解非齐次方程的特解上式中，前者只取决于上式中，前者只取决于初值条件初值条件，后者只取决于，后者只取决于输入函数输入函数。我们把线性定常系统的响应亦由两部分组成，即我们把线性定常系统的响应亦由两部分组成，即:系统的响应系统的响应=暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应复习：线性常微分方程的解复习：线性常微分方程的解线性定常系统的描述：线性定常系统的描述：例：例：非零初始条件非零初始条件取取拉氏变换拉氏变换得：得：即：即：拉氏反变换得：拉氏反变换得：用拉普拉斯变换工具可以使求解
12、更加简单用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单 传递函数只反映了零状态解，不能全面反映系统的输传递函数只反映了零状态解，不能全面反映系统的输 出，但对大多数工程系统却是很合适的，因为大多数出，但对大多数工程系统却是很合适的，因为大多数 工程系统满足零初始条件。工程系统满足零初始条件。零输入解并不增加零状态解的模态，只影响各模态的零输入解并不增加零状态解的模态，只影响各模态的 系数。系数。零状态响应零状态响应(强制分量强制分量)零输入响应零输入响应(自由分量自由分量)稳态响应稳态响应暂态响应的一部分暂态响应的一部分暂态响应的一部分暂态响应的一部分 小结小结二、一阶系统的单位阶跃响应二、一阶系统的单
13、位阶跃响应单位阶跃输入：单位阶跃输入：输出：输出：时域响应：时域响应：初始斜率为初始斜率为:1/T单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 右图表明，一阶系统的单右图表明，一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，它位阶跃响应为非周期响应，它有以下特点：有以下特点：一阶惯性系统总是稳定的，一阶惯性系统总是稳定的，无振荡无振荡，无超调无超调，稳态误，稳态误 差等于差等于零零。可用时间常数可用时间常数 去度量系统输出量的数值，因此，可去度量系统输出量的数值，因此，可 用实验方法测定一阶系统的时间常数用实验方法测定一阶系统的时间常数 或测定所测系或测定所测系 统是否为一阶系统。一般取调整时间统是否为一阶系统。一般
14、取调整时间 ，时间常数时间常数 反映了系统的响应速度，反映了系统的响应速度，越小，响应越小，响应 速度越快。速度越快。响应曲线的斜率初始值为响应曲线的斜率初始值为 ，并随时间的推移而减小。，并随时间的推移而减小。l 延迟时间：延迟时间：l 无超调量和峰值时间。无超调量和峰值时间。动态性能指标动态性能指标l 上升时间：上升时间：l 调节时间：调节时间：三、一阶系统的单位脉冲响应三、一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入：单位脉冲输入：输出：输出：时域响应：时域响应：初始斜率为初始斜率为：单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线 一阶系统的单位脉冲响一阶系统的单位脉冲响应如右图所示，特点如下：应如右图所示，特
15、点如下：无振荡无振荡，无超调无超调，稳态，稳态 误差等于误差等于零零；初始斜率为初始斜率为 ；可以用时间常数去度量系统的输出量的数值。可以用时间常数去度量系统的输出量的数值。动态性能指标动态性能指标l 延迟时间：延迟时间：l 无超调量和峰值时间。无超调量和峰值时间。l 上升时间：上升时间：l 调节时间：调节时间：四、一阶系统的单位斜坡响应四、一阶系统的单位斜坡响应知识回顾知识回顾1：进行拉普拉斯反变换的进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法部分分式展开法 只具有只具有单极点单极点单极点单极点的有理函数的反变换的有理函数的反变换 的不定式的不定式洛比特法则洛比特法则 具有具有多重极点多重极点多重极点
16、多重极点的有理函数的反变换的有理函数的反变换 具有具有共轭复根共轭复根共轭复根共轭复根的有理函数的反变换的有理函数的反变换 欧拉欧拉(Euler)公式公式:思考：为何思考：为何 必为必为共轭复数共轭复数？知识回顾知识回顾2：进行拉普拉斯反变换的进行拉普拉斯反变换的留数法留数法 l 留数定义留数定义：l 拉氏反变换拉氏反变换：单位斜坡输入：单位斜坡输入：1.1.1.1.待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法时域响应：时域响应：2.2.2.2.留数法留数法留数法留数法如果如果 为为 的的 级极点，那么：级极点，那么：单位斜坡响应曲线单位斜坡响应曲线 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应是
17、一条由零开始逐渐变为等速是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入变化的曲线。稳态输出与输入同斜率同斜率，但滞后一个时间常数，但滞后一个时间常数 ，即存在跟踪误差，其数值，即存在跟踪误差，其数值与时间与时间 相等。相等。稳态误差稳态误差 ，初始斜率等于初始斜率等于0，稳，稳态输出斜率等于态输出斜率等于1。跟踪误差：跟踪误差：五、一阶系统的单位加速度响应五、一阶系统的单位加速度响应单位加速度输入：单位加速度输入：输出：输出：时域响应：时域响应：跟踪误差：跟踪误差：随时间的推移而随时间的推移而增长，直至无穷。因此，一阶系统增长，直至无穷。因此，一阶系统不能不能跟踪加速度函数。跟踪加速度函
18、数。一阶系统的典型响应与时间常数一阶系统的典型响应与时间常数 密切相关。只要时密切相关。只要时间常数间常数 小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。输输 入入 信信 号号输输 出出 信信 号号 线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性 一个输入信号一个输入信号导数导数的时域响应等于该输入信号时域响的时域响应等于该输入信号时域响应的应的导数；导数；一个输入信号一个输入信号积分积分的时域响应等于该输入信号的时域响
19、应等于该输入信号时域响应的时域响应的积分积分。基于上述性质，对线性定常系统只需讨论一种典型信基于上述性质，对线性定常系统只需讨论一种典型信号的响应，就可推知另一种信号的响应。号的响应，就可推知另一种信号的响应。解题关键解题关键解题关键解题关键化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。解：解：例例3-1：一阶系统的性能指标一阶系统的性能指标 某一阶系统如图某一阶系统如图,求调节时间求调节时间 ；若要求若要求 ,求反馈系数求反馈系数 。与标准形式对比得：与标准形式对比得：要求要求 ，即，即 ，由，由3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统：二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程
20、的控制系统。以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型可表示为二阶系统的数学模型可表示为:其中：其中：是时间常数，是时间常数，是阻尼比（相对阻尼系数），是阻尼比（相对阻尼系数），是是自然频率自然频率自然频率自然频率（无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率）。）。标准形式标准形式(单位负反馈单位负反馈)的二阶系统结构图如下：的二阶系统结构图如下：二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程：特征根特征根(二阶系统闭环极点二阶系统闭环极点)为：为：完全取决于完全取决于 两个参数。两个参数。阻尼振荡频率阻尼振荡频率 衰减系数衰减系数二、二阶系统的单位阶跃响应
21、二、二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入：单位阶跃输入：输出：输出：特征方程的根决定了系统响应的形式。特征方程的根决定了系统响应的形式。闭环极点分布闭环极点分布单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线此时，特征根为此时，特征根为一对纯虚根一对纯虚根：系统单位阶跃响应的系统单位阶跃响应的象函数象函数为：为：对上式求拉氏反变换，可得：对上式求拉氏反变换，可得：无阻尼无阻尼系统响应为无阻尼系统响应为无阻尼等幅振荡等幅振荡等幅振荡等幅振荡，其振荡频率为，其振荡频率为 。欠阻尼欠阻尼此时，系统的两个极点均为此时，系统的两个极点均为负实部的负实部的一对共轭复数极点一对共轭复数极点：系统单位阶跃响应的系统单位阶跃响应
22、的象函数象函数为为 ：利用下面两个公式：利用下面两个公式：对上式求拉氏反变换，可得：对上式求拉氏反变换，可得：由上式可见，二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由由上式可见，二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态稳态分量分量和和暂态分量暂态分量组成。组成。稳态部分等于稳态部分等于1 1，表明不存在稳态，表明不存在稳态误差；误差；暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率为：函数，其振荡频率为：显然，显然，阻尼振荡频率阻尼振荡频率 (特征根虚部特征根虚部)由由阻尼比阻尼比 和和自然频率自然频率 决定；决定；振幅衰减振幅衰减由由 (特特征根实部征根实
23、部)决定决定。称为称为阻尼角阻尼角。动态性能指标动态性能指标根据延迟时间的定义有：根据延迟时间的定义有：通过曲线拟合，可近似表示为：通过曲线拟合，可近似表示为：l 延迟时间延迟时间令：令：则有：则有：根据上升时间的定义，取根据上升时间的定义，取 ：式中：式中：可见，如欲减小可见，如欲减小 ，则当，则当 一定时，需增大一定时，需增大 ，反之，当反之，当 一定时，需减小一定时，需减小 。l 上升时间上升时间 l 峰值时间峰值时间令令 可得：可得：根据峰值时间的定义，取根据峰值时间的定义，取 ：可见，可见，与闭环极点虚部的数值成反比。与闭环极点虚部的数值成反比。l(最大最大)超调量超调量 可见，可见
24、，完全由完全由 决定，而与决定，而与 无关。无关。越小，越小，越大。越大。根据定义：根据定义：工程上通常用工程上通常用包络线包络线代替代替实际曲线来估算。如图，有：实际曲线来估算。如图，有：调节时间调节时间近似调节时间近似调节时间l 调节时间调节时间 当当 时，取时，取 代入代入 得：得：例例3-2：如图，要求系统具有如图，要求系统具有性能指标：性能指标：试确定系统参数试确定系统参数 和和 ，并计算单位阶跃响应的特征并计算单位阶跃响应的特征量量 和和 。解：解：由图可求得系统的闭环传递函数为：由图可求得系统的闭环传递函数为：式中：式中：由由 得：得：由由 得：得：临界阻尼临界阻尼此时，系统的两
25、个极点为此时，系统的两个极点为二重极点二重极点：系统单位阶跃响应的拉氏变换为系统单位阶跃响应的拉氏变换为：所以系统的单位阶跃响应为：所以系统的单位阶跃响应为：式中：式中：单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线(临界阻尼临界阻尼)在临界阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应随时间而在临界阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应随时间而单调增长单调增长，最后在，最后在 时趋于时趋于稳态值稳态值，最大超调量最大超调量是零是零。通常，临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响。通常，临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。应称为临界阻尼响应。过阻尼过阻尼此时，系统的两个极点均为此时，系统的两个极点均为负的负的实极点
26、：实极点：系统单位阶跃响应的象函数为：系统单位阶跃响应的象函数为：式中：式中：称为过阻尼称为过阻尼二阶系统的时间常数，且有二阶系统的时间常数，且有 。在过阻尼条件下，系统不产生振荡，所以无超调量和在过阻尼条件下，系统不产生振荡，所以无超调量和峰值时间指标。由于直接由响应式计算各指标很麻烦，一峰值时间指标。由于直接由响应式计算各指标很麻烦，一般都采用般都采用曲线拟合法曲线拟合法或或制成图表查找制成图表查找。动态性能指标动态性能指标l 调节时间调节时间：当当 时，时，当当 时，时，l 上升时间：上升时间：l 延迟时间：延迟时间：解：解：由图求得系统的闭环传递函数由图求得系统的闭环传递函数(标准形式
27、标准形式)：角度随动系统角度随动系统例例3-33-3：如图，已知如图，已知 ，要求系统要求系统无超调无超调且调节时间且调节时间 ，试确定参数，试确定参数 并并计算单位阶跃响应的特征量计算单位阶跃响应的特征量 和和 。要求系统要求系统无超调无超调，则，则 ，取，取 几种情况的单位阶跃响应几种情况的单位阶跃响应 负阻尼负阻尼此时，系统的两个极点均为此时，系统的两个极点均为正实部的正实部的一对共轭复数极点一对共轭复数极点：系统单位阶跃响应的系统单位阶跃响应的象函数象函数为为 ：A.发散正弦振荡，发散正弦振荡，不稳定。不稳定。B.此时，系统的两个极点均为此时，系统的两个极点均为正的正的实极点：实极点：
28、系统单位阶跃响应的象函数为：系统单位阶跃响应的象函数为：式中：式中：单调发散，单调发散，不稳定。不稳定。结论结论 二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性；决定了其振荡特性；时，阶跃响应发散，系统时，阶跃响应发散，系统不稳定不稳定；时，阶跃响应出现时，阶跃响应出现等幅振荡等幅振荡；时，时，有振荡有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快；愈小，振荡愈严重，但响应愈快；时，时，无振荡无振荡、无超调无超调、过渡过程长。、过渡过程长。一定时，一定时，越大，瞬态响应分量衰减越迅速，越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统系统 能够更快到达稳态值，响应的快速性越好；能够更快到达稳态值，响应的快速性越好；工
29、程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录 仪表系统等，仪表系统等，通常采用通常采用欠阻尼系统欠阻尼系统欠阻尼系统欠阻尼系统，且阻尼比通常选择，且阻尼比通常选择 在在 之间，以之间，以保证系统的快速性，同时又不至保证系统的快速性，同时又不至 于产生过大的振荡，于产生过大的振荡，为为最佳阻尼比最佳阻尼比，此时，此时，最小，最小，也不大。也不大。例例3-4：求开环传递函数求开环传递函数 设设单位单位反馈的反馈的二阶二阶系统的系统的单位阶跃响应单位阶跃响应曲线如图所示，曲线如图所示，试确定其试确定其开环传递函数开环传递函数。解：解：由图可知，由图可
30、知，由由 可得可得：由由 得：得：三、二阶系统的单位斜坡响应三、二阶系统的单位斜坡响应单位阶跃输入：单位阶跃输入：输出：输出：当当 时，有：时，有：误差为：误差为：比例比例-微分控制微分控制(PD(PD控制控制)右图给出了一个单位右图给出了一个单位反馈系统的阶跃响应、误反馈系统的阶跃响应、误差响应及误差导数曲线。差响应及误差导数曲线。由图中可看出：误差由图中可看出：误差为零时，误差变化最大；为零时，误差变化最大；误差最大时，误差变化为误差最大时，误差变化为零。这种现象导致了系统零。这种现象导致了系统的超调。的超调。结论：结论：应该将应该将误差变化误差变化用于控制。用于控制。四、二阶系统性能的改
31、善四、二阶系统性能的改善比例比例-微分控制微分控制的的传递函数传递函数:上升时间：上升时间：峰值时间：峰值时间：超调量：超调量：调节时间：调节时间：测速反馈控制测速反馈控制 对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，输出的变化也，输出的变化也反映了误差的变化，特别是在定值控制的时候，反映了误差的变化，特别是在定值控制的时候，因此用输出量的微分进行反馈与用误差的，因此用输出量的微分进行反馈与用误差的微分进行控制，有相似的效果。这就是微分进行控制，有相似的效果。这就是测速反馈控制测速反馈控制测速反馈控制测速反馈控制。测速反馈控制测速反馈控制的的传递函数传递函数:由传递函数可知，由传递函数可知，测速反馈控
32、制：测速反馈控制：l 在在不改变系统的自然频率不改变系统的自然频率的条件下，的条件下，增加了系统的阻尼增加了系统的阻尼。l 改变了系统的开环增益改变了系统的开环增益，会影响系统的稳态误差。，会影响系统的稳态误差。系统无零点，其阶跃响应与单位反馈系统相同。系统无零点，其阶跃响应与单位反馈系统相同。比例比例-微分控制微分控制与与测速反馈控制测速反馈控制的比较的比较 不改变系统的自然振荡频率。不改变系统的自然振荡频率。增加了系统的阻尼。增加了系统的阻尼。测速反馈改变了系统的开环增益，会影响稳态测速反馈改变了系统的开环增益，会影响稳态(速度速度)误差。而比例误差。而比例-微分控制保持系统的开环增益不变
33、。微分控制保持系统的开环增益不变。比例比例-微分控制，存在微分环节，对干扰信号有放大微分控制，存在微分环节，对干扰信号有放大 作用，受干扰影响增大。而测速反馈控制，直接测量作用，受干扰影响增大。而测速反馈控制，直接测量 输出的速度，无微分作用，不受干扰的影响。输出的速度，无微分作用，不受干扰的影响。五、二阶系统的单位脉冲响应五、二阶系统的单位脉冲响应 通过对系统单位阶跃响应通过对系统单位阶跃响应 求导求导，即可得到系统的，即可得到系统的单位脉冲响应单位脉冲响应 。当当 时：时：当当 时：时：当当 时：时：当当 时：时：3-4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析一、三阶系统的单位阶跃响应一、三
34、阶系统的单位阶跃响应三阶系统常见的闭环传递函数为：三阶系统常见的闭环传递函数为：在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶的，工在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶的，工程上常采用程上常采用闭环主导极点闭环主导极点闭环主导极点闭环主导极点的概念对高阶系统进行的概念对高阶系统进行近似近似分析。分析。在单位阶跃输入在单位阶跃输入 下，设下，设 ，可求得，可求得系统的响应为：系统的响应为：一阶因子引一阶因子引起的非周期起的非周期指数衰减指数衰减二阶因子引起二阶因子引起的阻尼振荡的阻尼振荡式中：式中：在二阶欠阻尼系统的基础上，增加一个在二阶欠阻尼系统的基础上，增加一个实极点实极点，成，成为三阶系统，
35、将使系统的单位阶跃为三阶系统，将使系统的单位阶跃响应变慢，响应变慢，超调量减超调量减小，上升时间增大，峰值时间增大。小，上升时间增大，峰值时间增大。当当 时时，系统的响应即为二阶系统响应曲线。，系统的响应即为二阶系统响应曲线。当当 ，即，即 时：时：实数极点实数极点 距离虚轴远，距离虚轴远，共轭复数极点共轭复数极点 距离虚轴距离虚轴近近系统特性主要取决于系统特性主要取决于 系统呈二阶系统特性系统呈二阶系统特性当当 ，即，即 时：时：实数极点实数极点 距离虚轴距离虚轴近近，共轭复数极点共轭复数极点 距离虚轴远距离虚轴远系统特性主要取决于系统特性主要取决于 系统呈一阶系统特性系统呈一阶系统特性二、
36、高阶系统的单位阶跃响应二、高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的传递函数一般可以写成为：高阶系统的传递函数一般可以写成为：在实际控制系统中，所有的闭环零点、极点一般互不在实际控制系统中，所有的闭环零点、极点一般互不相同，且极点中只有实数极点和复数极点。因此：相同，且极点中只有实数极点和复数极点。因此：式中：式中：在在 处的留数处的留数 是与是与 在闭环复数极点在闭环复数极点 处的留数有关的处的留数有关的常系数常系数。在零初始条件下有：在零初始条件下有：结论结论结论结论 闭环系统的时域响应，不仅与极点有关，还与零点有关，闭环系统的时域响应，不仅与极点有关，还与零点有关，因为零点影响各模态的系数。因为零
37、点影响各模态的系数。高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统暂态响应的合成，高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统暂态响应的合成，其各分量的衰减快慢由指数衰减系数其各分量的衰减快慢由指数衰减系数 及及 决定，闭决定，闭 环极点负实部的绝对值越大环极点负实部的绝对值越大(极点在极点在 平面左半部距离虚平面左半部距离虚 轴越远轴越远)，相应模态衰减得越快，反之越慢。，相应模态衰减得越快，反之越慢。若闭环极点都具有负的实部，则闭环系统稳定。若闭环极点都具有负的实部，则闭环系统稳定。三、闭环主导极点三、闭环主导极点 如果在所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点周围如果在所有的闭环极点中，距离虚轴最近的极点周围没有
38、闭环零点，而其它闭环极点又均远离虚轴，那么距离没有闭环零点，而其它闭环极点又均远离虚轴，那么距离虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在时间响应中起主导作用，这样的闭环极点就称减缓慢，在时间响应中起主导作用，这样的闭环极点就称为为闭环主导极点闭环主导极点(常为共轭复数极点常为共轭复数极点)。工程上，当工程上，当非主导极点实部的模非主导极点实部的模比主导极点实部的模比主导极点实部的模大大三倍以上三倍以上时，可以用主导极点求近似的阶跃响应。时，可以用主导极点求近似的阶跃响应。(设设 )四、高阶系统的动态性能估算四、高阶系统的动态
39、性能估算设设 ，则：，则：l 峰值时间峰值时间由由 可得：可得：即：即：结论结论结论结论u 闭环闭环零点零点的作用是的作用是减少峰值时间，响应加快减少峰值时间，响应加快，越靠近，越靠近 虚轴，作用越明显；虚轴，作用越明显；u 非主导极点的作用与零点相反；非主导极点的作用与零点相反；u 闭环传递函数中，如果负实部的零极点数值上相近，闭环传递函数中，如果负实部的零极点数值上相近，则则 可将该零点和极点一起相消，称之为可将该零点和极点一起相消，称之为偶极子偶极子。此时闭环。此时闭环 零、极点作用相互抵消而消弱。零、极点作用相互抵消而消弱。l 超调量超调量当当 时，时，结论结论结论结论u 若若 ，即闭
40、环零点离虚轴较近时，即闭环零点离虚轴较近时，所以零点会减小系统的阻尼所以零点会减小系统的阻尼(响应变快响应变快)；u 若若 ，即闭环非主导极点靠近虚轴，即闭环非主导极点靠近虚轴，所以非主导极点将增大系统的阻尼所以非主导极点将增大系统的阻尼(响应变慢响应变慢)。l 调节时间调节时间采用包络线法求调节时间采用包络线法求调节时间 结论结论结论结论u 闭环非主导极点靠近虚轴闭环非主导极点靠近虚轴u 闭环零点靠近虚轴闭环零点靠近虚轴3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析一、稳定的基本概念一、稳定的基本概念l 平衡状态稳定性：平衡状态稳定性：如果处于某一平衡状态的线性定常系统，如果处于某一平衡状
41、态的线性定常系统，在干扰作用下，偏离了原来的平衡状态，而当干扰作用取在干扰作用下，偏离了原来的平衡状态，而当干扰作用取 消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统 是是稳定稳定的。否则，称这个系统是的。否则，称这个系统是不稳定不稳定的。的。稳定稳定平衡点平衡点不稳定不稳定平衡点平衡点平衡点：平衡点：描述系统的微分方程，在输入为零时，满足各阶导描述系统的微分方程，在输入为零时，满足各阶导 数项为零的点，即：数项为零的点，即：n 线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性仅取决于系统本身的结构和参数仅取决于系统本身的结构和参数，是系统自身的是
42、系统自身的固有特性固有特性，而与，而与外界条件无关外界条件无关外界条件无关外界条件无关。n 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定自由振荡下的稳定 性性，也就是说，是讨论，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在初始偏差不输入为零，系统仅存在初始偏差不 为零时的稳定性为零时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。l 李亚普诺夫稳定定义：李亚普诺夫稳定定义：如果一个关于如果一个关于 的微分方程组在初的微分方程组在初 始条件始条件 下有解下有解 ，且对于任意给定正数，且对于任意给定正数 ，总存在一个正数总存在一个正数
43、 ，当初始条件当初始条件 变为变为 时，只要时，只要 ，其相应解，其相应解 在在 的任意时刻都满足的任意时刻都满足 ，则，则 是是稳定的稳定的。若不存在。若不存在 则则不稳定不稳定。李亚普诺夫定义，不要求系统最终恢复到原来的平衡李亚普诺夫定义，不要求系统最终恢复到原来的平衡状态，而只要回到该平衡状态的某一允许的区域内。状态，而只要回到该平衡状态的某一允许的区域内。l 大范围稳定：大范围稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取 消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。大范围稳定大范围稳定 对于对于线性线性系统，如果在小
44、范围内是稳定的，则它一定系统，如果在小范围内是稳定的，则它一定也是在大范围内稳定的。而对于也是在大范围内稳定的。而对于非线性非线性系统，在小范围内系统，在小范围内稳定，在大范围内就不一定是稳定的。稳定，在大范围内就不一定是稳定的。l 渐进稳定：渐进稳定：如果平衡状态如果平衡状态 是稳定的，而且当是稳定的，而且当 时，时，这种平衡状态就进一步称为，这种平衡状态就进一步称为渐进渐进 稳定稳定的。的。l 临界稳定：临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态 间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系 统处于统处于临
45、界稳定状态临界稳定状态。注意：注意：在经典控制理论中，临界稳定也视为在经典控制理论中，临界稳定也视为不稳定不稳定。分析时依赖的模型通常是简化或线性化；分析时依赖的模型通常是简化或线性化；实际系统参数的时变特性；实际系统参数的时变特性；系统必须具备一定的稳定裕量。系统必须具备一定的稳定裕量。原因：原因：稳定稳定不稳定不稳定临界稳定临界稳定二、线性定常系统稳定的充分必要条件二、线性定常系统稳定的充分必要条件零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应取拉氏变换得：取拉氏变换得：对对零输入响应零输入响应做拉氏反变换得：做拉氏反变换得：式中：式中：是特征方程是特征方程 的根。的根。若若 ，则系统是，则系统
46、是稳定的稳定的。若。若 则系统则系统 衰减是振荡的；若衰减是振荡的；若 则系统衰减是不振荡的。则系统衰减是不振荡的。中只要有一个是中只要有一个是 的，则系统是的，则系统是不稳定不稳定的。的。零输入，零状态的稳定条件是一样的。零输入，零状态的稳定条件是一样的。中有一个中有一个 ，其余，其余 ，系统不能恢复到原平，系统不能恢复到原平 衡状态，李亚普诺夫定义是稳定的，但经典控制理论中视衡状态，李亚普诺夫定义是稳定的，但经典控制理论中视 为不稳定的。为不稳定的。系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：闭环系统的特征根都具有负实部。闭环系统的特征根都具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均或者说
47、，闭环传递函数的极点均严格严格位于左半位于左半 平面。平面。三、劳斯三、劳斯赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据(代数稳定判据代数稳定判据)对于高阶系统，我们一般难以求得其全部闭环极点，对于高阶系统，我们一般难以求得其全部闭环极点，因而不能直接利用稳定性的充要条件来判别系统的稳定因而不能直接利用稳定性的充要条件来判别系统的稳定性。于是人们就探索能否不求出极点，利用间接方法来性。于是人们就探索能否不求出极点，利用间接方法来判断系统的稳定性呢？判断系统的稳定性呢？为避开对特征方程的直接求解，为避开对特征方程的直接求解，18771877年，由年，由E.J.Routh提出了劳斯稳定性判据，提出了劳斯稳定性
48、判据，18951895年，年，A.Hurwitz 提出了赫尔提出了赫尔维茨稳定性判据。维茨稳定性判据。1.1.劳斯判据劳斯判据 把系统的特征方程写成标准形式：把系统的特征方程写成标准形式：列出劳斯表：列出劳斯表：其中：其中：系数系数 的计算一直进行到其的计算一直进行到其余的余的 值全部等于零为止。值全部等于零为止。l 劳斯列表每一列最后一个非零元素都是常数项。劳斯列表每一列最后一个非零元素都是常数项。l 劳斯列表最后两行都只有劳斯列表最后两行都只有一个一个元素。元素。l 每个偶数行的最后元素都是常数项。每个偶数行的最后元素都是常数项。l 计算劳斯列表时，为了简化其后的数值计算，可用一计算劳斯列
49、表时，为了简化其后的数值计算，可用一 正数正数正数正数去除或乘某一整行，这时，并不改变稳定性结论。去除或乘某一整行，这时，并不改变稳定性结论。判断。判断。根据劳斯判据，线性系统稳定的根据劳斯判据，线性系统稳定的充分且必要条件充分且必要条件是：是：特征方程的各项系数全部为正值特征方程的各项系数全部为正值(必要条件必要条件)，并且劳斯表并且劳斯表 中第一列所有项均中第一列所有项均严格严格严格严格为正。为正。若劳斯表第一列中出现若劳斯表第一列中出现小于小于 或或等于零等于零等于零等于零的数值，系统就的数值，系统就不稳定不稳定，且第一列各系数，且第一列各系数符号的符号的 改变次数改变次数，代表特征方程
50、的，代表特征方程的正实部根的数目正实部根的数目。例例3-5：已知系统的闭环特征方程为：已知系统的闭环特征方程为：，试用劳斯判据，试用劳斯判据 判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。解：解：(同行各元素乘以同行各元素乘以2)(同行各元素乘以同行各元素乘以9)结论：结论：第一列各数值的符号改变两次第一列各数值的符号改变两次 ，因此，系统有两个正实部的极点，系统因此，系统有两个正实部的极点，系统不稳定不稳定。特殊情况特殊情况1：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各 元素不为零或不全为零。元素不为零或不全为零。系统均不稳定系统均不稳定方法一：用一个有限小的数值方法