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1、空间点直线平面之间的位置关空间点直线平面之间的位置关系系本讲稿第一页，共六十三页主要内容2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.1 平面2.1.4空间中平面与平面之间的位置关系本讲稿第二页，共六十三页2.1.1平 面本讲稿第三页，共六十三页构成图形的基本元素构成图形的基本元素AABBCCDDA AB BC CD D点、线、面点无大小线无粗细面无厚薄本讲稿第四页，共六十三页点点直线直线平面平面可无限延伸的平面是可无限延展的本讲稿第五页，共六十三页平面的表示平面的画法平面的画法 一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一,在画立体图时，为了增强立体
2、感，常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.图一图二本讲稿第六页，共六十三页平面的符号表示平面的符号表示1.1.希腊字母：希腊字母：平面平面，平面平面，平面，平面 2.2.一个或几个拉丁字母：一个或几个拉丁字母：平面平面M M，平面平面ACAC，平面平面ABCDABCD等等ABCD平面的表示平面的表示本讲稿第七页，共六十三页平面的表示平面的表示两个相交平面的画法和表示两个相交平面的画法和表示平面和平面相交于一条直线a被遮住的部分画虚线aa平面平面=直线a本讲稿第八页，共六十三页平面的表示直线和平面都可以看成点的集合“点P在直线l上”,“点A在平面内”用集合符号表
3、示用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面点与直线、点与平面、直线与平面的关系的关系“点P在直线l 外”,“点A在平面外”直线直线 l 在平面在平面内，或者说平面内，或者说平面经过直线经过直线 l直线直线 l 在平面在平面外外.本讲稿第九页，共六十三页平面的基本性质AB 公理公理1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内那么这条直线在此平面内.思考思考1 1：如何让一条直线在一个平面内？：如何让一条直线在一个平面内？作用作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据：为判断直线与平面的位置关系提供依据集合符号表示集合符号表示平面经过这条直线
4、本讲稿第十页，共六十三页平面的基本性质 公理公理2 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面.思考思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？几个点可以确定一个平面呢？作用作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内：判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示集合符号表示A AB BC C“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面”已知已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面三点不共线，则存在惟一平面，使得，使得A、B、C本讲稿第十一页，共六十三页平面的基本性质平面的基本性质 思考思考3
5、3：如果两个平面有一个公共点，那么还：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？特征？公理公理3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线们有且只有一条过该点的公共直线.P P 作用：判断两个平面位置作用：判断两个平面位置关系的基本依据关系的基本依据本讲稿第十二页，共六十三页例题 例例1 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系间的位置关系.A B a a l (1)a a b b P
6、P l (2)解：1）A，B，=l，a=A，a=B2)a,b,=l,al=P,bl=P,ab=P本讲稿第十三页，共六十三页 例2：已知直线a，和点P，Pa，求证经过点P和直线a有且只有一个平面.Pa本讲稿第十四页，共六十三页探究问题根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性.根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.本讲稿第十五页，共六十三页小结小结 1.1.平面的表示平面的表示：概念、图形、符号等：概念、图形、符号等 2.2.平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1 1 公理公理2 2 公理公理3 3 3.3.判断共面的方法判断共面的方法本
7、讲稿第十六页，共六十三页作业P43 练习1,2,34P51 习题A组 1，2本讲稿第十七页，共六十三页2.1.2空间中直线与直线空间中直线与直线之间的位置关系之间的位置关系本讲稿第十八页，共六十三页两条直线的位置关系两条直线的位置关系思考思考1 1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？中的两条直线呢？C本讲稿第十九页，共六十三页 1 1）教室内）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？直线的位置关系如何？2 2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在）天安门广场上，旗杆所在直线与长安
8、街所在直线的位置关系如何？直线的位置关系如何？本讲稿第二十页，共六十三页两条直线的位置关系两条直线的位置关系 如图如图,长方体长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，线段中，线段ABAB所在直线分别与线段所在直线分别与线段CDCD所在直线，线段所在直线，线段BCBC所在直所在直线，线段线，线段CDCD所在直线的位置关系如何所在直线的位置关系如何?CBCADBAD观察观察本讲稿第二十一页，共六十三页两条直线的位置关系 定义定义定义定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线异面直线.baab异面直线的图示本讲稿第二十二页，共六十三页两条直线的位置关系两
9、条直线的位置关系A.A.空间中既不平行又不相交的两条直线；空间中既不平行又不相交的两条直线；B.B.平面内的一条直线和这平面外的一条直线；平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C.C.分别在不同平面内的两条直线；分别在不同平面内的两条直线；D.D.不在同一个平面内的两条直线；不在同一个平面内的两条直线；E.E.不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线.关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？问题本讲稿第二十三页，共六十三页两条直线的位置关系两条直线的位置关系空间中的直线与直线之间有三种位置关系：空间中的直线与直线之间有三种位
10、置关系：相交直线相交直线:平行直线平行直线:共面直线共面直线异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点 同一平面内，有且只有一个公同一平面内，有且只有一个公共点；共点；同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点；本讲稿第二十四页，共六十三页 如图是一个正方体的表面展开图如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方如果将它还原为正方体，那么体，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH这四条线段所在直线是异面直线的这四条线段所在直线是异面直线的有多少对有多少对?探究探究FAHGEDCBCDBAEFGH直线直线EF EF 和直线和直线HGHG直线直
11、线AB AB 和直线和直线CDCD直线直线AB AB 和直线和直线HGHG答：答：3 3对对本讲稿第二十五页，共六十三页平行直线平行直线 如图如图,在长方体在长方体ABCDABCDABCDABCD中中,BBAABBAA，DDAADDAA，那么，那么BBBB与与DDDD平行吗平行吗?CBCADBAD观察观察答：平行答：平行本讲稿第二十六页，共六十三页平行直线 公理公理4 4 平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行.空间中的平行线具有传递性空间中的平行线具有传递性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不
12、共面本讲稿第二十七页，共六十三页平行直线平行直线 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？AFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面问题问题本讲稿第二十八页，共六十三页平行直线 例例2 2 如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F，G G，H H分别是分别是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.FGDAEBCH所以 ，且，且同理 ，且，且因为 ，且，且所以所以 四边形四边形EFGH EFGH 是平行四边形是
13、平行四边形证明：连接证明：连接BDBD，因为 EHEH是是 的中位线，的中位线，本讲稿第二十九页，共六十三页 在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？探究探究答：四边形EFGH是菱形FGDAEBCH本讲稿第三十页，共六十三页观察下图中的观察下图中的AOB与与AOB.等角定理问题问题1 1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系问题问题2 2：测量一下，这两个角的大小关系如何？：测量一下，这两个角的大小关系如何？本讲稿第三十一页，共六十三页 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相
14、等或互补”空间中，结论是否仍然成立？思考1本讲稿第三十二页，共六十三页 如图如图,四棱柱四棱柱ABCD-ABCDABCD-ABCD的底面是平行四边的底面是平行四边形，形，ADCADC与与ADC,ADCADC,ADC与与BADBAD的两边分的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何别对应平行，这两组角的大小关系如何?思考思考2:2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC=ADCADC+BAD=180ADC+BAD=1800 0本讲稿第三十三页，共六十三页 如图，在空间中AB/AB，AC/AC，你能证明BAC与BAC 相等吗？思考思考3 3BCABCAEEDD本讲稿第三十四页，共六十
15、三页等角定理 定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且平行且方向相同方向相同，那么这两个角相等，那么这两个角相等.本讲稿第三十五页，共六十三页异面直线所成的角a ab b思考思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？a ab b平面内两条相交直线空间中两条异面直线本讲稿第三十六页，共六十三页O O 已知两条异面直
16、线已知两条异面直线a a，b b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作直线作直线 ，把，把 与与 所成的锐角（或直角）叫做所成的锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a a与与b b所成所成的角的角O O本讲稿第三十七页，共六十三页异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？如果两条异面直线所成角为如果两条异面直线所成角为90900 0，那么这两条直线，那么这两条直线垂直垂直.探究记直线记直线a a垂直于垂直于b b为：为：a a b b本讲稿第三十八页，共六十三页异面直线所成的角异面直线所成的角探究 （1）在长方体）在长方体 中，有没有两条棱所在
17、的中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？直线是相互垂直的异面直线？（2）如果两条平行直线中的一条）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？直线是否也与这条直线垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如：如：等等垂直垂直不一定，如上图的立方体中不一定，如上图的立方体中直线直线AB与与BC相交，相交，本讲稿第三十九页，共六十三页异面直线所成的角异面直线所成的角 例例3 3 已知正方体已知正方体 （1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？是异面直线？（
18、2 2）直线）直线 和和 的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线 垂直？垂直？本讲稿第四十页，共六十三页 在如图所示的长方体中，在如图所示的长方体中，AB=AB=，且，且AAAA1 1=1=1，求直线，求直线BABA1 1和和CDCD所成角的度数所成角的度数.30O练习练习1 1本讲稿第四十一页，共六十三页 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=2，,求异面直线AB和CD所成的角.FAEDCB练习练习2 2G本讲稿第四十二页，共六十三页 n直线相交最多有几个交点？直线相交最多有几个交点？练习练习3 3本讲稿
19、第四十三页，共六十三页本节小结（1）空间直线的三种位置关系（2）平行线的传递性（3）等角定理（4）异面直线所成的角基本知识基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.本讲稿第四十四页，共六十三页作业作业P48 练习1，2P51-52习题2.1 A组 3，4(1)(2)(3)(6)，5，6，B组1本讲稿第四十五页，共六十三页2.1.3空间中直线与平面之间的空间中直线与平面之间的位置关系位置关系本讲稿第四十六页，共六十三页主要内容主要内容 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面平行直线与平面平行本讲稿第四十七页，共六十三页直线
20、与平面思考？思考？1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？2）如图，线段AB所在直线与长方体ABCD-ABCD的六个面所在平面有几种位置关系？CBCADBAD本讲稿第四十八页，共六十三页直线与平面直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内 有无数个公共点a记为：a本讲稿第四十九页，共六十三页直线与平面(2)直线与平面相交直线与平面相交有且只有一个公共点有且只有一个公共点a记为：a=AA本讲稿第五十页，共六十三页直线与平面（3）直线与平面平行没有公共点a记为：a/本讲稿第五十一页，共六十三页直线与平面直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外记为：aaa a/aa
21、=AA或或本讲稿第五十二页，共六十三页直线与平面 例1.下列命题中正确的个数是 ()1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l/2)若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一条直线都没有公共点.(A）0 (B)1 (C)2 (D)3B本讲稿第五十三页，共六十三页主要内容主要内容 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面平行直线与平面平行本讲稿第五十四页，共六十三页作业P49 练习P51-5
22、3 习题2.1A组 4(4)(5)B 2，3 本讲稿第五十五页，共六十三页平面与平面之间的位置关系2.1.4本讲稿第五十六页，共六十三页平面与平面之间的位置关系思考思考（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？（2）如图，围成长方体ABCD-ABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？CBCADBAD本讲稿第五十七页，共六十三页两个平面的位置关系两个平面的位置关系两个平面的位置关系有且只有有且只有两种两种 两个平面平行两个平面平行没有公共点没有公共点 两个平面相交两个平面相交有一条公共直线有一条公共直线分类的依据是什么？分类的依据是什么？公理公理3 3 如
23、果两个不重合的平面有一个公共点，那如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线么它们有且只有一条过该点的公共直线.本讲稿第五十八页，共六十三页两个平面平行或相交的两个平面平行或相交的画法及表示画法及表示/m=m本讲稿第五十九页，共六十三页 已知平面 ，直线a、b，且/，a，b，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？探究探究1 1ab答：平行或异面答：平行或异面本讲稿第六十页，共六十三页探究探究2 2a ab bl lb ba al l相交于一条交线相交于一条交线三条交线三条交线三条交线三条交线 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.本讲稿第六十一页，共六十三页一个平面可以把空间分成几个部分？两个平面可以把空间分成几个部分？三个平面可以把空间分成几个部分？探究探究3 3本讲稿第六十二页，共六十三页小结小结 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 平面与平面相交 平面与平面平行本讲稿第六十三页，共六十三页