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1、离子晶体的长波本讲稿第一页，共三十二页一、离子晶体简述一、离子晶体简述 （introduction of ionic crystal）定义定义:离子间通过离子键结合而成的晶体；离子间通过离子键结合而成的晶体；（1）结构微粒：阴、阳离子；）结构微粒：阴、阳离子；（2）相互作用：离子键）相互作用：离子键;由正、负离子或正、负离子集团按一定比例组成的晶体称作离子晶体。离子晶由正、负离子或正、负离子集团按一定比例组成的晶体称作离子晶体。离子晶体体中正中正、负离子或离子集团在空间排列上具有交替相间的结构特征，离子间的、负离子或离子集团在空间排列上具有交替相间的结构特征，离子间的相互作用以库仑静电作用为主
2、导。相互作用以库仑静电作用为主导。本讲稿第二页，共三十二页 由正、负离子或正、负离子集团按一定比例组成的晶体由正、负离子或正、负离子集团按一定比例组成的晶体称作离子晶体。离子晶体中正、负离子或离子集团在空间排称作离子晶体。离子晶体中正、负离子或离子集团在空间排列上具有交替相间的结构特征，离子间的相互作用以库仑静列上具有交替相间的结构特征，离子间的相互作用以库仑静电作用为主导。电作用为主导。离子晶体整体上的电中性，决定了晶体中各类正离子带电离子晶体整体上的电中性，决定了晶体中各类正离子带电量总和与负离子带电量总和的绝对值相当，并导致晶体中正、量总和与负离子带电量总和的绝对值相当，并导致晶体中正、
3、负离子的组成比和电价比等结构因素间有重要的制约关系。负离子的组成比和电价比等结构因素间有重要的制约关系。离子晶体有二元离子晶体、多元离子晶体与有机离子晶体等离子晶体有二元离子晶体、多元离子晶体与有机离子晶体等类别。几乎所有的盐类和很多金属氧化物晶体都属离子晶体，类别。几乎所有的盐类和很多金属氧化物晶体都属离子晶体，例如食盐、氟化钙、二氧化钡等。例如食盐、氟化钙、二氧化钡等。性质性质:本讲稿第三页，共三十二页 离离子子晶晶体体在在做做长长光光学学波波振振动动时时，由由于于原原胞胞内内正正负负离离子子作作相相对对运运动动，因因而而产产生生宏宏观观极极化化（出出现现宏宏观观电电偶偶极极矩矩），从从而
4、而可可以以和和电电磁磁波波发发生生强强烈相互作用。所以烈相互作用。所以长光学波与离子晶体的电学、光学性质密切相关。长光学波与离子晶体的电学、光学性质密切相关。对于长声学波：可以看作连续介质弹性波，它满足在弹性理论基对于长声学波：可以看作连续介质弹性波，它满足在弹性理论基础上建立的宏观运动方程，因此由宏观弹性介质理论即可得到长声学础上建立的宏观运动方程，因此由宏观弹性介质理论即可得到长声学格波解。格波解。对于长光学波：也可以在宏观理论的基础上进行近似处理，这就对于长光学波：也可以在宏观理论的基础上进行近似处理，这就是我国著名的物理学家黄昆于是我国著名的物理学家黄昆于19511951年提出的方法。
5、年提出的方法。本节的基本思路是：本节的基本思路是：先建立长光学波的宏观运动方程，确定其系先建立长光学波的宏观运动方程，确定其系数；给出长光学波的纵波频率和横波频率之间的关系；最后介绍数；给出长光学波的纵波频率和横波频率之间的关系；最后介绍离子晶体的光学性质以及极化激元的概念。离子晶体的光学性质以及极化激元的概念。本讲稿第四页，共三十二页 离子晶体的光学波描述原离子晶体的光学波描述原胞中正负离子的相对运动。胞中正负离子的相对运动。在波长较长时，半个波长的在波长较长时，半个波长的范围内包含很多原胞。在两范围内包含很多原胞。在两个波节之间，同种离子的位个波节之间，同种离子的位移方向相同异种离子位移方
6、移方向相同异种离子位移方向相反，而波节两边，同种向相反，而波节两边，同种离子位移方向相反。这样波离子位移方向相反。这样波节面将晶体分成许多个薄层，节面将晶体分成许多个薄层，在每个薄层里正负离于位移在每个薄层里正负离于位移相反，每个薄层里产生退极相反，每个薄层里产生退极化场，整个晶体被分层极化，化场，整个晶体被分层极化，所以离子晶体的光学波又称所以离子晶体的光学波又称为极化波。为极化波。本讲稿第五页，共三十二页二、二、长光学波的宏观运动方程长光学波的宏观运动方程 (macroscopic equation of long optic wave)(macroscopic equation of l
7、ong optic wave)1 1、长光学晶格振动产生的内场长光学晶格振动产生的内场 长光学波相邻的不同离子振动方向相反，设正、负离长光学波相邻的不同离子振动方向相反，设正、负离子之间的相对位移为子之间的相对位移为 ，产生的极化强度矢量为，产生的极化强度矢量为其中其中 是离子的有效电荷，是离子的有效电荷，是原胞体积。因为极化强是原胞体积。因为极化强度与相对位移有关，所以它将以格波的频率度与相对位移有关，所以它将以格波的频率 和波矢和波矢 为周为周期变化，产生极化波期变化，产生极化波本讲稿第六页，共三十二页极化产生的宏观内场可以由电动力学得出：极化产生的宏观内场可以由电动力学得出：其中其中和和
8、是真空中的光速和介电常数。是真空中的光速和介电常数。对于对于纵模纵模，极化强度矢量，极化强度矢量与波矢与波矢的方向平行，的方向平行，内场的方向与波矢的方向平行，即纵模产生的内场是纵向的，内场的方向与波矢的方向平行，即纵模产生的内场是纵向的，是没有磁场伴随的无旋场，与静电场类似。是没有磁场伴随的无旋场，与静电场类似。本讲稿第七页，共三十二页对于对于横模横模，极化强度矢量，极化强度矢量与波矢与波矢的方向垂直，的方向垂直，内场的方向与波矢的方向垂直，即横模产生的内场是横波，是一种内场的方向与波矢的方向垂直，即横模产生的内场是横波，是一种有电磁场相伴的有旋场。有电磁场相伴的有旋场。由于有这种电磁场的存
9、在，晶格振动的横模和外电磁场之由于有这种电磁场的存在，晶格振动的横模和外电磁场之间会发生强耦合，影响电磁波在晶体中传播的性质。当电磁间会发生强耦合，影响电磁波在晶体中传播的性质。当电磁波的频率和波矢与横光学波振动频率和波矢相等，即时，发波的频率和波矢与横光学波振动频率和波矢相等，即时，发生共振，耦合最为强烈。生共振，耦合最为强烈。本讲稿第八页，共三十二页2、方程的建立、方程的建立 长光学波与长声学波不同，相邻的不同离子振动方向相反，即正、负长光学波与长声学波不同，相邻的不同离子振动方向相反，即正、负离子之间做相对运动；在离子之间做相对运动；在q0时，则是正、负离子组成的两个格子之间的相时，则是
10、正、负离子组成的两个格子之间的相对振动，振动中保持它们的质心不变。对振动，振动中保持它们的质心不变。限定晶体为双离子晶体，并且晶体是各向同性的。限定晶体为双离子晶体，并且晶体是各向同性的。用一个反映正负离子相对位移的矢量用一个反映正负离子相对位移的矢量（称为折合位移）（称为折合位移）来描述长光学波振动来描述长光学波振动（1）其中其中是约化质量（折合质量）；是约化质量（折合质量）；为原胞体积；为原胞体积；为正负离子的位移。为正负离子的位移。本讲稿第九页，共三十二页选择选择作为宏观量后，黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：作为宏观量后，黄昆建立了一对方程，称为黄昆方程：（2）（3）这里这里 是宏观极
11、化强度，是宏观极化强度，是宏观电场强度。其中，方程（是宏观电场强度。其中，方程（2）是决）是决定离子相对振动的动力学方程，称为定离子相对振动的动力学方程，称为振动方程振动方程(vibration equation)；方程（方程（3）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，称为称为极化方程极化方程(polarization equation)。这两个方程中系数并不都是无关的，可以证。这两个方程中系数并不都是无关的，可以证明明b12b21。下面结合具体的微观模型，给出各个系数的表示式。下面结合具体的微
12、观模型，给出各个系数的表示式。本讲稿第十页，共三十二页3 3、系数的确定、系数的确定 (1)(1)静电场情况下，晶体的介电极化静电场情况下，晶体的介电极化在恒定的静电场下，正负离子将发生相对位移在恒定的静电场下，正负离子将发生相对位移令（令（2 2）式中的）式中的，就得到，就得到再代入到（再代入到（3 3）式中，得）式中，得（4）由静电学知由静电学知或或（5）其中其中0为真空中的介电常数，为真空中的介电常数，（0）为静电介电常数。）为静电介电常数。比较（比较（4 4）（）（5 5）两式，得）两式，得（6）本讲稿第十一页，共三十二页(2)(2)高频电场情况下的介电极化高频电场情况下的介电极化 如
13、果电场的频率远高于晶格振动频率，晶格的位移远跟不上电场如果电场的频率远高于晶格振动频率，晶格的位移远跟不上电场的变化，有的变化，有,则由（则由（4 4）式得到）式得到 与介电常数的的定义与介电常数的的定义相比较，相比较，得到得到（7）其中其中（）是高频介电常数。）是高频介电常数。将（将（7 7）式代入（）式代入（6 6）式得）式得（8）本讲稿第十二页，共三十二页且对于长光学振动，有且对于长光学振动，有0是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到是横光学波的频率，可以从晶体的红外吸收谱测量中得到.为准弹性力，为准弹性力，b11相当于（相当于（02）（其实（其实由上面的讨论，我们得到由上面
14、的讨论，我们得到（9）这就求出了方程中的各个系数的表示式这就求出了方程中的各个系数的表示式.本讲稿第十三页，共三十二页 三三、长光学波的横波频率长光学波的横波频率TO与纵波频率与纵波频率LO（LST关系）关系）（transverse and longitudinal frequency of long optic wave）对于有带电粒子的晶格振动，在求解其振动情况时，必须考虑它对于有带电粒子的晶格振动，在求解其振动情况时，必须考虑它们之间的电磁相互作用；而且往往只限于计算它们之间的库仑作用。们之间的电磁相互作用；而且往往只限于计算它们之间的库仑作用。对于长光学波，可以用上面介绍的宏观运动方程
15、求其晶格振动。只对于长光学波，可以用上面介绍的宏观运动方程求其晶格振动。只须把静电学方程与黄昆方程中的极化方程结合起来，就相当于考虑了离须把静电学方程与黄昆方程中的极化方程结合起来，就相当于考虑了离子晶体中带电粒子之间的库仑作用。子晶体中带电粒子之间的库仑作用。求解长光学波的横波与纵波频率，就以此为基础。求解长光学波的横波与纵波频率，就以此为基础。本讲稿第十四页，共三十二页1 1、横波和纵波满足的方程、横波和纵波满足的方程长光学波有横波和纵波，其相对位移分别用长光学波有横波和纵波，其相对位移分别用和和表示表示而横向位移散度为零，纵向位移旋度为零而横向位移散度为零，纵向位移旋度为零，即，即则则（
16、10）（11）又电场满足静电方程又电场满足静电方程（12）（13）对（对（2 2）式取旋度，有）式取旋度，有本讲稿第十五页，共三十二页利用（利用（1313）式，即有）式，即有再利用（再利用（1111）式，则有）式，则有（14）这是横波满足的方程。这是横波满足的方程。再对（再对（2 2）式取散度，并利用（）式取散度，并利用（1010）和（）和（1212）式，得）式，得（15）对（对（3 3）式取散度有，）式取散度有，即即本讲稿第十六页，共三十二页注意到（注意到（1010）式，则有）式，则有 因而因而代入（代入（1515）式，得）式，得（16）这是纵波满足的方程。这是纵波满足的方程。2 2、横波与
17、纵波的频率比、横波与纵波的频率比 由（由（1414）式可知，横波频率为）式可知，横波频率为（17）本讲稿第十七页，共三十二页前面已经证明了前面已经证明了以及以及而且而且代入（代入（1616）式有）式有所以所以因此有因此有（18）这被称作为这被称作为LST（Lyddano-Sachs-Teller）关系）关系，是一个很重要的结果，是一个很重要的结果.本讲稿第十八页，共三十二页由由LST关系，有以下结论：关系，有以下结论：（1）由于静电介电常数由于静电介电常数（0）一般总是大于高频介电常数）一般总是大于高频介电常数（），所以，长光），所以，长光学纵波的频率学纵波的频率LO总是大于长光学横波的频率总
18、是大于长光学横波的频率TO。这是因为在离子性晶体中长光学波产生极化电场，增加了纵波的恢复力，从这是因为在离子性晶体中长光学波产生极化电场，增加了纵波的恢复力，从而提高了纵波的频率。极化电场的大小与正负离子的有效电荷有关。一般地，有而提高了纵波的频率。极化电场的大小与正负离子的有效电荷有关。一般地，有效电荷越大，两者的差值越大。而对非离子性晶体，横波与纵波频率相同。效电荷越大，两者的差值越大。而对非离子性晶体，横波与纵波频率相同。（2）当当TO 0时，时，（0），这意味着晶体内部出现自极化。，这意味着晶体内部出现自极化。把把TO趋于零的趋于零的振动模式称为光学软膜。振动模式称为光学软膜。由于长光
19、学波是极化波，所以，长光学波声子称为极化声子。由于长光学波是极化波，所以，长光学波声子称为极化声子。本讲稿第十九页，共三十二页四、四、离子晶体的光学性质离子晶体的光学性质 （optic properties of ionic crystal）正负离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以和电磁波相正负离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以和电磁波相互作用，引起远红外区的强烈吸收。也就是说，当长光学波和与它频率互作用，引起远红外区的强烈吸收。也就是说，当长光学波和与它频率相同的电磁波相互作用时，可以发生相同的电磁波相互作用时，可以发生共振吸收共振吸收。下面我们讨论这种吸收现象。下面我们讨
20、论这种吸收现象。在运动方程中引入耗散项，表达能量的损耗，则有在运动方程中引入耗散项，表达能量的损耗，则有（19）方程右端最后一项即为耗散项，方程右端最后一项即为耗散项，r 是一个为正值的系数。是一个为正值的系数。取复数形式的解：取复数形式的解：本讲稿第二十页，共三十二页将复数解代入（将复数解代入（1919）式，得）式，得（20）将上式代入（将上式代入（3 3）式，有）式，有（21）把前面求得的把前面求得的b11，b12，b22的式子代入上式的式子代入上式并利用并利用就得到就得到（22）上式中右端第二项就是晶格振动对介电常数的贡献。上式中右端第二项就是晶格振动对介电常数的贡献。本讲稿第二十一页，
21、共三十二页介电常数可以分为实部和虚部介电常数可以分为实部和虚部将（将（2222）式化简，把实部与虚部分开，有）式化简，把实部与虚部分开，有吸收功率正比于介电常数的虚部，可以看出，吸收功率正比于介电常数的虚部，可以看出，在在0处有一个吸收峰，宽度处有一个吸收峰，宽度为为r。这意味着横波的光波激励了横光学波的格波。这意味着横波的光波激励了横光学波的格波。这实际上就是前面介绍的长光学波在离子晶体中的重要性。也正是由于这实际上就是前面介绍的长光学波在离子晶体中的重要性。也正是由于长光学波的这种特点，一维双原子链色散关系的长光学波的这种特点，一维双原子链色散关系的一支才被称为光学波。一支才被称为光学波。
22、本讲稿第二十二页，共三十二页五、五、极化激元的概念极化激元的概念(concept of polarized excimer)前面我们假定晶体中的电场只是库仑作用引起的，因此前面我们假定晶体中的电场只是库仑作用引起的，因此即即 E E 是无旋的的矢量场。是无旋的的矢量场。严格来讲，离子晶体长波振动必然伴随交变的电磁场。这样，就要考虑严格来讲，离子晶体长波振动必然伴随交变的电磁场。这样，就要考虑晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统，晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系统，将电磁方程和晶格的唯象方程结将电磁方程和晶格的唯象方程结合，求解得到的振动模实际上就代表了格波和光波的耦合振动模。合，求解得到的振
23、动模实际上就代表了格波和光波的耦合振动模。不仅格波有这样的耦合模式，等离子振荡、激子、自旋波等也都有类似的不仅格波有这样的耦合模式，等离子振荡、激子、自旋波等也都有类似的现象，统称为现象，统称为极化激元。极化激元。本讲稿第二十三页，共三十二页1 1、运动方程及其解、运动方程及其解 在讨论声子与光子的耦合问题时，外电磁场是有旋场，在讨论声子与光子的耦合问题时，外电磁场是有旋场，横振动伴随的电磁场也是有旋场，必须用麦克斯韦方程与横振动伴随的电磁场也是有旋场，必须用麦克斯韦方程与黄昆方程联立求解。对于非磁性绝缘晶体，磁导率黄昆方程联立求解。对于非磁性绝缘晶体，磁导率 ，空间电流空间电流 ，自由电荷密
24、度，自由电荷密度 ，这些方程如下：，这些方程如下：本讲稿第二十四页，共三十二页设解的形式为设解的形式为把解代入原方程组中，得到把解代入原方程组中，得到本讲稿第二十五页，共三十二页从后两式可得从后两式可得代入到第三式，得到代入到第三式，得到这时有两种情况：这时有两种情况：（1 1）对于纵波）对于纵波解出解出，有，有 正是我们前面得到的正是我们前面得到的LSTLST关系。从中可见，关系。从中可见，与波矢无关，纵声子并不与与波矢无关，纵声子并不与电磁场耦合。电磁场耦合。本讲稿第二十六页，共三十二页（2 2）对于横波，）对于横波，即，即。注意到。注意到三者是相互垂直的三者是相互垂直的 并由右式的第一、
25、二两式，并由右式的第一、二两式，得到得到本讲稿第二十七页，共三十二页这两个式子联立求解，有解的条件是这两个式子联立求解，有解的条件是得到得到 利用系数利用系数的表达式和的表达式和LSTLST关系，并注意关系，并注意本讲稿第二十八页，共三十二页由此得到由此得到 有上式给出极化激元的色散关系：有上式给出极化激元的色散关系：2 2、色散关系、色散关系本讲稿第二十九页，共三十二页它分为它分为两支。在波矢较小的区域，当两支。在波矢较小的区域，当时，时，当当时，时，有两重根，说明存在两种横波，它们的偏振方向不同，但频率相同。有两重根，说明存在两种横波，它们的偏振方向不同，但频率相同。本讲稿第三十页，共三十二页下图所示是极化激元的色散曲线，虚线表示未耦合的横光学波下图所示是极化激元的色散曲线，虚线表示未耦合的横光学波（TOTO）声子、横声学波）声子、横声学波(LO)(LO)声子和光子的色散曲线，实线表示极化声子和光子的色散曲线，实线表示极化激元的色散关系，它们分布在激元的色散关系，它们分布在本讲稿第三十一页，共三十二页本讲稿第三十二页，共三十二页