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1、2424编程中的数学处理编程中的数学处理两个概念：两个概念：基点：轮廓上相邻两元素间的交点或切点。基点：轮廓上相邻两元素间的交点或切点。如直线与直线的交点、直线与圆弧的交点或切点等。节点：两逼近线段的交点。节点：两逼近线段的交点。数控加工编程的数学处理，就是计算零件加工轨迹的数据，即计算零件轮廓的基点和节点坐标，或刀具中心轨迹的基点和节点坐标。程变种数学处理的三个问题：程变种数学处理的三个问题：基点计算；节点计算-曲线逼近曲线拟合0 0、直线与圆弧平面轮廓基点的计算、直线与圆弧平面轮廓基点的计算如图所示该零件由四条直线和一条圆弧所组成。如图所示该零件由四条直线和一条圆弧所组成。1一、非圆曲线的
2、节点计算任务：用若干段直线段或若干段圆弧段逼近理论曲线，找出直线或圆弧与理论曲线的交点。总体原则是：保成精度；计算简单；程序段少。逼近方法有四：等间距直线逼近法；等弦长直线逼近法；等误差直线逼近法；圆弧逼近法2（一）等间距直线逼近法已知曲线方程将X坐标按等间距X分开，得出各个节点的X坐标值Xi，代如上式，得出各个节点的Y坐标值Yi，Xi，Yi就是各个节点的坐标。以次来编制直线插补程序。思路：现在的问题是：X取多大合适？X取决于曲线的曲率和允许误差允一般是先凭经验初取X，试算并校验。3最大逼近误差校验方法逼近精度要求：各段的逼近误差都必须小于等于允许误差X逼近直线A1A2的方程Ax+By+C=0
3、由A1A2两点坐标列出方程：B1B2距直线A1A2等距离的直线B1B2的方成为4续与联立求解。如果无解，则A1A2与曲线没有交点，表明插补误差小于允许误差；如果只有一个解，则与曲线相切，表明插补误差等于允许误差；如果有两个或两个以上的解，则与曲线相割，表明插补误差大于允许误差；这是应缩小X，重新计算节点和验算逼近误差。直到最大逼近误差小于或等于允许误差为止。不必每段曲线都验算，只需验算逼近误差最大的段，何处逼近误差大，从图上可直观看出来这种方法虽然简单，但因X为定值，当曲线变化较大时，程序段较多。5（二）等弦长逼近法这种方法，所有逼近线段的长度均相等，这样，只要使曲线曲率最大处不超差，则其余各
4、段均不会超差，所以，首先找出曲线上的最小曲率半径min，何处曲率半径最小，可用直观法判断，也可以用数学法判断。已知零件轮廓曲线的方程为则曲线的曲率半径为取则（1）（2）由（2）式求出X，代入（1）式，便可得到最小去路半径6续2.确定允许的步长，3.以曲线起点a为圆心，以步长l 为半径 画弧，交曲线与b点，解出b点坐标；4.顺序以b、c为圆心，重复上步，即可求出其余各节点的坐标值；等步长法对于曲率变化较大的曲线，求得的节点数仍然过多，它适用于曲率变化不大的曲线。7（三）等误差直线逼近法这种方法使每个直线段的逼近误差都相等，且所以，它比前两种方法都合理，程序段少，占内存少，但计算复杂。大型、复杂的
5、零件轮廓宜采用这种方法。这种方法步骤如下：1。以起点a为圆心，以允许误差为半径画允差圆；2。作允差圆与轮廓曲线的公切线T；3。过a作公切线T的平行线，交轮廓曲线与b点，求出b点的坐标；4。再以b为新的起点，重复上述步骤，便可依次求出各个节点的坐标。8点b坐标值的求法以a点为圆心的允差圆方程为（1）公切线T的方程为（2）K为公切线的斜率，其值为解以下联立方程曲线方程允差圆方程便可求的，P、T两个切点的坐标值再由斜率方程（4）求出k值。则过a点且平行于T的直线方程为：（3）（4）求方程（4）与轮廓曲线的交点就是节点b。9（四）圆弧逼近法对于具备圆弧插补功能苏孔机床，可以用圆弧段逼近工件的轮廓曲线。
6、此时，需求出每段圆弧的起点、终点、圆心坐标以及圆弧半径。用圆弧段逼近曲线的方法有三种：曲率圆法、相切圆法、三点圆法图示为曲率圆法。其步骤如下10续1。求轮廓曲线在起点（xa，ya）处的曲率中心坐标（n，n）和曲率半径n11续2。以（n，n）为圆心，n允，为半径作圆，方程为：将此方程与曲线方程y=f（x）联立，即可求其交点（xn+1，yn+1），即为节点。12续3。以（xn，yn）为起点，（xn+1，yn+1），为终点，半径n圆弧段就是所求的逼近圆弧，由以下两个方程联立求解，可以求得圆弧段的圆心坐标为（m，m）4。重复上述步骤，便可依次求出其它各个逼近圆。13三、列表曲线的插值与拟合所谓列表曲线
7、，是指已给出曲线上的某些坐标点，但没有给出方程（数学表达式），这时就要先求出这些坐标点的拟合曲线，然后再去逼近，即先拟合，后逼近。数控编程中，常用样条曲线拟合法。最初在造船业中，用一根木料做成的弹性长条用它，放样员用它通过型值点画出光滑曲线，放样用的弹性长条简称“样条”。弹性长条在力学上叫做弹性梁，“样条”一词在数学上叫“样条函数”，也简称“样条”，是指拟合出的曲线方程，所拟合出的曲线都通过给定的列表点，而且具有连续的曲率。14三、列表曲线的插值与拟合续1。三次样条曲线拟合如天大图2-21所示，使梁通过给定的列表点，并产生弹性弯曲，显然，用这种方法形成的曲线不仅通过给定的列表点，而且光滑，连续
8、。三次样条函数的一阶、二阶导数都连续，整体光滑，应用较广。用这种方法处理小挠度时，拟合精度高。但处理大挠度时，效果较差。15三、列表曲线的插值与拟合续2。圆弧样条拟合如天大图2-22所示，给定一系列的列表点P1、P2、P3、P4过每一点作一圆弧并使相邻两圆弧在相邻两点连线的中垂线上相切。编程时，就按这些圆的参数P3P1P2P4T1T2T3（圆心、曲率半径、节点T）编制圆弧插补程序，整个圆弧的插补程序段数与列表点数相等，如图，列表点数为4，（P1、P2、P3、P4），圆弧段数也为4（P1T1、T1 T2、T2 T3、T3 P4），圆弧样条曲线，总体上说，是一阶导数连续，它将三次样条的两次拟合（求
9、函数、插值加密）合并为一次。并且直接按分段的圆弧编程，省去了逼近过程，所以计算简单，程序段少，又避免了尖角过渡的处理问题，而且拟合精度也达到了一般的要求。但当型值点为曲线上的拐点时，则无法拟合。16三、列表曲线的插值与拟合续3。双圆弧样条拟合与圆弧样条拟合相似，如天大图2-23所示，设有n个列表点P1、P2、P3、P4Pn，在两列表点之间用两个在T点相切的圆弧来拟合。这样由2（n-1）段圆弧描述的曲线，在总体上是一阶导数连续。由于过每个型值点，都是两段圆弧，（起点，终点除外），故型值点处有拐点的曲线也能拟合。由于它的圆弧段数比圆弧样条多一倍，所以拟合精度和光滑性比圆弧样条拟合要好。但程序段较多
10、。目前，这两种方法应用都很广泛。P3P1P2P4T1T2T3Pi172525自动编程简介自动编程简介一、问题的提出一、问题的提出二、自动编程的一般处理过程自动编程的一般处理过程自动编程三部分：自动编程三部分：源程序，源程序，计算机，计算机，编译软件。编译软件。18二、自动编程的一般处理过程自动编程的一般处理过程源程序用数控语言编写源程序用数控语言编写 APT（Automatically Programmed Tools）自动编程的三个组成部分：自动编程的三个组成部分：源程序，源程序，计算机，计算机，编译软件。编译软件。19三、自动编程系统的发展三、自动编程系统的发展研究和开发小型专用的自动编程系统研究和开发小型专用的自动编程系统发展交互式的发展交互式的NC自动编程系统自动编程系统语言自动编程系统语言自动编程系统NC自动编程系统与自动编程系统与CAD连接和集成连接和集成 第二章小结第二章小结本章讲述了数控机床编程的两种方式：本章讲述了数控机床编程的两种方式：手工编程，手工编程，自动编程。重点是手工编程。自动编程。重点是手工编程。与手工编程有关的问题：与手工编程有关的问题：代码与程序结构代码与程序结构坐标系坐标系工艺处理工艺处理数学处理数学处理20