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1、第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型通过前面的学习我们知道，自动控制通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。本理论。设控制系统设控制系统控制系统控制系统输入输入输出输出加上输入信号加上输入信号tr(t)0tc(t)0求出输出响应求出输出响应根据输出响应即可根据输出响应即可分析系统的性能。分析系统的性能。怎样根据输入信号求系统的输出响应？怎样根据输入信号求系统的输出响应？如果知道控制系统的数学模型就可如果知道控制系统的数学模型就可求出系统的输出响应。
2、求出系统的输出响应。分析系统性能的第一步就是建立系统分析系统性能的第一步就是建立系统的数学模型，这是第二章的主要内容。的数学模型，这是第二章的主要内容。数学模型：数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。描述系统动态特性的数学表达式。数学模型反映了系统各变量之间的关系。数学模型反映了系统各变量之间的关系。常用的数学模型：常用的数学模型：(2)微分方程微分方程(3)传递函数传递函数(4)频率特性频率特性(1)代数方程代数方程(5)动态结构图动态结构图其中微分方程是最其中微分方程是最基本的，其它可以通过基本的，其它可以通过微分方程求得。微分方程求得。建立微分方程的方法：建立微分方程的方法：(1)解析
3、法解析法(2)实验法实验法这一章介绍解析法。这一章介绍解析法。第一节第一节控制系统的微分方程控制系统的微分方程第三节第三节传递函数传递函数第四节第四节动态结构图动态结构图第五节第五节反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数第六节第六节数学模型的建立与化简举例数学模型的建立与化简举例第七节第七节用用MATLAB处理系统处理系统数学模型数学模型第二节第二节数学模型的线性化数学模型的线性化第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第一节控制系统的微分方程第一节控制系统的微分方程一、建立微分方程的一般步骤一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分二、常见环节和系统的微分方程的
4、建立方程的建立三、三、线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解上一目录第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程（1）确定系统的输入变量和输出变量确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤系统通常由一些环节连接而成，将系系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：列写系统微分方程的一般步骤：根据各环节所遵循的
5、基本物理规律，根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。分别列写出相应的微分方程组。（2）建立初始微分方程组建立初始微分方程组将与输入量有关的项写在方程式等将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。左边。（3）消除中间变量，将式子标准化）消除中间变量，将式子标准化下面举例说明常用环节和系统的微下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立分方程的建立ucur二、常见环节和系统微分方程的建立二、常见环节和系统微分方程的建立1RC电路电路+-ucur+-CiR输入量：输入量：输出量：输出量：第一节第一节第一节第一节 控制系
6、统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程(1)确定输入量和输出量确定输入量和输出量(2)建立初始微分方程组建立初始微分方程组(3)消除中间变量，使式子标准化消除中间变量，使式子标准化ur=Ri+uci=Cducdt根据基尔霍夫定律得：根据基尔霍夫定律得：微分方程中只能留下微分方程中只能留下输入、输出变量，及系输入、输出变量，及系统的一些常数。统的一些常数。RCducdt+uc=urRC电路是一阶常系数线性微分方程。电路是一阶常系数线性微分方程。2机械位移系统机械位移系统系统组成：系统组成：质量质量弹簧弹簧阻尼器阻尼器输入量输入量弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF
7、(t)输出量输出量y(t)(2)初始微分方程组初始微分方程组F=ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程系统工作过程：系统工作过程：(1)确定输入和输出确定输入和输出F(t)FB(t)FK(t)=ma中间变量关系式中间变量关系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=k y(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中间消除中间变量得变量得:3他激直流电动机他激直流电动机Ud系统组成：系统组成：直流电机直流电机负载负载输入输入:电枢电压电枢电压励磁电流
8、励磁电流If电磁转矩电磁转矩Te负载转矩负载转矩TL摩擦转矩摩擦转矩Tf工作原理：工作原理：电枢电电枢电压作用下产压作用下产生电枢电流，生电枢电流，从而产生电从而产生电磁转矩使电磁转矩使电动机转动动机转动.输出输出:电动机速度电动机速度n第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程根据基尔霍夫定律有根据基尔霍夫定律有电动机的电路等效图电动机的电路等效图:eb+-udLaidRadiddt ud=Rd id+Ld+ebeb=CenCe反电势系数反电势系数反电势反电势根据机械运动方程式根据机械运动方程式dndt Te-TL Tf =GD2375
9、Te=Cm id Cm转矩系数转矩系数GD2飞轮惯量飞轮惯量为了简化方程，设为了简化方程，设TL=Tf =0id=GD2375Cmdndt.+n=+GD2Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2Cm CeRaLaRaudCe定义定义机电时间常数：机电时间常数：GD2Ra375Cm CeTm=电磁时间常数：电磁时间常数：LaRaTa=电动机的微分方程式为：电动机的微分方程式为：+n=d2ndt2Tm Ta+TmdndtudCe第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程4液位系统液位系统第一章里已经介绍了工作原理：第一章里已经介绍了
10、工作原理：其中其中:qi0流入箱体流入箱体的流量的流量qo0流出箱体流出箱体的流量的流量qi0qo0h0液面高度液面高度h0qi流入箱体流入箱体流量增量流量增量+qiqo流出箱体流出箱体流量增量流量增量+qoh液面高度液面高度增量增量+hA箱体面积箱体面积根据物料平衡关系根据物料平衡关系dtAdh0+h(t)=qi0+qi(t)-qo0+qo(t)平衡时：平衡时：qi0=qo0故故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式的流量公式qo(t)=ah(t)得得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方
11、程控制系统的微分方程根根据据实实例例可可知知：系系统统微微分分方方程程由由输输出出量量各各阶阶导导数数和和输输入入量量各各阶阶导导数数以以及及系系统统的的一些参数构成。一些参数构成。第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程系统微分方程的一般表达式为：系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt+an-1将已知输入信号代入微分方程中，求将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方
12、程即可求得系统输的出响应。解微分方程即可求得系统输的出响应。微分方程微分方程r(t)c(t)三、线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程工工程程实实践践中中常常采采用用拉拉氏氏变变换换法法求求解解线线性常微分方程。性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程线性微分方程时域时域t拉氏变换拉氏变换代数方程代数方程复数域复数域s代数方程的解代数方程的解求求解解拉氏反变换拉氏反变换微分方程的解微分方程的解第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系
13、统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程1拉氏变换的定义拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：如果有一函数满足下列条件：(1)t 0 时时 f(t)=0(2)t0 时时 f(t)是分段连续的是分段连续的 0(3)f(t)e dt-stf(t)的拉氏变换为：的拉氏变换为：0F(s)=f(t)e dt-st记作记作 F(s)=Lf(t)拉氏反变换为：拉氏反变换为：f(t)=L-1 F(s)2常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程(1)单位阶跃函数单位阶跃函数I(t)f(t)t010F(s)=I
14、(t)e dt-st=S1(2)单位脉冲函数单位脉冲函数(t)f(t)t00F(s)=(t)e dt-st=1(3)单位斜坡函数单位斜坡函数tf(t)t00F(s)=t e dt-st=S21(4)正弦函数正弦函数Sintt0f(t)=s2+20F(s)=Sint e dt-st(5)余弦函数余弦函数Cost0F(s)=Cost e dt-st=s2+2s(6)指数函数指数函数-atef(t)t010F(s)=e e dt-at-st=1s+a(7)抛物函数抛物函数t212t2e120F(s)=-st dt f(t)t0=S313拉氏变换的定理拉氏变换的定理(1)线性定理线性定理 Laf1(t
15、)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s)例例求正弦函数求正弦函数f(t)=Sint的拉氏变换的拉氏变换解：解：2je -eSint=jt-jt LSint=2j1s-j1-s+j1=s2+2(2)微分定理微分定理 L df(t)dt=sF(s)-f(0)例例求阶跃函数求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换的拉氏变换解：解：已知已知 dtdt=I(t)Lt=s21 LI(t)=L(dtdt)=ss21-0=1s第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程 L d2f(t)dt2=s2F(s)-sf(0)-f(0)(3)积分定理积分定理 L
16、f(t)dt=1sF(s)+f-1(0)s(4)延迟定理延迟定理 Lf(t-)-s=eF(s)例例求求f(t)=t-的拉氏变换的拉氏变换解：解：f(t)t0tt-sF(s)=Lte=s2-s1e(5)位移定理位移定理-atLe f(t)=F(s+a)解：解：例例求求f(t)=e Sint的拉氏变换的拉氏变换-atF(s)=(s+a)2+2(6)初值定理初值定理Lim f(t)=lim sF(s)st0 0(7)终值定理终值定理Lim f(t)=lim sF(s)ts0 0第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程4拉氏反变换拉氏反变换象函
17、数的一般表达式：象函数的一般表达式：F(s)=b0 sm+b1 sm-1+bm-1 s+bma0 sn+a1 sn-1+an-1 s+an分解为分解为K(s z1)(s z2)(s zm)(s p1)(s p2)(s pn)=零点零点极点极点转换为转换为=s-p1A1+s-p2A2+s-pnAn则则p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+部分分式法求拉氏反变换部分分式法求拉氏反变换,实际上是实际上是求待定系数求待定系数A1,A2,An.极点的形式不同极点的形式不同,待定系数的求解不同待定系数的求解不同,下面举例说明下面举例说明.待定系数待定系数第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分
18、方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程(1)不相等实数极点不相等实数极点Ai=F(s)(s-pi)s=pi解：解：例例求拉氏变换求拉氏变换 s2+4s+3 F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)F(s)=1+s+2=1+s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1)s=p1(s+1)(s+3)=s2+5s+5 s=-1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2)s=p2s=-3=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21=21+f(t)=(t)(t)+e-t21e-3t第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系
19、统的微分方程控制系统的微分方程(2)复复数极点数极点A(s)(s p1)(s p2)(s pn)F(s)=p1,p2共轭共轭复数复数极点极点分解为分解为=(s-p1)(s-p2)A1 s+A2+s-p3A3+s-pnAn F(s)(s-p1)(s-p2)s=p1=A1s+A2 s=p1根据根据求待定系数求待定系数A1,A2.例例求拉氏变换求拉氏变换 s(s2+9)F(s)=s+1解：解：A1s+A2 +s (s2+9)F(s)=A3 =A1s+A2 s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1 19A1=-19A3=-s/9+1 +s(s2+9)=1/9 s/9 -s(s2+9)F(s)=1/
20、9 1 +(s2+9)1391-f(t)=Sin3t91Cos3t+第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程(3)重极点重极点第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程A(s)(s p1)r(s pr+1)(s pn)F(s)=有有r个重个重极点极点分解为分解为=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+s-p1Ar dr-1F(s)(s-p1)rAr=s=p11 (r-1)!dsr-1)下面举例说明下面举例说明例例求拉氏变换求拉氏变换第一节第
21、一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为分解为按不相等实数极点确定按不相等实数极点确定A1,A3,A4得：得：-12A1=23A3=112A4=d2-1F(s)(s-p1)2A2=s=p11 (2-1)!ds2-1)d=s=-1 ds(s+2)s(s+3)-34=-34A2=+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：将各待定系数代入上式得：5用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程下面举例说明
22、求解线性微分方程的方法。下面举例说明求解线性微分方程的方法。第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程例例求拉氏反变换求拉氏反变换r(t)=20I(t)+2c(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dt c(0)=5c(0)=15解：解：(1)将微分方程拉氏变换将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)(2)解代数方程解代数方程 s(s2+3s+2)C(s)=5s2+30s+20(3)求拉氏反变换求拉氏反变换 s(s+1)(s+2
23、)=5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t例例已知系统的微分方程式，求系统的已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。输出响应。r(t)=(t)+2c(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=c(0)=0解：解：将方程两边求拉氏变换得：将方程两边求拉氏变换得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1 C(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反变换得：求拉氏反变换得：c(t)=e t sin t输出响应曲线输出响应曲线c(t)r(t)r(t)t0c(t)第
24、一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程第一节第一节第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程控制系统的微分方程课堂练习题：课堂练习题：(1)求下列函数的拉氏变换求下列函数的拉氏变换(2)求下列函数的拉氏反变换求下列函数的拉氏反变换(3)解下列微分方程解下列微分方程cos12tf(t)=e-4tf(t)=t2+3t+2F(s)=s(s+1)1作业习题：作业习题：2-3(3)2-4(1)+1c(t)=I(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=c(0)=0返回返回2-1(a)2-3(1)此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！