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1、专题08立体几何中的平行与垂直问题【考点预测】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：利用定义，证明直线。与平面。没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行n线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点 进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线 段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行
2、的判定定理；利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理逆定理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；向量的数量积为零；线面垂直的性质（）；平行线垂直直线的传递性.（2）证明线面垂直的方法线面垂直的定义；线面垂直的判定（=）；面面垂直的性质（二，尸,ap|分=）；平行线垂直平面的传递性nZ?J_a）；面面垂直的性质（a= / =.（3）证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理Qa工B，auana工.【典型例题】20. (2022湖南长沙市南雅中学高一期中)已知正方体ABCD-AgCQ.(1)求证：A。/平面 C/
3、。；(2)求证：4，平面4。.21.(2022.云南昆明.高一期中)如图，四棱柱A8C。-A4CQ中，底面A3CO是菱形, ZABC = 60,平面 45CD E为 AA1中点，AA=AB = 2.求证：AG 平面(2)求三棱锥的体积；在AG上是否存在点满足AG_L平面M8Q?若存在，求出AM的长；若不存在，说 明理由.22. (2022.江苏盐城中学高一期中)如图，四棱锥PA3CO中，底面48CO为菱形，PA ，底面 ABC。，PA=2, PC = 2日 E 是线段 PC 上的一点，PE = 2C(2gR).试确定实数4,使PA平面BED,并给出证明;(2)当;1 = 2时，证明：PCJL平
4、面BED例1. （2022全国,高一课时练习）下列命题：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. 其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3例2. （2022河南开封高一期中）已知直线a, b,平面。,尸，则下列命题中正确的是（ ）a L /3,aa ,则A. allp.alla ,则 q /?B. allB，bu B ,则 allh与互为异面直线，alla.allp.blla.bllp ,则a尸（多选题）例3. （2022.河南开封.高一期中）如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCZ）
5、 中，M、N分别为侧棱24、M的中点，。是底面四边形AHCD对角线的交点，下列结论 正确的有（）A. PC7/平面。WB.平面PCD/平面求证:C. OM 1PA例4. （2022.全国.高一课时练习）如图,例4. （2022.全国.高一课时练习）如图,三棱台。ERA8C中，AB=2DE, G, ”分别为平面 FGH；（2）若 Cb_LBC, ABA.BC,求证：平面平面片GH.例5. （2022全国高一期中）在正方体ABC。-4gCQ中，M、N分别是A3、AQ的中 点，E、F、P分别是4G、BB1、0A的中点.证明：MN 平面BDD国;（2）证明：CQMN；请判断直线即与平面MNP位置关系（
6、不需说明理由）.例6. （2022.河南开封,高一期中）在条件AC_L3C；AB = AC；平面a与cj平面 bag。中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答.问题：如图，在直三棱柱ABC A4G中，BC = CQ ,且,求证：BCJAB-例7. （2022.全国.高一课时练习）如图，在四棱锥P-A8CZ）中，底面438为矩形，平面 24。1平面43。，PAPD, PA = PD,瓦尸分别为A。,总的中点.(1)求证：PELBC；(2)求证：平面243,平面PC。；例8. (2022山西大同一中高一阶段练习)如图，在四面体B4a)中，AD_L平面PBA.PA(1)求证：平面APQ； (2
7、)若 AGJ_PO, G 为垂足，求证：AGLBD.【过关测试】一、单选题1. (2022.江苏.海安县实验中学高一期中)如图，在下列四个正方体中，48为正方体的两个顶点，M, N,。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A3与平面MNQ不平 行的是（）.（2022.广东.海珠外国语实验中学高一期中）已知平面平面尸=/,直线 alla.allp,则直线。与/的位置关系是（）A.平行或异面B.相交C.平行D.异面（2022.广东广州市第四十一中学高一阶段练习）已知直线机、和平面a、。,下列命 题正确的是（）A.若相,。，则B.若 mu尸，则a/C.若a B，mua,nu ,则加D.若。力,mu
8、/?,则根|a2. （2022江苏省太湖高级中学高一期中）已知机是两条不同的直线，名尸是两个不同的 平面，则下列命题正确的是（）A.若加a, ua,则加B.若加，mua、ua 则加 aC.若加 a,aa, mu（3 , nuf3,则a /D.若加夕，。夕，则加（2022全国高一课时练习）下列说法中正确的是（）过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直.A.B.C.D.点，则下列结论中正确的是（A. ADiLDPB. APLBiCC. AC1A.DPD. AiP_LB】
9、C7. （2022全国高一课时练习）如图，正四面体ABC。中，E,b分别是线段AC的三等分点，尸是线段A3的中点，G是直线3。上的动点，则（）6.（2022全国高一课时练习）6.（2022全国高一课时练习）在正方体ABCD-ABCQ中，点P是线段BCi上任意一A.存在点G,使PG_LE尸成立B.存在点G,使FG_LP成立C.不存在点G,使平面EFGJ_平面ACD成立D.不存在点G,使平面FG_L平面A3。成立8. （2022内蒙古呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）如图，在三棱锥P-A5C中，不 能证明的条件是（）PPA. 8CJL平面APCB. AP.LPC, APA.PBC. PCtBC,
10、平面 APCJ_ 平面 5PCD. BC 工 PC, ABA.BC二、多选题9. （2022江苏盐城中学高一期中）如图，正方体A5cO-A4G，的棱长为1,点。是耳CA内部（不包括边界）的动点，若则线段AP长度的可能取值为10. （2022广东广州市白云中学高一期中）在三棱锥P-ABC中，从顶点P向底面作垂线，垂足是“，给出以下命题中正确的是（）A.若3cp3_LAC,则”是ABC的垂心B.若两两互相垂直，则H是ABC的垂心C.若PA = PB = PC,则是ABC的外心D.若H是AC的中点，则=11. （2022云南师大附中高一期中）已知根，是互不重合的直线，a ,4是互不重合的平 面，下列
11、四个命题中正确的是（）A.若2 U a , ua, =m/j3 9 nl I （3 ,则a/B.若m _La, mLn, a/，则九/?C.若m/a ,m/?, ap-n ,则D.若mu0 ,则。_!_/?12. （2022河北省唐县第一中学高一期中）如图，在直四棱柱A3CO-A4G2中， BCA.CD, AB/CD, BC = 6 明=A3 = A。= 2 ,点尸，Q, R 分别在棱84，CC,。2上，若4 P,。，R四点共面，则下列结论正确的是（）A.任意点P,都有AP”B.存在点P,使得四边形APQR为平行四边形C.存在点P,使得3C平面APQRD.存在点P,使得为等腰直角三角形三、填空
12、题（2022广东广州市白云中学高一期中）正四棱锥S-ABCQ的底面边长为公 侧棱长为2a,点、P, Q分别在80和SC上，并且6P:PD = 1:2, PQ 平面S4）,则线段尸。的长为（2022.广东海珠外国语实验中学高一期中）如图，长方体ABCD-44G2的底面 A3CD是正方形淇侧面展开图是边长为4的正方形，E、尸分别是侧棱ACG上的动点, 点P在棱AA上，且=1,若EF/平面PBD,则斯的长=.13. （2022浙江浙江高一期中）在棱长为1的正方体中，。为线段A3的中点，夕为正方体内部及其表面上的一动点，且尸则满足条件的所有点构成的 平面图形的的周长等于.14. （2022全国高一专题
13、练习）如图，在直三棱柱ABC-A向。中，侧棱长为2, AC=BC =1, ZACB=90,。是A向的中点，尸是血/上的动点，AB, DF交于点E,要使A3 平面。OF,则线段8声的长为.四、解答题15. （2022江苏无锡市第一中学高一期中）如图，三棱柱ABC-43c的侧棱与底面垂 直，ACBC9点。是AB的中点.BB(1)求证AC，AC；(2)求证：AG 平面C。%(2022.广东广州六中高一期中)如图，在四棱锥P438中，AB/CD, ABAD, CD = 2AB,平面RW_L底面ABC。，E和尸分别是8和尸。的中点，求证：(1)35/平面 PAD；CD J平面班尸.16. (2022山西大同一中高一阶段练习)如图，等腰梯形A3CO中，AD=DC=BC=2, A5=4, 为A3的中点，将AOE沿。E折起、得至U四锥尸一。即。，尸为PC的中点，M 为跖的中点证明：FM平面PDE；(2)证明：DELPC,当四棱锥P-DEBC的体积最大时，求三棱锥E-DCF的体积.