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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。六空间几何体,表面积与体积一、单项选择题1 . （2021.全国乙卷）在正方体ABCD-AiBGQi中，P为3。的中点，则直线PB与4。所成的角为（）兀c 兀一兀c 兀A . 2B.gC .D.5【命题意图】本题以正方体ABCD-AiBiCiDi为命题载体，考查异面直线所成角的求法.【解析】选D.如图，N尸8G为直线P8与ADi所成角的平面角.易知A/G为正三角形， 又P为AC的中点，所以NP5Gq.2 . （2021 .潍坊一模）某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装
2、盒.现有一张 边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高 为小的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）取AB中点F ,连接EF , DF i因为EFBB且88 J_底面ABCD t所以/_1_底 面ABCD ,所以DF的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：-I2二坐，所以D错.故选ABC.11 .（2021,襄阳三模）如图,已知直三棱柱ABCAiBG的所有棱长均为3 ,。，E , F , G 分别在棱 , AiCi , AB , AC 上,S. AD = AiE= BF= CG ,是 8C 的 中点，。是Ai的中点，则（）A.平面PFGB .
3、若M , N分别是平面AiABB!和4ACG内的动点，则MA?周长的最小值C.若过P,F,G三点的平面截三棱柱所得截面的面积为季D .过点A且与直线AAi和BC所成的角都为45。的直线有2条【解析】选BCD.选项A.因为A,D = AiE = BF= CG ,所以DE/FG ,连接EF , DG ,可得EF , OG相交于点P ,则在平面PFG内，故A错误.选项B ,平面AyABBy和AiACCi所成的锐二面角为60。，点P到平面AyABBWAACG的距离均为,分别作点P关于平面AiABBi和A A CG的对称点Mi ,Ni易证当M , N分别取直线MM与平面AyABBW A1ACC1的交点时
4、，丛MNP9的周长最短，且这个周长的最小值为、，故B正确.选项C ,由A选项可知，O , E在过尸，尸，G三点的平面中，截面面积为呼, 故C正确.选项D ,易知AABC,所以过点A且与直线A4所成的角都为45。的直线构成 以A为顶点，以A41为轴的圆锥，同理和BC所成的角都为45。的直线构成以A 为顶点，以夕C为轴的圆锥，所以两个圆锥的公共母线即求，故D正确.12 . （2021 .新高考I卷）在正三棱柱ABCAiBiG中，= 1 ,点尸满足协UUU“Bt +BB-其中 2引0 , 1 ,/e0 , 1,则（ ）A .当 = 1时，LABiP的周长为定值B .当二1时，三棱锥P-AXBC的体积
5、为定值C .当2二;时，有且仅有一个点P ,使得4P_L5PD .当二;时，有且仅有一个点P ,使得43_L平面【解析】选BD.由点P满足协+ *B-可知点P在正方形内.BBCA选项，当2=1时，可知点P在线段CG （包括端点）上运动.ABiP 中，=也,AP = l+M t =+ ( 1 - ) 2因此周长L = AB+AP + BiP不为定值，所以A选项错误.B选项，当二1时，可知点P在线段8G （包括端点）上运动.由图可知，线段平面AiBC ,即线段BiCi上各点到平面AiBC的距离均相等，AAiBC的面积是定值，所以三棱锥PABC的体积为定值，所以选项B正C选项，当2二;时，分别取线段
6、BC WG中点为D八,可知点P在线段包括端点）上运动.很显然，若点P与。或。重合，均满足题意，所以选项C错误.D选项，当二;时，分别取线段38 ,CG中点为M ,N，可知点P在线段包括端点）上运动.此时，有且只有点P与N点重合时，满足题意，所以选项D正确.三、填空题13（2021.全国甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6 ,其体积为30兀，则该圆锥的侧 面积为.【命题意图】本题考查圆锥的概念，圆锥的体积，侧面积公式，考查考生的空 间想象能力，运算求解能力等.【解析】依题设可知：30ti = |兀j= 127th , 513所以0号，母线/二号，13所以该圆锥的侧面积为Ttrl = 6x Ji =
7、39兀答案：39兀14 .如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，AB = 1 ,= 2 ,将矩形ABCD绕直线AD旋转一周所得到的几何体体积记为V.,将绕直线CD旋转一 周所得到的几何体体积记为V2 ,则段的值为.A b【解析】将矩形ABCD绕直线AD旋转一周所得到的几何体是以1为底面圆的半径，母线长为2的圆柱，所以Vi=7rxl2x2 = 2兀,将MCQ绕直线CD旋转一周所得到的几何体是以1为底面圆的半径，高为1的圆锥，所以H二，兀X yxl/.因此，的=6.JJV2答案：615 .（2021 .承德二模）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛 还直观图如图所示，是由一个圆柱
8、体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱 体的底面半径为1 ,高为2 ,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空 的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行,挖 出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为.【解析】设中空圆柱的底面半径为r ,圆柱的高为2 +碗（辰2）,则3+序（户I1 二1 -,所以中空圆柱的体积V=兀汽2 +/）=1 - jJ （2 + h）.（3、9（2、V,=-心后+ 0-1J，可得，当（。，Q）时，卜0 ,当力，2J时，V0 ,264则当A /时/取得最大值为署71 ,又毛坯的体积为兀X12X2+T兀X13=号，所以该模具体积的
9、最小值为当-招 JJJN/ /26兀11二方-26兀 答案：方16 .已知圆台的体积为M蓼 cm3 ,母线长为3 cm ,高为2也cm ,则圆台的 侧面展开图（扇环）的圆心角的大小为,它的侧面积为 cm2.【解析】设圆台的上下底面半径为r , R（R一）, 贝片71X2也（群+户+ R* = 14黑兀,化简得夫2 +户十我厂=7 ,又因为母线/ = 3 cm ,高力二26cm ,所以(R -r)2 = 32 - (2/2 )2 = 1 ,即 R - r = 1 ,所以(r+ l)2 + r2 + (r+ l)r=7 ,即，+/-2 = 0,解得厂=1或一二-2(舍)，所以R=r+ 1 = 2
10、,所以圆台的侧面积为兀/(尺+ r) = 37r(2 + 1) = 97i(cm2),圆台的侧面展开图如图：设小扇形的半径为/圆心角为,则平音”，所以票二券 1/1/1/所以 2(3 + /) = 4/所以 2 = 3 ,27r所以Q二年.k-i, 1,2 兀答案：y9兀关闭Word文档返回原板块A . 144 B . 72 C . 36 D . 24【解析】选B.如图：已知正六边形的每个内角均为整，按虚线处折成高为小 的 lBF正六棱柱，即BF = y/3 ,所以5月二百正尸=1 ,可得正六棱柱底面边长AB = 6 - 2x1 = 4 ,所以正六棱柱的体积：V=6x1 x4x4x坐x事=72
11、.3 . （202卜德州一模）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世 界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容 器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都 相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之 二.今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为1271，则该模型中球的体积为（）A.8兀 B.4兀2【解析】选D.由题意球的表面积为127ix- =871 ,即471r2 = 871 , r = y/2 ,所以体 积为V = 1 71=|兀义（啦 =总平兀.为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种
12、圆锥形的漏斗如图，设计 要求如下：该圆锥形漏斗的高为10 cm ,且当窄口容器的容器口是半径为1 cm 的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2 cm ,则制造该漏斗所需材料面积的 大小约为（假设材料没有浪费）（）A . 15 小 Ticm2A . 15 小 Ticm2B . 2O/5 71cm2C . 25邛 7icm2C . 25邛 7icm2D . 3(h/5 71cm【解析】选C.如图：由题意知CD = 10 cm , CG = 2 cm , EF= 2 cm ,因为3csers,所以方=, 即弊=V，解得AB =10 cm,所以 AD = 5 cm ,可得圆锥母线/二=52 + 102
13、 = 5小（cm）,所以侧面积S = 7irl= 25小7i cm2.4 .已知圆锥的表面积为3兀，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（） A 史匹n Ml工立匹 n AA .玄-B .七一C .D . 3 兀【解析】选B.如图，设圆锥底面半径为r ,母线长为/ ,高为力，A则7i r/ +兀，=3兀且/ = 2厂,解得1 = 2 , r = 1 , 所以九二小 ，所以v=|兀好h=当也.5 .已知一个正四棱锥的底面边长为4,以该正四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（） A . 4（下 + 1）B .小-1C . 4（小-1）D . 8（
14、5 + 1）【解析】选D.正四棱锥如图，设四棱锥的高OE=h I由底面边长为4,可知OF =2 ,斜高 EF = y/h2 + 4 ,故序二;x4xl序+ 4 ,解得h2 = 2 + 2小,故侧面积为4x- x4xyh2 + 4 =4 *= 8 + 8 小=8(1+小)./ O-X/FbLyc6 .（2021 .承德二模）在三棱柱ABC-AxBxCy中，侧棱44底面A5c所有棱长都为1 , E , F分别为棱BC和AiCi的中点，若经过点A, E , F的平面将三棱柱ABC-AQ分割成两部分，则这两部分体积的比值为（）5977A - 24 B * 17 C * 24 D * 17【解析】选D.
15、如图，平面AEF与EG交于点G,且CG = （ GB ,故GQF-ECA为三棱台，因为 &ABC =，1X1X坐 二坐，所以 S-EC 二，坐 二坐,S/FGCi =7 ZZOO-32，所以棱台 GCiF-ECA 的体积：Vi 二;(SdGCiF + yJsdGCiF.Saeca + 5aeca)-CCi=i x慎+ A恒也+型二或3 1.32 V 32 88 J 96 三棱柱ABC-ABG的体积V= Sabc-CC =乎，7小所以所以V- V196_J_S 7s 二万, 4 - 968.已知正三棱柱ABC-AiBG的各棱长均为2 ,上底面ABC与下底面A18G的中心分别为。，。1 ,尸是。1
16、上一动点，记三棱锥P-ABC与三棱锥P-AiBiCi的 体积分别为Vi , V2 ,则Vi.L的最大值为（）A-3【解析】选A.因为正三棱柱A3C4BG的各棱长均为2 ,所以 Saabc= S/ABC x2x2xsin 60。=小,且 OO =2 ,所以 V + V2 = 1 S4abc-OP + S/ABC-OP = Saabc-(OP + 0P) = | Saabc-OO = , 由2师用Vi + V2= 半得:Vi-V21 ,当且仅当点P为OOi的中点时等号成 立，所以VrL的最大值为/ .二、多项选择题9 . （2021 .新高考n卷）如图，下列各正方体中，O为下底的中点，M , N为
17、顶点,P为所在棱的中点，则满足MN1. OP的是（）【解析】选BC.设正方体的棱长为2.对于A ,如图所示，连接AC ,则MN/AC，故NPOC(或其补角)为异面直线OP所成的角，在直角三角形OPC中,OC = 2fCP=1 ,故 tan ZPOC =，故MNJLOP不成立，故A错误.对于B ,如图(2)所示，取N7的中点为Q ,连接PQ , 0Q ,贝!J OQNT, PQLMN f在正方体SBCMNADT中SN_L平面ANTD ,而OQU平面ANTD ,故SNOQ , 而 SNCMN= N ,故 OQJ_平面 SNTM ,又 MNU 平面 SNTM ,故 OQLMN ,而 OQHPQ =
18、Q ,所以 平面 OPQ ,而 OPU 平面 OPQ ,故NJ_OP ,故 B 正对于c ,如图，连接BD ,贝（ BD/MN ,由B的判断可得OPLBD ,故OPJ_对于D ,如图（4）,取AD的中点Q , AB的中点K ,连接AC t PQ f OQ t PK tOK,贝！ACMN,因为。P = P。，故 PQA。，故 PQ 以N,所以 NQP。或其补角为异面直线PO , MN所成的角,2+1因为正方体的棱长为2 ,故PQ = ； AC=也,0。=，4。2 +板。2 =7小,PO=/心+ 0 心=4+1 =5 ,0。2加2 +。产，故/。不是直 角，故PO,A/N不垂直，故D错误.10.（
19、2021 .益阳模拟）如图，棱长为1的正方体A3CD-ABG。中，点石为A必 的中点，则下列说法正确的是（）A.DE与CC为异面直线B.OE与平面BCG囱所成角的正切值为看C.过D,C,E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等D.线段DE在底面ABCD的射影长为也【解析】选ABC.由图可知：DE与CCi为异面直线,所以A正确;因为平面3CG31 平面ADDiAr f所以DE与平面BCCiBi所成角即DE与平面ADD所成角，连接40 ,显然，N4DE是OE与平面ADDMi所成角.在直1AE 2 、历角三角形E4Q中：tan ZADE =刀石二色 =，所以B正确；过。，C ,5三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面AiBiCD截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积 相等，所以C正确;