《7.1-7.3 复数-(人教A版2019必修第二册)(教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7.1-7.3 复数-(人教A版2019必修第二册)(教师版).docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、复数知识剖析1虚数单位的性质i叫做虚数单位，并规定：i可与实数进行四则运算；* = 1,这样方程/ 二 一1就有解了，解为 = t, x = L P = -1/3 = T/4 = 1，严以4为周期，即产十九二严2复数的概念定义形如Q + bi(a 的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，。叫做实部，b叫做虚部.全体复数所成的集合C叫 做复数集.复数通常用z字母表示，即2 =。+6(a ,bWR).分类p = o实数z = a + bi = 又。Z1 OZ2 = 0, /. OZi OZ1.不妨设 Zi(l, 0), Z2(o, 1),如图 当Z3与A重合时，|Z1+Z2Z3|有最小值为&-1;当Z3
2、与B重合时，0+Z2 Z3I有最大值为企+1. 0+22 23|的取值范围是加-1, V2 + 1.故答案为四一 1, V2 + 1.%)当复数z满足|z + 3 4i| = 1时，则|z + 2|的最小值是.【答案】V17-1【解析】|z+2| = |(z+34i)+(l+4i)|?| - l+4i| |z+34i|= J(-l)2 + 42 1= g-i .|z+2|的最小值是47-1.1()()已知/ (1 ,2) ,B(a ,1) ,C(2 ,3) ,D(1 ,b)(a ,b e R)是复平面上的四个点，且向量费，而对应的复数分别为Zi ,Z2.(1)若 Zi + Z2 = 1 + i
3、,求 Z1 ,z2若+z2| = 2, Z1-Z2为实数，求a/的值.【答案】(1) zi=4i, Z2=3 + 2i (2) q=4, b=2【解析】 向量AB =(6?L 1), CD =(3,匕-3)对应的复数分别为zi = (- 1) i, Z2= 3+(/?3)z.zi+z2=(。-4)+(。-4)i= l+i.；q-4=1, /74= 1.解得a=b=5.zi=4i, Z2=-3 + 2i.()|zi+z2|=2, ziZ2为实数, J(a -4)2 + (b 4尸=2, (a+2)+(2- 2 匕=0,解得2=2,A (a4)2+4=4,解得 a=4. a =4， b =2.向量
4、被的模叫做复数z = a + b i的模，记作|z|或|a + b ,表示点(a , b)到原点的距离,即 |z| = a + b i = Va2 + b2 , z = z ,6代数形式的四则运算运算法则设Zi = a+ bi,z2 = c + di ,a , b , cf dE RZi z2 =a + b i + c +di= (a + c) +(b + d) i(1) Zi z2 = (a + b i)(c + d i) = (a c b d) + (b c + a d) iZi _(a+匕 i)_ (a+匕 i)(c-di)_(a c+b d)+(bc-ad)iI , Z2(c+d i)
5、(c+d i) (c-di)c2+d2加减法的几何意义几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形。Z1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 0Z = OZi + 0Z2 ,Z.2 0Z2 OZi.若Z = a + b i f z2 = c + d i, |zi-Z2|表示(a , b)到(c , d)的距离，即% - Z2I = J(a - c)2 + (b - d)2.(2) |z Zi| = 丁(丁 0)表示以(a , b)为圆心，厂为半径的圆.7*复数的三角表示一般地，任何一个复数Z = Q + bi都可以表示成r(cosO + isinO)
6、的形式，其中，r是复数z的模，。是以工轴的非负半轴为始边，向量前所在射线为终边的角，叫做复数2 = a + bi的辐角，r(cos3 + is出6)叫做复数z = a +6的三角形表示式.规定：在0 4。 2范围内的辐角。的值为辐角的主值，通常记作arg z,即0 arg z V 27r. 复数的代数形式z = a + bi与三角形式厂(cos。+ is)。)的互换(a = rcosOlb = rsinO复数乘、除运算的三角表示及其几何意义设 Zi = r1(cos01 + isinO, z2 = r2cos62 + is in/)则Z1Z2 = r1r2cos(01 + 02) + isin
7、(O1 + O2)9 cos(J91 02) + is讥( 02) z2r2经典例题【题型一】复数的概念与分类 【典题1】求解i +产+产+乎。17 【解析】i + / + / + j4 = i _ 1 一 t + 1 = 0且m以4为周期 i + i2 + i3 + - + 产。* = o x 504 + i2017 = i【典题2】求当q为何实数时，复数z= (a2 - 2a - 3) + (小+。- I2)i满足:(l)z为实数；(2)z为纯虚数；【解析】复数z = (a2 一 2a - 3) + (a2 + a - 12)1.(1)若z为实数，则小+。-12 = 0,解得。=一4或。=
8、3；(2)若z为纯虚数，则卜：一2。二：二?,解得q = 1.W + a - 12 W 0【典题3已知关于%的方程%2 + 2(1 + Qx + ab + (a + b)i = 0(a ,b e R+)总有实数解，则a + b的取值范 围是.【解析】*, %2 + 2(1 + i)x + ab + (a + b)i = 0得%2 + 2x + ab + (a + b + 2x)i = 0 有实数解，/. x2 + 2x + ab = 0, a + b + 2x = 0,消去%得(a + b)2 一(a + b) + ab = 0,I / (a+b)2ab ，4 0 = 1 (a + b)2 (
9、a + b) + ab 02v a , b e /?+,. a + 匕 0,即q + b 2 2, 即a+ b的取值范围是2 ,+8).【点拨】复数相等：a + bi = c + di a = c , b = d(a , b , c , d E R),注意分辨出复数的实部和虚部.若关于%的方程/(%) +g(%)i = 0有实数解，则/(%) = 0 ,g(x) = 0.【题型二】复数的几何意义与运算【典题1】已知复数z = E(，为虚数单位)，下列说法其中正确的是复数Z在复平面内对应的点在第四象限； |z| 二 V5；z的虚部为2i；z = 1 2i.13-26i13l-2i,【解析】 v
10、z = 9 =(8T)(2-3i)解忻2+3i(2+3f)(2-3i)复数z在复平面内对应的点的坐标为(12),在第四象限;|z| = V5； z的虚部为一2； z = l + 2i.故正确；错误.【点拨】遇到复数的除法，分母分子同乘“分母的共伺复数包=粤=：):一：把复数最终化简成z=+z2 c+d i (c+d i)c-d i)bi(a、b e R)形式；因为|ZZ2| = |Z|,|Z2|,回=铛所以Z=的模等于0=据=黑=后 |21/十IZ-To11V JLo【典题2】已知复数z的实部为1,虚部的绝对值为3,则下列说法错误的是()A. z +当是实数B. z +当是实数C. z + 1
11、zE. 5在复平面中所对应的点不可能在第三象限【解析】由已知得，z = l 3i或z= 1 + 33(z z= |z|2 = 10,避免了分类讨论与计算)则z + = z + = z + HZ|Zinz + = 2,则力，C正确，5错误;，的实部大于0,故5在复平面中所对应的点不可能在第三象限，0正确.故选B.【点拨】若z = a + 标,则z - z = z2 = a2 + b2, z + z = 2a, z -z = 2b. 注意一些复数的性质可减轻计算量.【典题3设复数Z1 *2满足=z2 = 2 /1 + Z2 =遮+ i,则忆1 一 z2 =【解析】方法 1 Zi + z2 = V3
12、 + t, /. zr+ z2 =2, e- ki +z22 = 4 (zt + z2)- Zi + z? - 4, (|z|2 = z - z, zt + z2 = z7 + z)/. 8 + Zi为 + z7z2 = 4. 得Zi为 + z7z2 = 4., 11 2 |2 = 8 -(Z1Z2 + Z1Z2) = 12.又忆1 - z2 0,故忆1 - z2 =2y/3.方法2向量法 忆1| = z2 = 2,Zi /2在复平面上分别对应的点B ,C在以原点为圆心，半径为2的圆上，, zr + z2 = V3 + i,.Zi+Z2在复平面上对应的点4(遮，1)在圆。上，由向量的平行四边形
13、法则，可知四边形。C4B是平行四边形，如下图易知A40C是等边三角形且边长为2,易求BC = 2由向量的三角形法则可知Z2l = BC = BC = 2百.【点拨】|Z/=Z2, Zi + Z2 =五+；方法1直接运用了代数方法求解；复数加减法的几何意义复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形。Z1ZZ2可以直观地反映出复 数加减法的几何意义.即 OZ = 0Zr + 0Z2 ,Z口2 = oz2 oz方法2运用的是复数与向量之间的关系，再借助几何的手段进行求解.【典题4】若ZGC,且IZ + 2 24 = 1,则忆一2 24的最小值是.【解析】方法1待定系数法设Z
14、 = a + bi(a、b R),v Z + 2-2i = l . |q + 2 + (b 2)i| = 1 J(G + 2)2 + (b - 2)2 = 1,.(b - 2)2 = 1 (Q + 2)2则 |Z - 2 2i| = |a - 2 + (b - 2)i| = J (a - 2)2 + (b 8a(b - 2/ = 1 (a + 2)2 1 - (a + 2)2 0 解得-3 a 0)表示以(a , b)为圆心，丁为半径的圆.【典题5复数z满足|z + i| + |z - 2| = V5,则|z|的取值范围是.【解析】: |z + + |z 2|表示复数z到两点P(01 1),
15、Q(2Q)的距离之和，OP = 1.OP = 1.而 |PQ| = 1 (-I)? + 22 = V5.又|z + i + z - 2 = V5,点z在线段PQ上，(确定点z所在的轨迹)|z|表示点。与线段PQ上点的距离，易得直线PQ的方程 - 2y - 2 = 0,原点。到此直线的距离d=5 = 竽，而|OQ| = 2, 则|z|的取值范围是隼，2.【典题6】已知复数z满足|z| = 1,则归+ +忆一”的最大值是【解析】方法1v |z| = 1.复数z对应点P在圆心(0,0),半径丁 = 1的圆上,而|z + i| + |z 4则表示点P到点4(0,1), 5(0,-1)的距离之和P4 +
16、 PB = a + b,其中 +62 = 4,而(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab 2(a2 + b2) = 8,a + b的最大值为方法 2 设z = cosO + isinO , (0 0 2tt).则|z + + |z _ = yjcos20 + (sind + l)2 + Jcos26 + (sinO l)2 = V2|sm| + cos|+V2|sm|-cos|.=72(1 + sinB) + ,2(1 sinB)2 (sin | + cos|)2 +2 (sin |6、2COS)ZavO02tt,.-.0-7T.当，勺时，|z + + |z 4 = 2鱼cos： |z
17、 + 4 + |z i|的最大值是2鱼; A4当5 6(5 争时，|z + i| + |z i| = 2/si4，|2 +。+忆一”的最大值是2伤 当罗(等 7T)时，|z + + 忆一”=-2或cosg,忆 + 4 + |z 4 V 2企.综上，|2 + “ +忆一。的最大值是2四.【点拨】运用了待定系数法进行求解，由|z| = l, iz = cose + isine (O0 【解析】 z _(2+30(23。 13 1 2i,复数z在复平面内对应的点的坐标为(1, -2),在第四象限;z = V5； z 的虚部为一2； z = 1 + 2i.故正确；错误.)设Z2是复数，给出四个命题若|
18、Zi-Z2l=0,则痣=药若21=五，则痣=Z2若团|=.2|,贝Mi 五=Z2 百若忆1|=忆2|,贝Ijz/uzz?其中真命题有 个.【答案】3【解析】由zi, Z2是复数，得在中，若|Z1Z2| = O,则Z1, 22的实部和虚部都相等，匹二手，故正确；在中，若zi=,则zi, Z2的实数相等，虚部互为相反数，.Z=Z2,故正确;在中，若|Z1| = |Z2|,则21喝=Z2迄=|Z/，故正确；在中,若|Z1| = |Z2|,则由复数的模的性质得Zi2Hz2?,如 |l 一 i| = |l+i|=&,但(1。2=2 #(l+i)2 =万，故不正确.5(*)设复数z满足|Z5i| = 2,
19、则z5的最大值为.【答案】49【解析】设 z=x+yi,由|z - 54 = d(x - 0)2 + (y 5尸=2,得/+(j5)2=4,则复数在复平面内所对应的点的轨迹是以(0, 5)为圆心，以2为半径的圆，z5 = / + y2,其几何意义是原点到圆上一点距离的平方，因此，z2的最大值为(2+5)2=49.6(*)若复数z满足z+ z+ 5 4 0,则复数|z - 1 一 ”的最大值为.【答案】V5 + 1【解析】设z=a+/，(m bRR),则由z + z + 2 工 0,得 4z24-Z?2+20 ,即(。+1)2+。2/1.复数z在复平面内对应点的轨迹如图复数的最大值为|尸C|+l= J(l 1)2 + (0 - 1)2 + 1 = 75 + 1.故答案为V5 + 1.7()若复数z满足|z| = l,则|Q+i)(z i)|的最大值是.