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1、专题05复数的综合运用【考点预测】一.基本概念(I) i叫虚数单位，满足12=-1 ,当ZeZ时，产=1,产，产+2=-,产+3= T(2)形如a + Z?i(a,R)的数叫复数，记作4 +初0.复数z = a +阳4力eR)与复平面上的点Z(向对应，叫z的实部，b叫z的虚部；0 = 0ozeR,Z点组成实轴：工O,z叫虚数；且。=(),z叫纯虚数，纯虚数 对应点组成虚轴(不包括原点)。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共扼复数.两个复数。+阮c +成3/cdwR)相等=：(两复数对应同一点)b = d复数的模：复数。+勿的模，也就是向量无的模，即有向线段应的长 度，其计算公式为|z为 +
2、 力”=力2+从,显然，|2|=|,；_/,/1= yla2+hz = a2+h2.二.基本性质1 .复数运算(1) (a + bi) (c + di) = (a c) + (b J)i(2) (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i(a + bi) -(a-hi) = z-z = a2 + b2 =| z |2(注意 z? =|z|2) z + z = 2a其中|z|= JcJ +，叫z的模；z = a-4是z = + bi的共辗复数(a,Z?eR)./、a + bi (a + bi) (c - di) (ac + bd) + (bc-ad)i . ,
3、 P 小(J) =；(c- +- h U).c + di (c + di) (c - di)c+d”实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数寻运算法则) 都适用于复数.2 .复数的几何意义(1)复数Z = 4+bia,b R)对应平面内的点Z(a,3 ；(2)复数z = a + bi(a, bg R)对应平面向量:(3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示好数.(4)复数z = a + bi(a,be R)的模| z|表示复平面内的点z(“/?)到原点的距离.由棣莫佛公式，可得z1 +z = cos 17+isin 17。+cos 0
4、+zsin(cos1()+cos 0)+z(sin 170+sin 0),所以(cos 110 + cos 0) + /(sin 110+sin 6)=1_ cos 17 +cos =1 (cos 178 = 1-cos。所以，即1sinl76 + sin/12 +12 = /2 ,故 A 错误； 对于B, z的虚部为1,正确;对于 c, i3=-i,z.i3=-i4i+i)=i-i ,正确;对于D, z = l-i，笠斗粤甘,2012亨伊供叫y=,故D错误; 232故选：BC.12. （2022全国高一单元测试）已知方程/+2。+ ）丫+（-切 + 2 = 0（eR）,则下列说法正确的是（）
5、A.若方程有一根为0,则。=0且8=0B.方程可能有两个实数根C.而；时，方程可能有纯虚数根D.若方程存在实数根%，则/0或2【答案】AD【解析】【分析】将方程进行等价变形为f+2x+2+（a- + 2x）i = 0,利用复数的定义，若复数为0,则 实部为0,虚部也为0,判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举 例当。=0且8=0时，无纯虚根判断C.【详解】 解：A选项：若方程有一根为0,则代入方程有（。-。*+2=0,则有 = ，2而=0, 即。=0且6 = 0,故A正确；B选项：方程可变形为：/+2工+2,方+（一人+2X=0,即x2+2x+2r由= 0,（。+2x） =
6、0,则x = 2j0,只有一解，故 B 错误；C选项：当。=0且8=0时，方程仅存在一解x = 0,此时无纯虚根，故C错误；D选项：若方程存在实数根则玉二，代入方程可得：6+/+4。一4 + 6,心=0，即他一 ）2+4（/?-）一8（ - 4）/? = 0 ,即（/?一）2+4（0一）一2 仅一K0,解得：（。一。）工。或 （/?-）4,即与工。或.之2,故D正确故选：AD三、填空题13. （2022.福建宁德高一期中）复数3 + 2i与-l+4i分别表示向量丽与丽，则表示向量 丽的复数为.【答案】4-2i#-2i+4【解析】【分析】根据复数的向量表示即可计算.【详解】由题可知。4=（3,
7、2）, OB =（-h 4）,，丽=砺一砺=（4，-2）,表示向量丽的复数为：42i.故答案为：4-2i.14. （2022吉林吉化第一高级中学校高一期中）在复平面内，若复数z满足|z + l|=|l + iz|, 则z在复平面内对应点Z（x,），）满足的方程为.【答案】x+），= O【解析】【分析】z = x+yi（K.yR）,代入|z + l|=|l + iz|,求模整理得z在复平面内对应点Z（x,y）的轨迹方 程.【详解】由题意，z = x+yi（x,），eR）,|x+ +），i| = J（x+l + y2 , |l + iz| = |l + i（x+i）| = |l-y + xi =（
8、-y）2 +x2 ,则而W肝疥7 ,化简得x+），= 0,所以z在复平面内对应点Z（x,），）满足的方程为x+），= 0.故答案为：x+y = 0/. x 2022（ 厂 2O2215. （2022广东海珠外国语实验中学高一期中）i为虚数单位.计算二 十二11+1 7H+1 J【答案】-l+i#i-l【解析】【分析】根据复数的四则运算，化简原式，再利用周期性特点求解即可.【详解】( (if 广 / 夜(1)rU + Jll + ij(l + i)(Il(14-i)(l-i)J/ . 、ioii= -l+ i(24=1 一严”=l + i故答案为：-1 + i(2022湖南高一期中)已知复数z满
9、足|z + i| + |z-i|=2,那么I z-3|的取值范围为【答案】3,710【解析】【分析】先得出复数z对应的点的轨迹为复平面内连接点(0,1)和(0,-1)的线段，根据|z-3|的几何意 义,利用数形结合思想可得出Iz-3|的范围.【详解】设 z = x+yi(x,ywR),由 I z + i| + | z - i|=2可得|x+(y + l)i| + |x+(y-l)i|=2HP2+(1)2 + Jx2+(y-l)2 = 2，表示点(*)，)到点(0,7), (0,1)的距离之和为 2.乂点(0,7),(0)之间的距离为2,所以|2 + “ + |2-“=2表示2对应的点的轨迹是以
10、(0,1)为端点的线段I z-31= (x-3)y2表示z对应的点与(3,0)的距离，如图在z取(0,0)时有最小值3, z取(0.7)或(0,1)时有最大值屈，故取值范围为3,拘.故答案为：3,痴 四、解答题(2022江苏辅仁高中高一期中)已知复数马=。+31(10(2)把与打入方程f2x+2 = 0整理得,22。+ 1) +(22)i = 0,根据复数相等得a2-2a + = 02a-2 = 0 -V z( -z2 = -1+(1+ t/)i则Z1-Z2在复平面对应的点坐标为(4-1,1 + )，Z|-Z2在复平面对应的点落在第一象限，a -10l+a0解得。1.(1)z, =。+ 1是方
11、程/一2大+ 2 = 0的根则(a + i)2-2(a + i) + 2 = 0,即(/2a + l) + (2a - 2)i = 0,所以a2-2a + l=02-2 = 0解得4 = 1.19. (2022.福建宁德高一期中)已知复数4=3 + 4i, z2=l-2i, i为虚数单位.若复数4+四2在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围;若z = 2,求z的共挽复数.z2【答案】(1)(T2)(2)-l-2i【解析】【分析】(1)计算由+丝2,然后根据第一象限点的特征列出关于。的不等式组，解出答案即可(2)计算出Z ,然后根据共枕复数的定义写出答案即可由题意，复数Z1=3+4i,
12、z2=l-2i,Z +az2 =3+4i + a(l-2i) =(3 + a) +(4-%)i,.亚数4+az?在更平面上对应的点在第一象限，3 + 04-2 0解得.实数。的取值范围(-3,2).(1)z, 3 + 4i (3 + 4i)(l + 2i) -5 + 10i,z2 l-2i (l-2i)(l + 2i)5所以乞= -l-2L20. (2022广东海珠外国语实验中学高一期中)已知l + 2i是关于x的方程f + px + = 0(pG R)的一个根，其中i为虚数单位.求p, q的值;(2)记复数z = + qi,求复数的模.1+1【答案】(l)p=-2,q=5巫2【解析】【分析】
13、(1)易知l + 2i和l-2i是关于x的方程f + px + g = 0(p，4eR)的根,利用韦达定理求解;(2)利用复数的除法运算和复数的模公式求解.(1) 解：因为1 + 2i是关于x的方程V + px + q = 0(p,q g R)的一个根，所以l-2i是关于x的方程V + px +g= 0(p,geK)的另一个根,-p -1 + 2i+| -2i叨以q = (l + 2i)(l_2i)p = -2解得v ；匕=5由(1)知：z = -2+5i,所以曰=上=(二 2 + i)(l 二 i)=_，+ 3i“以 1 + i1 + i(l + i)(l-i)2 2 ,所以复数;史的模为巫
14、.1 + 1221. (2022江苏淮安高一期中)已知复数4=2-5i, z2 = 1+(2cos)i.(1)求Z-Z| ；(2)复数z，4对应的向量分别是OZ；,区，其中。为坐标原点，当夕二方时，求西运的值.【答案】(1)29；-3.【解析】【分析】(1)求出马，再利用复数乘法运算计算作答.(2)根据给定条件，求出西，西的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1) 因复数4=2-5,则Z = 2+5i,所以 Z|二(2-5i)(2 + 5i) = 29.(2) 依题意，OZ, =(2,-5),当。=1时，OZ2=(1,2cos0 = (1,1),所以 QZ；QZ2=2xl+(-5)xl
15、=-3.22. (2022安徽合肥市第八中学高一期中)已知复数4=(i-a，z2=4-3i,其中。是实 数.(1)若马=izz，求实数。的值;/ 2 / 3/x 1003若五是纯虚数，。是正实数，求幺+ 刍 +幺 + 幺 .44 V z2 ) V z2 ) V Z2 )【答案】(1)-2-1【解析】【分析】(1)利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解；z47(2)利用二为纯虚数求。，从而得 =然后通过复数的周期性进行求解即可.Z2Z2V Z! =(i-tz)2, z2 =4-3i,= iz2.(i-a)2 =a2-l-2ai=3 + 4i_ a -1 = 3从而 c ，解得。二一2 , -2a
16、 = 4所以实数的值为-2.(1) 依题意得:2 =富=z2 4-31(4-31)(4 + 31)(a2 -2r/i + i2)(4 + 3i) 4g2 -8tfi + 4i2 +3a2i-6ai2 +3i342-(3i)2=16-(-9)(4c +6a-4)+(3a2 -3)i25因为3是纯虚数，所以：:Z2f+6。-4 = 03cr 8。一 3 / 0又因为是正实数，所以。=g又因为是正实数，所以。=g当二f也马=。一；）2=-?-所以?=得=.i因为r=i，因为r=i，：4向4/1+2：4+3：4n1= 1， 1 = 1，(N)(N)所以2+12、Z2 k Z2 )所以2+12、Z2 k
17、 Z2 ),库1003=(-i) + (-i)2 +(-i)3 + (-i)4 + + (- i )侬=(-i) + (-i)2 +(-i)3 + (-i)4 + + (- i )侬= (-i-l + i + l) + (-i)5 + (-i)6 + (-i)7+(-i)8 + - + (-i),00,+(-i)+(-产= 0 + 0 + -+(-i -1 + i)所吟+ （同所吟+ （同44223+1(X)3= -1.【典型例题】例1. （2022江苏海安市曲塘中学高一期中）已知i是虚数单位，复数z满足3z + z = 4 2i 则 z =（）A. 1 + iB. 1-iC. l + 2iD
18、. l-2i【答案】B【解析】【分析】设7 =。+玩a,6wR,则洛一加，根据3z+W = 4-2i，列出方程,从而可得答案.【详解】设2 = +历，,则W = -8i，则 3z + 5=4a + 2i=4-2i,4。= 4a = 1所以），所以 -2Z? = -2/? = -1所以z= -i.故选：B.例2. （2022.重庆十八中高一阶段练习）已知复数z满足|z + i|=|z-i|,则|z + l + 2i|的最小值为（）A. 1B. 2C. &D. 75【答案】B【解析】【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z,由复数的几何意义可知点Z的轨迹为十轴，则问题转化 为1轴上的动点Z到定点距离
19、的最小值，从而即可求解.【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z + i| = |z-i|,所以由复数的几何意义可知，点Z到点（0,-1）和（0,1）的距离 相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又|z +1 + 2i|表示点Z到点（一1,2）的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点（-1,-2）距离的最小值，所以|z + l + 2i|的最小值为2,故选：B.例3. （2022江苏海安市曲塘中学高一期中）好数z =（i为虚数单位），则忖=【答案】I【解析】【分析】3 4根据复数的运算，求得z =-i,结合复数模的公式，即可求解.【详解】由复数Z嗡常蓝3=|T，则比椁2
20、+（令=1.故答案为：1.例4. （2022安徽安庆一中高一期中）若复数z = x+yi（x,yeR）,且满足|z-i| = l,则点 （M 丁）所围成的图形面积为.【答案】兀【解析】【分析】在复平面中，匕-Z? I表示复数Z1 ,Z2对应点Z,4之间的距离.【详解】由|z - = 1可知Z（x, y）到（0,1）的距离为I,即点Z的轨迹为以（0,1）为圆心，半径为1的圆，点（-；y）所围成的图形面积为兀.故答案为：兀.例5. （2022.北京大兴.高一期中）2+i是关于x的方程/-4工+ ? = 0的一个根，则实数【答案】5【解析】【分析】根据复数根的特点可知两复数根是互为共扼复数，再利用韦
21、达定理即可求解.【详解】2+i是关于x的方程/一4% +加=0的一个根，丁.另一个根为2i由韦达定理得：（2 + i）（2-i） = /，解得：? = 5故答案为：5.例6. （2022江苏辅仁高中高一期中）已知复:数z“m + / + / + i, 为正整数，记z.所有可能取值的和为复数z,则2=.答案-+（ + 1）12【解析】【分析】根据等比数列求和公式和复数的运算法则即可计算.【详解】因为z.因为z.= i + i* 2 +i3 + - + iHi(l-D i-r11-i - 1-i/n-(i例7. （2022北京大兴高一期中）已知复数z = +加（a, wR）,且目=JL/n-(i例
22、7. （2022北京大兴高一期中）已知复数z = +加（a, wR）,且目=JL+i（1）若2的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标；+i（2）在更平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图；+. + in+,)川-一七一 川(1) + 1 - (1-i)2i + + l i (i + + +若 |z + l| = |z-i|,求 4,。的值.【答案】（1）（L1），（T，T）;（2）圆，图形见解析;a = l, = -1,或a = T,0 = 【解析】【分析】（1）根据复数实部和虚部的定义，结合复数模的计算公式进行求解即可;(2)根据复数模的计算公式，结合圆的定义进行求解即可；(3)根据复数
23、模的计算公式，解方程组进行求解即可.(1) 因为z的实部和虚部相等，所以 =因为国二五，所以C奇=&=2/=2=。= 1，当a = l 时，h = 当i = 1 时，/? = 1 因此z对应的点的坐标为(巾),(-1,-1)；因为|z| 二 JL所以有席了 =收，它表示在复平面内z对应的点到原点的距离为近， 即在复平面内z对应的点是以。为圆心，血为半径的剧图形如卜图：因为 |z+l| = |z-i|,所以卜 +1 + b = a + (。一l)i| = yj(a + )2 +b2 = a2 +(b-)2 ,又因为|z| 二 JL所以=五,丁 H A- Q(a + lf +62 = ya2 +(
24、b-)2,于是有L=4 = 1涉=-1,或 4 二 -1力=1.U2+b2 坨例8. (2022广东广州市第六十五中学高一期中)己知复数4=1-5=4 + 63为虚数单 位.求；(2)若复数z = l+bi(eR)满足Z+4为实数,求|z|.【答案】意-金 血【解析】【分析】（1）根据4=l-i,Z2=4 + 6i,利用复数的除法运算求解:（2）先化简复数z+4,再根据z +4为实数求解.（1） 解：因为复数马=l-i,Z2=4 + 6i,所以马二 1 二（l）（4-6i） 一 5z2 4 + 6i （4 + 6i）（4-6i）26 26 ：（2） 因为复数 z = l+i（wR）, Zj =
25、 1 - i,所以 z + Z1=2+（0l）igwR）,因为z + Z为实数，所以b = l, 所以z = l + i,则目=VL【过关测试】一、单选题1. （2022湖南师大附中高一期中）复数上；的共枕复数是（） 1-2A. 2 + iB. -2 + iC. -2-iD. 2-i【答案】B【解析】【分析】 根据复数的除法运算化简怎，根据蜘复数的概念可得答案.【详解】 故言的共挽复数为-2 + i ,512512=-2-5故选：B2. （2022.湖北.华中师大一附中高一期中）若复数z = l-2i,则Ji的虚部为（）A. 1B. -2C. -1/D. -2/【答案】A【解析】【分析】先利用
26、复数的乘法运算化简再求解.【详解】解：因为复数z = l-2i,所以三.i=（l + 2i）i=-2+i,所以Ji的虚部为I,故选：A（2022福建宁德高一期中）欧拉公式e“=cosx+isinx （i为虚数单位，xeR ）是由瑞 士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复:数集，建立了三角函数和指数 函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥“，根据此公式可知，N在复平面内对应的点位 于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的儿何意义，以及弧度制即可求解.【详解】解：e3i =cos3 + isin3, 乂3rad=3x57.3。= 1
27、719,为第二象限角，故cos3 0,故e3i在复平面内对应的点（cos 3, sin 3）位于第二象限.故选：B.3. （2022湖北华中师大一附中高一期中）在里数范围内方程9一2工+5 = 0的两根为。， 夕，则同+期=（）A. 2B. 2石C. V5D. 5【答案】B【解析】【分析】由 = （-2）2-4x5 = -160,可得复数范围内方程Y-2,i+5 = 0的两根为A-=2V16i=l2i,然后根据复数的模长公式即可求解.【详解】 解：因为方程 V -2x+5 = 0，所以 A = (-2)-4x5 = -16i（x,yeR）,则 z- z = （x+ i）（x-yi） = x2
28、+ y2 =|z|2 i (a-b)b + ai对于，令复数 2 =。+ 阮.,氐。+0, - = - = -= 2 .2z a + bi (a + bi)(a-bi) a +bb aa1 +b2 + a2 +b2因eR,则一=0,即a = 0,。/。，所以z是纯虚数，正确；对于，令Z=2 + i, Z2=2-i满足=|4=有,显然Z|WZ2且Z|W-Z2，不正确;对手，令复数Z =c + di,c,deR,，+d2工。，由2必2 Tz得：则忆| = 7?二=|zj,正确.Zi|2 c2 + d2 (c2 +1/2 )(c -向 (c2 + d2)(c-di).- = c - di iZ c+
29、di(c + Ji)(c-M)c2 +d2故选：B7. (2022全国高一单元测试)已知复数z满足忖=1,且有z1z = l，求2=()A. 1士旦B.C.显土显iD.都不对2 22222【答案】A【解析】根据题意可设z = cos9+isin。(i为虚数单位)；然后再利用棣莫佛公式，可得(cos 176+cos6) + /(sin 179+sin9)=1,再根据复数的概念，可得cos 176 +cos。=1sin 170 +sin 夕=0利用三角函数同角关系，即可求出。的值，进而求出结果.【详解】因为目=1,设z=8s6+isin6 (i为虚数单位)；2i2-2u AaS山”+ (+) i _ i” “故答案为： L