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1、2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填
2、写）：C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学 参赛队员(打印并签名)：1.李欣谕 2.毛凌华 3.张若凡 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：张清华 日期：2013 年 8 月 28 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1 中国养老问题的研究 摘要 在老龄
3、化日渐加剧的今天，研究养老问题具有一定的现实意义。本题主要通过建立数学模型对四种养老模式进行分析评价，并给政府提出了工作报告。以北京市为例，根据研究对象的普遍性和代表性，我们选取了家庭养老模式、社会保险养老模式、异地养老模式以及以房养老模式进行分析评价。我们选定老年人的生活满意度为最终评价指标。经查阅相关文献，我们选取经济保障、生活照料和精神慰藉三个因素作为评价因素。在选取经济指标时，为了避免相同指标对不同养老模式的影响相同，我们选取不同指标来衡量经济因素对不同模式的影响，即分别以北京市年度居民消费水平、年度社会保险基金、异地养老费用、年度房屋租赁价格来衡量家庭养老模式、社会保险养老模式、异地
4、养老模式、以房养老模式的经济保障因素。根据收集到的相关数据，我们采用灰色预测的方法对数据进行拟合，得到 2013 年四种养老模式下的经济保障数据。在选取衡量生活照料和精神慰藉的指标时，由于所查到的数据对四种养老模式不存在差异性，因此我们衡量这两个因素在四种养老模式中所占的比重，运用层次分析法中判断矩阵的构造方法构造判断矩阵进行分析。接着我们建立层次结构评价模型，得到四种养老模式下老年人生活满意度系数分别为：0.2529，0.4663，0.2281，0.0527，即四种养老模式下老年人生活满意度从大到小依次为：异地养老、家庭养老、社会保险养老、以房养老。我们进一步收集数据，对四种模式进行更全面的
5、分析。针对家庭养老模式，我们把家庭的收入、支出水平与居民消费水平进行比较，得出家庭养老可以保证老人良好的心理和健康状况，满足老人的经济需求，但同时给子女带来一定的经济和工作压力；针对异地养老模式，我们选取不同年龄阶段老年人受教育程度的数据进行分析，根据分析得出异地养老只能面向少部分老人，即收入较高、年龄段在 65-74 岁之间、生理状况比较好的老人；针对以房养老，我们分析居民消费和租金两种指标，得出结论：以房养老模式能够充分的满足老年人的消费、健康和心理需求，但只适合部分拥有房产的老年人；针对社会保险养老，我们比较北京社会养老保险金和人均支出费用得到以下结果：只依靠社会养老保险的老人仅能勉强维
6、持基本生活开支，老人的生活和精神状态无法得到保障，社会养老模式不是一种较合理的养老模式。根据本文对养老模式的分析，我们给政府提出了一份工作报告。关键词：关键词：养老模式 层次分析 数据拟合 2 一、问题重述 到 2012 年底，中国 65 岁及以上人口占人口总量的比例已达到 9.4%，超过世界平均水平。随着城市化进程的加快，社会养老问题将显性化。社会养老问题将是我们国家不得不面对的重要任务。在目前中国广大的农村地区，家庭养老、土地养老、社会保险养老（三种模式是基本的养老保障方式）。中国未来可能通过财政补贴、减免税收、购买服务甚至养老专项按揭贷款等手段加快解决老龄问题。养老正在突破传统家庭养老模
7、式，形成家庭、社区、市场化养老并存的局面，现在已经出现了异地养老、以房养老、“候鸟式”养老、消费养老以及生态养老等新模式。各种养老模式都有其优点和缺点，请你以中国的某个省(市)为例，建立相应数学模型对某种或几种养老模式进行分析，并为当地政府提出一份工作报告，给出你关于养老问题应该采取何种模式的建议。二、问题分析 4.1 模型背景模型背景的分析的分析 本文主要对各种养老模式34的优缺点进行研究，我们查阅相关资料得知，养老模式是根据由谁为老年人提供养老资源保障来划分的。我们首先选择对家庭养老进行研究，因为家庭养老模式1是我国的传统养老模式，许多养老模式都建立在家庭养老模式的基础上。社会保险养老2也
8、是我国目前普遍存在的一种养老模式，给许多老人的老年生活带来了保障，因此我们也选取了此种养老模式进行研究。另外，我们还决定选取两种新兴的养老模式进行研究，分别是异地养老67和以房养老5。在我们当前的国情下，随着独生子女的数目逐渐增多，越来越多的老人和子女分隔两地，传统养老模式逐渐演变为这两种模式，非常具有代表性。我们选择北京市为例对这四种养老模式进行分析。4.2 模型数据的分析模型数据的分析 影响老年人生活满意度的因素有很多，我们查阅相关文献得知，对此影响最大的主要有经济保障、生活照料和精神慰藉三个因素。我们从这三个方面出发，在题目提供的网站上收集相关数据。从经济供养的角度，为了区别不同的养老模
9、式，我们选取了不同的指标来衡量。针对家庭养老模式，我们选取了年度居民消费水平这个指标。由于我们只收集到了截止到 2011 年的相关数据，因此我们采用灰色预测方法拟合曲线，预测出2013 年的数据。我们则选取了年度社会保险基金支出这个指标来衡量社会保险养老模式下的经济因素，用 MATLAB2编程，接着使用灰色预测10的方法拟合曲线，从而得到2013 年的数据。对于异地养老模式，我们查找了相关文献6，得到了异地养老人均年需费用。在以房养老模式下，老年人以自有产权住房为依托，因此我们选取年度房屋租赁价格这个指标来衡量该模式下的经济因素，采用灰色预测拟合曲线得到 2013 年的数据。从生活照料和精神慰
10、藉的角度，我们查找到的相关数据不能反映出这两种因素对每种养老模式影响的差别。因此我们运用层次分析法11衡量这两个因素以及经济保障在四种养老模式中所占的比重。3 4.3 层次分析评价模型层次分析评价模型 根据四种养老模式的指标，我们接下来建立层次结构评价模型对四种养老模式进行评价。首先建立四种养老模式的递阶层次结构模型，构造出各层次所有的判断矩阵，分别对层次进行排序及一致性检验。把权向量进行归一化并进行一致性检验，得出老年人生活满意度系数，我们根据该系数得出四种养老模式优劣的排序，即异地养老模式下老年人的生活满意度最高。4.4 四种养老模式的四种养老模式的进一步分析进一步分析 我们进一步分析发现
11、异地养老模式下虽然满意度最高，但是平均花费也较高，是一种面向少数人的养老模式。所以我们接着对四种养老模式进行更全面的分析。针对家庭养老模式，我们进一步选取了能反映家庭养老效果的指标，即家庭的收入水平和支出水平，同时我们统计了 2011 年北京市居民消费性支出，对不同的指标进行分析，然后得出结论。针对异地养老模式，我们收集了老人在不同年龄阶段受教育的程度的数据进行分析。针对社会保险养老模式8，我们以北京社会养老保险金和人均支出费用为指标来分析此种模式下老年人经济、生活以及精神状况。三、符号说明 ija 判断矩阵第i行第j列元素 max 判断矩阵最大特征根 W 归一化后判断矩阵最大特征根的特征向量
12、 CI 一致性指标 RI 随机一致性指标 CR 一致性比率 ts 老年人生活满意度指数 四、问题假设（1）假设收集到的数据真实可靠，没有较大误差。（2）假设我们对每种养老模式相关的指标的处理是合理的。（3）假设我们对养老模式的选择是客观合理的。4 五、模型的建立与求解 5.1 模型准备模型准备 5.1.1 模型的背景模型的背景 根据全国老龄工作委员会发布的中国人口老龄化发展趋势预测研究报告可知，中国已于 1999 年正式进入老龄社会。截止到 2012 年底，中国大陆人口中 65 岁及以上的占人口总数的 9.4%，超过世界平均水平。我们收集到了近十年来我国老年人口所占比例的相关资料，见图 5.1
13、.1。由折线图可知，近些年来我国人口老龄化态势逐渐加深，因此我们对社会养老问题的研究已经迫在眉睫。图 5.1.1 老年人数所占比例的变化 针对题目中所列举出的几种养老模式，我们查阅了相关资料得知：1对于土地养老9，随着农村家庭结构的改变和家庭代际关系的变化以及农民生活水平的提高，土地养老的能力不仅面临着现实的挑战，同时也受到理论界的质疑，认为农业经营收益的下降正在弱化土地的保障功能。因此土地养老模式不适宜农村养老保障的长期目标，在此我们不选取土地养老模式进行分析。2对于生态养老12，我们应该看到的是，目前能够生态养老的仅仅是有稳定的退休费用，有较为丰裕的经济基础的老人，无法适用于那些身体瘫痪、
14、疾病缠身的低收入的老年人，具有很大的局限性。此外，目前社会养老服务体系建设在中国仍然处于起步阶段时期，因此我们本题不选取生态养老模式进行分析。3对于“候鸟式”养老模式14，即每年抽出 1、2 个月的时间，随着季节的变化，到不同的地方去，在游玩中健康快乐地享受老年生活。我们把这种养老方式看成异地养老的一种特殊形式，在此仅对异地养老模式进行分析。4对于消费养老13，即为消费者在购买企业的产品后，企业应该把消费者的消费视为对企业的投资，并按一定的时间间隔，把该企业的利润按一定的比例返还给消费者，5 为一种新兴的养老模式。由于该种模式还没有普及，所以本题我们不对该种模式进行分析讨论。根据以上的讨论，本
15、题我们主要针对四种养老模式进行分析，即家庭养老、社会保险养老、异地养老和以房养老四种养老模式。针对中国养老的现状，我们以北京市为例，在题目所给的网站15中进一步收集了诸如人均消费水平、人均旅游费用等相关数据，利用数学建模的方法对这四种养老模式进行分析，并给出相关建议。5.1.2 数据数据的的收集与收集与处理处理 根据我们对养老模式的理解，养老模式是根据由谁为老年人提供养老资源保障来划分，养老资源包括经济保障、生活照料和精神慰藉等三个方面。养老问题首先是经济供养问题，无论是从老年人本身还是其家庭来看，有充足的经济资源，不仅可保障老年人有较高的生活水平，而且能较好的解决生活照料和精神慰藉等方面的问
16、题。从经济供养的角度，为了区别不同的养老模式，我们选取了不同的指标来衡量这个因素。在家庭养老模式下，老年人主要依靠家庭成员的赡养，老年人主要以子女或亲属供养为主要经济来源，因此我们选取年度居民消费水平这个指标来衡量该种养老模式下的经济因素。首先我们搜集到了北京市 2001 年至 2011 年年度人均居民消费水平，见表5.1.1。然后采用了灰色预测方法拟合曲线，得出的曲线见图 5.1.2。最终我们根据拟合出的曲线得出了北京市 2013 年年度人均居民消费水平 33833 万元。表 5.1.2.1 北京市年度人均居民消费水平 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 居民消
17、费水平(元)9119 10988 12167 13636 14835 16770 年份 2007 2008 2009 2010 2011 居民消费水平(元)18640 20241 22154 25015 27761 图 5.1.2.1 年度人均居民消费水平拟合曲线 针对社会保险养老模式，我们选取了年度社会保险基金支出这个指标来衡量该种模式下的经济因素。我们收集到了 2007 至 2011 年间北京市年度社会保险基金支出，具体6 数据见表 5.1.3。接下来我们同样采用了灰色预测的方法拟合曲线，拟合得到的曲线见图5.1.3。由曲线我们进而得到 2013 年北京市年度社会保险基金人均支出为 539
18、7.2 元/人。表 5.1.2.2 北京市年度社会保险基金人均总支出 年份 2007 2008 2009 2010 2011 社会保险基金人均总支出(元)4077 4696 5028 4916 5148 图 5.1.2.2 人均社会保险基金拟合曲线 针对异地养老模式，我们查找了相关文献6，得到异地养老的测评数据，即在满足基本需求的人均年需费用为 21600 元。在以房养老模式下，老年人以自有产权住房为依托，在不改变居住权的前提下，通过住房反向抵押贷款等金融工具或手段实现“以钱养老”。因而我们选取了年度房屋租赁价格这个指标来衡量该模式下的经济因素。我们只收集到 2008 至 2010 年间北京市
19、住房平均月租金。见表 5.1.4。我们采用灰色预测拟合出平均年租金曲线，见图 5.1.4。根据拟合得到的曲线我们得出 2013 年北京市的平均年租金为 52552 元。表 5.1.2.3 北京市住房平均月租金(单位:元)月份 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2008 2438 2386 2524 2507 2485 2558 2625 2548 2570 2532 2464 2340 2009 2308 2290 2318 2294 2293 2373 2427 2486 2514 2503 2500 2598 2010 2513 2523 2707 2780 28
20、28 2811 2797 2885 2875 2884 2987 2995 7 图 5.1.2.3 北京市年租金拟合曲线 在我们得到了评价四种养老模式下经济因素的指标后，我们开始查找相关评价老年人身体健康和精神状况的指标。经过分析发现查找的数据不能单独反映一种养老模式在老人生活照料和精神慰藉下的指标。因此我们运用层次分析法11衡量这两个因素以及经济保障在四种养老模式中所占的比重。5.2 层次结构评价模型的建立层次结构评价模型的建立 根据以上我们得到的影响四种养老模式的指标，我们建立层次分析结构模型1对四种养老模式进行评价。5.2.1 层次分析法原理层次分析法原理 层次分析法，简称AHP，是对一
21、些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法。人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：Step1：建立递阶层次结构模型，见图5.2；Step2：构造出各层次中的所有判断矩阵；Step3：层次单排序及一致性检验；Step4：层次总排序及一致性检验。8 图5.2.1 层次分析图（1）递阶层次结构的建立与特点 应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构
22、模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。（2）构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。
23、判断矩阵的元素ija用Satty的19标度方法给出。见表5.2.表5.2.1 判断矩阵19标度方法 标度 含义 1 表示两个因素相比，具有同样重要性 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 2，4，6，8 上述两相邻判断的中值 倒数 因素i与j比较的判断ija，则因素j与i比较的判断ijjiaa 9（3）层次单排序及其一致性检验 对应于判断矩阵最大特征根max的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同
24、一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。定义一致性指标：1nCIn 其中：10CI，有完全的一致性 2CI接近于0，有满意的一致性 3CI越大，不一致性越严重 为衡量CI的大小，进入随机一致性指标RI。见表5.2.1 表5.2.1 随机一致性指标RI n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 定义一致性比率：CICRRI 一般，当一致性比率CR0.1时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验；否则，要重新构造成对比较矩
25、阵A，对ija加以调整。5.2.2 层次结构评价模型的求解层次结构评价模型的求解（1）构造层次分析结构 对于不同的养老模式，我们采用不同的指标对这些模式进行分析评估。但是不管以什么指标出发进行分析评估，其目的都是要对不同模式下老人的生活满意度作出判断，即从老人生活的经济保障、生活照料和精神慰藉这三个方面进行评估。因此我们建立起以老年人生活满意度为目标层，以经济保障、生活照料、精神慰藉为准则层，以家庭养老、社会保险养老、异地养老、以房养老四种养老模式为方案层的层次分析结构。图 5.2.2 层次结构图 10（2）构造判断矩阵及一致性检验 对于本题，我们根据 Satty 的方法分别得出每个层次的判断
26、矩阵，准则层的判断矩阵如表 5.1.4.2。表 5.2.2.1 准则层的判断矩阵 A 经济保障 生活照料 精神慰藉 经济保障 1 1/3 3 生活照料 3 1 9 精神慰藉 1/3 1/9 1 我们用 MATLAB 算出A的特征值，对应最大的特征值3，得出：001nCIn。由于00.1CI，因此A的不一致程度在容许范围之内，通过一致性检验。我们进而得出方案层的三个判断矩阵，首先我们根据已有的数据得出由经济因素影响下的养老模式的判断矩阵，如表 5.1.4.3 所示。表 5.2.2.2 方案层的判断矩阵 经济保障 家庭养老 异地养老 社会养老 以房养老 家庭养老 1 1/3 1/8 2 异地养老
27、3 1 1/5 6 社会养老 8 5 1 9 以房养老 1/2 1/6 1/9 1 同样的方法我们得到经济保障的特征值为4.1390，我们由11nCIn得出10.0515CI。由于10.1CI，因此家庭养老的不一致程度在允许范围内，通过一致性检验。接下来我们得出生活照料因素影响下的方案层判断矩阵，如表 5.1.4.4 所示。表 5.2.2.3 方案层的判断矩阵 生活照料 家庭养老 异地养老 社会养老 以房养老 家庭养老 1 1/2 3 5 异地养老 2 1 7 9 社会养老 1/3 1/7 1 2 以房养老 1/5 1/9 1/2 1 我们得到生活照料的特征值为4.0165，由21nCIn得出
28、2CI=0.00610.1，因此生活照料的不一致度在容许范围内，生活照料通过一致性检验。我们最后得出精神慰藉因素影响下的方案层判断矩阵，如表 5.1.4.5 所示。11 表 5.2.2.4 方案层的判断矩阵 精神慰藉 家庭养老 异地养老 社会养老 以房养老 家庭养老 1 2 5 9 异地养老 1/2 1 3 7 社会养老 1/5 1/3 1 3 以房养老 1/9 1/7 1/3 1 我们得到精神慰藉的特征值为 4.0347，由31nCIn得到30.0128CI 0.1,因此精神慰藉的不一致度在容许范围内，精神慰藉通过一致性检验。把权向量进行归一化并进行一致性检验，得=0.01711nCIn，则
29、不一致程度在容许范围之内，通过一致性检验。经过计算得出：0.2529,0.4663,0.2281,0.0527ts 可见，如果老人要考虑四种养老模式的优劣，这四种养老模式按照优劣的排序为：异地养老、家庭养老、社会保险养老、以房养老。5.3 对养老模式的分析对养老模式的分析 在上面的层次分析中，我们得到了异地养老模式下老年人生活满意度最高的结论，即在四种养老模式中，异地养老能够达到最好的养老效果。但是，异地养老的消费额较高，而且是面向少部分老人。接下来我们对这四种养老模式，即家庭养老、异地养老、社会保险养老和以房养老进行更全面的分析。5.3.1 对家庭养老模式的分析对家庭养老模式的分析 首先是家
30、庭养老。家庭养老在中国具有久远的历史根基，也是被大多数人所接受的养老模式。其一般格局是父母赡养其子女，子女具有独立的经济能力之后，对老人给予道德和法律义务上的照顾。因此，家庭的收入水平和支出水平直接地影响到养老的效果。我们收集了北京市第二次人口普查中家庭收入和支出的相关数据，见表 5.3.1。表 5.3.1 北京市城镇居民家庭基本情况 城镇居民家庭基本情况(2011 年)项目 全市平均（元）调查户数 5000 平均每户人口 2.7 就业人口数 7010 离退休人口数 3356 平均每户就业人数 1.4 平均每一就业者负担人数 1.5 平均每人可支配收入 32903 从表格中看出，平均每人可支配
31、收入为 32903 元。同时我们统计了 2011 年北京市居民消费性支出统计,得到如下统计图，见图 5.3.1.1。12 图 5.3.1.1 北京市居民消费性支出 对以上的消费进行求和统计,得到消费支出总额为 21984 元。与平均每人可支配收入(32903 元),相比较，家庭养老可以获得收入和支出较大的差值，即平均每人可以在除去必须的消费性支出外可以获得较多的可支配空间。图 5.3.1.2 2011 年北京市居民支出比例 在该饼状图中，可以看见居民在教育文化娱乐、医疗保健以及服务上分配了足够的支出比例，这样保障了老人在心理和健康方面的满意度。但是从表格 5.3.1 中可以看出，每户就业人数为
32、 1.4 人，每一就业人需负担 1.5 人的支出。这样对于就业人员造成了一定的经济压力和精神压力。同时，从心理方面，小一辈的子女们由于工作压力和经济压力，同时会减少与老一辈交流和沟通的时间。虽然在娱乐和医疗保健方面保证了足够的支出，但是也因此在心理上给老一辈造成了一定程度的缺憾。综上分析可得,家庭养老可以较好地保证老人良好的心理状况和健康状况，满足老人们在心理和健康上的经济需求。但是给子女带来了一定的经济压力和工作压力。由此带来的交流和沟通上的问题给老人在心理上造成的缺憾也是不容忽视的。13 5.3.2 对异地养老模式的分析对异地养老模式的分析 我们继续收集在第二次人口普查中的数据，得到老人在
33、不同年龄阶段受教育程度的数据，具体如下：表 5.3.2 各年龄阶段受教育程度 年龄 未上过学 小学 初中 高中 大学专科 大学本科 研究生 65-69 岁 22909 120213 165887 99010 46579 59347 2419 69-74 岁 51126 165240 105174 71107 34628 74788 1942 74-79 岁 79374 138933 63667 39408 21841 41168 1983 79-84 岁 59319 67900 27535 15960 8426 19490 1043 85 岁以上 38748 32035 12141 6930
34、3183 8938 461 由此我们分别作出不同年龄阶段受教育程度的饼状图:图 5.3.2.1 65-69 岁教育程度比例图 由饼状图 5.3.2.1 可知，65-69 岁阶段的老人受教育程度普遍偏低，受到高中程度教育及以上所占百分比少于百分之五十，仅仅只受过小学教育和初中教育的比例为 59.8%。此年龄段的老人相比于其他年龄段的老人按照生理上分析，具有更加健康的身体以及旺盛的活力。14 图 5.3.2.2 65-69 岁教育程度比例图 由饼状图 5.3.2.2 可知，69-74 年龄段的老人未上过学的比例远远大于 65-69 年龄段的未上过学的比例。此外，受教育程度的比例分布大致与 65-6
35、9 年龄段相同，同样满足受高等教育的比例小于未受过高等教育的比例。该年龄段的老人相比于 65-74 年龄段以及 75 岁以后的年龄段的老人相比，生理上的健康程度处于一个较为满意的程度。图 5.3.2.3 75 岁以后受教育程度比例 由饼状图 5.3.2.3 可知，75 岁以后年龄段受教育程度较 75 岁以前有很大的变化,受过高等教育程度的比例是大约是未受过高等教育的 1/3，未上过学和仅仅受过小学教育的老人占据了此年龄段的大部分比例。而且，此年龄段的老人在身体健康以及体力已经有了很大的退化，外出的意愿和可能性非常的低。综上对各个年龄段受教育程度的分析以及生理状况的比较,我们得出 65-74 年
36、龄段的老人受高等教育的比例比较高，而 75 岁以后的老人受高等教育程度的比例比较低，而且在 65-74 年龄段的老人生理状况比较好，异地养老的意愿以及可能性比较高,因此将异地旅游的老人群主要集中在 65-74 年龄段的老人。除了受到教育程度以及年龄上的限制，异地养老也受到费用这一因素的限制。因此我们继续分析 2011 年北京市居民的收入以及 2011 年旅游所需的经费。15 图 5.3.2.4 北京市 2011 年收入统计 根据参考文献可知，2011 年全国年度旅游经费在 2.16 万左右，分析图 5.3.2.4 可知，低收入户、中低收入户以及中等收入户的收入为 17252 元、26538 元
37、以及 32712 元，由图 5.3.2.4 可知，在满足衣食住行以及医疗保健的基本需求下，居民的消费为 16139 万元，因此在满足基本需求的前提下，异地养老的最低收入要求为 3.7 万元左右，对于这三种收入水平的住户，没有足够的经费去实现异地养老这种养老模式的经费需求，只有中高收入户和高收收入户能过承担这种模式下的经费压力。所以，异地养老受收入水平的限制很大。综上，我们得出异地养老受年龄、生理状况和收入水平的限制。虽然我们在层析分析法中得到异地养老的养老效果的满意度最高，但是异地养老的受到的限制比较大，只能面向少部分的老人，即收入较高、年龄段在 65-74 岁之间、生理状况比较好的老人。5.
38、3.3 对以房养老模式的分析对以房养老模式的分析 以房养老，是指老人将自己的产权房抵押或者出租出去，以定期取得一定数额养老金或者接受老年公寓服务的一种养老方式。这种模式下首先应该考虑的就是居民的消费和租金的平衡。通过分析 2008 年到 2010 年的租金资料，得到如下表格。表 5.2.3.1 2008-2010 年北京市年租金 年份 2008 2009 2010 租金（元）29977 28904 33585 根据 5.1.2.3 得到拟合的数据,我们得到北京市 2011 年均租金为 45214 元。据此，我们得到 2011 年租金和消费额的分别为 45214 元和 21984 元。因此以房养
39、老能够充分的满足消费的需求,自然而然可以保障医疗保健等的健康需求和心理需求。但同时以房养老有着很大的局限性。第一，适用人群。按照现有情况分析，符合条件的最有可能是独居或孤寡老人，或膝下无子女、子女定居国外的老人，这些老人没有继承等问题。16 第二，家境条件适中。当老年人的经济物质基础甚为雄厚时，就不会也不必考虑用房产养老；而老人的经济物质条件较差，或者没有自己独立的房屋，或者房屋的价值过低，也很难指望将其作为自己养老的资本。第三，所处地价较高。老人身居城市或城郊，尤其是欣欣向荣、经济快速增长的城市或城郊，住房的价值很高，且在不断增值之中，住房的变现转让也较为容易，适合房屋反向抵押贷款养老。但如
40、果住房地处农村，或经济发展缓慢，增值幅度不大的不发达地区，因价值低、不易变现等，将很难适用这一模式。需要强调的是，房屋反向抵押贷款养老方式尤其适合有独立产权房的、没有直接继承人的、中低收入水平的城市老人。5.3.4 对对社会社会养老养老保险保险模式的分析模式的分析 社会养老保险是国家依据相关法律法规规定，为解决劳动者在达到国家规定的解除劳动义务的劳动年龄界限或因年老丧失劳动能力而退出劳动岗位后的基本生活而建立的一种社会保险制度，目的是以社会保险为手段来保障老年人的基本生活需求，为其提供稳定可靠的生活来源。表 5.3.4 2011 年北京社会养老保险金和人均支出费用 北京市人均养老金或离退休金
41、8988 元 北京市人均消费性支出 21984 元 由表 5.3.4 可以看出，北京市人均消费性支出远大于人均养老金或离退休金，说明依靠社会养老保险的老人不能维持正常的生活开支。同时，由图 5.3.1.1 我们可以算出，北京市人均吃、穿、住的费用为 11095 元，据此，我们可以推断出，只依靠社会养老保险的老人，只能勉强维持基本的生活开支，并且生活得十分拮据。如果生活遇到了困难，老人会无能力解决，只能向子女、亲戚或政府求助，才能使生活继续下去。老人的生活和精神状态无法得到保障。所以，社会养老模式不是一种较合理的养老模式。所以，对于子女或是亲戚来说，要经常关心家中依靠社会保险生活的老人，多给予一
42、些基本的生活帮助，过节时多去看望老人，给老人带来精神的慰藉。同时，每年带老人去医院做身体检测，以保障老人的身体健康。对于政府来说，应该加大社会养老保险的投入，使老人能过上更加健康的生活。同时，为老年人建立相关的就医优惠政策，多给老年人提供文化娱乐活动，建立相关的文化娱乐中心，为老年人提供精神上的慰藉。17 5.4 给政府提出的工作报告给政府提出的工作报告 在中国这样一个重视家庭观念和孝道的国家，养老问题无疑值得关注。中国目前面临着严重的人口老龄化问题，老年人口数有增无减。社会养老问题将是我国不得不面对的重大问题。因而对现有的养老模式的分析与研究至关重要。我们以北京市为例，选取了家庭养老模式、异
43、地养老模式、社会保险养老模式和以房养老四种养老模式进行研究。影响老年人生活满意度的因素有很多，经过分析讨论，我们认为经济保障、生活照料和精神慰藉对老年人生活满意度造成的影响最大。我们查找相关数据，分别用北京市年度居民消费水平、年度房屋租赁价格、年度社会保险基金等相关指标代替影响四种养老模式的经济因素。接着我们用了层次分析的方法对这四种养老模式进行分析，得出了异地养老模式下老年人生活满意度最高的结论。但是由于异地养老模式下的平均花费额较高，只适用于少数有固定工资，有经济保障的老人。考虑到这个现实情况，我们继续查阅相关数据对这四种养老模式进行进一步的分析。通过分析，我们得出结果：1家庭养老可以较好
44、地保证老人良好的心理状况和健康状况，满足老人们在心理和健康上的经济需求。但是同时给子女带来了一定的经济压力和工作压力。由此带来的交流和沟通上的问题给老人心理上带来的缺憾也是不容忽视的。2异地养老受年龄限制，生理状况限制和收入水平的限制。虽然我们在层析分析法中得到异地养老的养老效果满意度最高，但是异地养老受到的限制比较大，只能面向少部分的老人，即收入较高、年龄段在 65-74 岁之间、生理状况比较好的老人。3以房养老能够充分的满足消费的需求,自然而然可以保障医疗保健等的健康需求和心理需求。但是以房养老也存在局限性，即适用于家境条件适中、所处地价较高的老年人群。4只依靠社会养老保险的老人，只能勉强
45、维持基本的生活开支。生活照料和精神方面更是无力承担。因此社会养老保险模式不是一种较合理的养老模式。作为子女和亲人，要多关心家中依靠社会保险生活的老人，多给予一些基本的生活帮助，多给老人带来精神的慰藉。同时，每年带老人去医院做身体检测，以保障老人的身体健康。对于政府来说，应该加大社会养老保险的投入，使老人能过上更加健康的生活。同时，为老年人建立相关的就医优惠政策，多给老年人提供文化娱乐活动，建立相关的文化娱乐中心，为老年人提供精神上的慰藉。18 六、模型的评价 6.1 模型的优点模型的优点（1）在分析养老模式之前，我们对中国老年人数进行了简单的分析，得出中国老龄化形式严峻，既反应了问题的背景，也
46、为下面问题的研究奠定了基础。（2）在数据的收集与处理方面，我们根据不同养老模式独有的指标，在中国统计年鉴和文献中找出了对应不同指标的数据，很好的反映了不同养老模式的特点，使模型的结果更加合理。（3）对于养老模式的评价，我们采用层次分析法对养老模式进行评价，避免了一些数据无法找到对结果造成的影响，使模型的结果相对合理。（4）在对养老模式进行评价之后，我们又分别对各种养老模式的利弊进行分析，从而更好地为政府提出建议。6.2 模型的缺点模型的缺点（1）对于数据的收集的方面，一些养老模式特定的指标难以找出相对应的数据，因此，某些方案层的判断矩阵采用了主观的 Satty 矩阵判断方法，使模型的结果具有较
47、差的客观性。（2）在对分别对养老模式的分析中，我们没有建立具体的数学模型，只是在数据的基础上，对养老模式进行了分析。19 七、参考文献 1姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.高等教育出版社，2003。2卓金武，魏永生，MATLAB 在数学建模中的应用，北京航空航天出版社.2011 年4 月。3王述智，张仕平.关于当前农村养老问题及其研究的思考，人口学刊，2001 年。4陈赛权，中国养老模式研究综述.人口学刊，2000 年。5范子文，对“以房养老”的理论探讨，北京农业职业学院学报，2008 年 7 月。6穆光宗，关于“异地养老”的几点思考，中共浙江省委党校学报，2010 年。7姜向群，季燕波，常斐.
48、北京市老年人异地养老意愿分析，2012 年。8成志刚，彭典，近十年我国农村社会养老保险问题研究综述，2008 年。9潘漪，陆杰华，农村土地养老状况及影响因素分析，中国人口科学.2004 年 12 月。10崔立志，灰色预测技术及其应用研究，南京航空航天大学，2010 年 3 月。11郭金玉，张忠斌，孙庆云.层次分析法的研究与应用，中国安全科学学报，2008年 5 月.12韩孟，高龄社会生态养老与生存发展，第五期中国现代化研究论坛文集，2007年 8 月。13唐旭，浅谈消费养老.企业导报，2012 年 2 月。14阮红松，谈谈“候鸟式养老”，时代金融.2012 年 10 月。15中华人民共和国国家
49、统计局，。20 八、附录 数据数据拟合拟合：clc,clear syms a b;c=a b;A=9119 10988 12167 13636 14835 16770 18640.3 20241.1 22154 25015 27761;B=cumsum(A);%原始数据累加 n=length(A);for i=1:(n-1)C(i)=(B(i)+B(i+1)/2;%生成累加矩阵 end%计算待定参数的值 D=A;D(1)=;D=D;E=-C;ones(1,n-1);c=inv(E*E)*E*D;c=c;a=c(1);b=c(2);%预测后续数据 F=;F(1)=A(1);for i=2:(n+
50、10)F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1)+b/a;end G=;G(1)=A(1);for i=2:(n+10)G(i)=F(i)-F(i-1);%得到预测出来的数据 end t1=2001:2011;t2=2001:2021;G plot(t1,A,o,t2,G)%原始数据与预测数据的比较 title(居民年消费水平,Fontsize,18);xlabel(年份);ylabel(消费额);set(gca,Fontsize,12.5);grid on;21 判断矩阵：判断矩阵：A 经济保障 生活照料 精神慰藉 经济保障 1 1/3 3 生活照料 3 1 9 精神慰藉 1/3