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1、二次函数的图象和性质第1页，共21页，编辑于2022年，星期四学习目标：1会用描点法画出二次函数二次函数 y=a(x-h)2+k 的的图图象；象；2通通过图过图象了解二次函数的象了解二次函数的图图象特征和性象特征和性质质学学习习重点：重点：观观察察图图象，得出象，得出图图象特征和性象特征和性质质第2页，共21页，编辑于2022年，星期四ya(x-)2a0a0图象开口对称轴顶点增减性二次函数y=a（x-）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线直线当当x=hx=h时，时，y y最小值最小值=0=0当当x=hx=h时，时，y y最大值最大值=0=0当x h h时，时，y y随随x x的
2、增大而增大的增大而增大当x h h时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小h0h0h0(,0)复习第3页，共21页，编辑于2022年，星期四抛物线抛物线y=a(x-)2是由抛物线是由抛物线y=axy=ax2 2向右向右（h h0 0）或向左（）或向左（h h0 0）平移）平移 个单个单位得到的。位得到的。h抛物线抛物线y=a x2k与抛物线与抛物线y=a x2的关系的关系小结第4页，共21页，编辑于2022年，星期四y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2上加上加下减下减左加左加右减右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。顶点顶点x x轴
3、上轴上顶点顶点y y轴上轴上问题问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？第5页，共21页，编辑于2022年，星期四例例3.3.画出函数画出函数 的图像的图像.指出它的开口指出它的开口方向、顶点与对称轴、方向、顶点与对称轴、x-4-3-2-1012解解:先列表先列表画图画图再描点画图再描点画图.-5.5-5.5-3-3-1.5-1.5-1-1-1.5-1.5-3-3-5.5-5.5探究二次函数探究二次函数y=a（x-）2+k图图象和性象和性质质第6页，共21页，编辑于2022年，星期四1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3
4、-4-5-10直线直线x=x=1 12 21 10 0-1-1-2-2-3-3-4-4x x解解:先列表先列表再描点、连线再描点、连线-5.5-5.5-3-3-1.5-1.5-1-1-1.5-1.5-3-3-5.5-5.5(1)(1)抛物线抛物线 的对称轴、顶点的对称轴、顶点、增减性、增减性?抛物线抛物线 的开口向下的开口向下,对称轴是直线对称轴是直线x=x=1 1,顶点是顶点是(1,1,1).1).第7页，共21页，编辑于2022年，星期四向向左左平移平移1 1个单位个单位向向下下平移平移1 1个单位个单位向向左左平移平移1 1个单位个单位向向下下平移平移1 1个单位个单位平移方法平移方法1
5、:1:平移方法平移方法2:2:1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10 x=x=1 1(2)(2)抛物线抛物线有什么关系有什么关系?第8页，共21页，编辑于2022年，星期四1052125108思考（1 1）归归纳纳y=a（x-）2+k图图像像特特征征及及性性质质？（2）抛抛物物线线y=a（x-）2+k与与抛抛物物线线y=ax2有什么关系？有什么关系？第9页，共21页，编辑于2022年，星期四ya(x-)2+ka0a0图象开口对称轴顶点增减性二次函数ya(x-)2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线直线当当x=hx=h时，时，y
6、 y最小值最小值=k=k当当x=hx=h时，时，y y最大值最大值=k=k当x h h时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大当x h h时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小(,k)第10页，共21页，编辑于2022年，星期四一般地一般地,抛物线抛物线y=a(xy=a(xh)h)2 2k k与与y=axy=ax2 2形状相同形状相同,位位置不同置不同.把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2向上向上(下下)向右向右(左左)平移平移,可以得到可以得到抛物线抛物线y=a(x y=a(x h)h)2 2k.k.平移的方向、距离要根据平移的方向、距离要根据h h、k k的值来决定的值
7、来决定.向向左左(右右)平移平移|h|h|个单位个单位向向上上(下下)平移平移|k|k|个单位个单位y=axy=ax2 2y=a(xy=a(xh)h)2 2y=a(xy=a(xh)h)2 2+k+ky=axy=ax2 2y=a(xy=a(xh)h)2 2+k+k向向上上(下下)平平移移|k|k|个单位个单位y=axy=ax2 2+k+k向向左左(右右)平移平移|h|h|个单位个单位平移方法平移方法:第11页，共21页，编辑于2022年，星期四y=ax2y=ax2+k y=a(x-h)2y=a(x-h)2 +k上下平移上下平移左右平移左右平移上上下下平平移移左左右右平平移移结论结论:一般地，抛物
8、线一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与与y=ax2形状相同，位置不同形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系第12页，共21页，编辑于2022年，星期四例题例题1 1二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上向上(1,(1,2)2)向下向下向下向下(3,7)(3,7)(2,(2,6)6)向上向上直线直线x=x=3 3直线直线x=1x=1直线直线x=3x=3直线直线x=2x=2(3,5)3,5)y=y=3(x3(x1)1)2 22 2y=4(xy=4(x3)3)2 27 7y=y=5(25(2x)x)2 26 61.1.完成下列表格完成下列表格:2.
9、2.请回答抛物线请回答抛物线y=4(xy=4(x3)3)2 27 7由抛物线由抛物线y=4xy=4x2 2怎样怎样平移得到平移得到?3.3.抛物线抛物线y=y=4(x4(x3)3)2 27 7能够由抛物线能够由抛物线y=4xy=4x2 2平移得到平移得到吗吗?第13页，共21页，编辑于2022年，星期四练习练习1 1y=2（x+3）2-2画出下列函数草图，并说出抛物线的开画出下列函数草图，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。值各是什么及增减性如何？。y=2（x-3）2+3y=2（x-2）2-1y=3（x+1）2+1第14
10、页，共21页，编辑于2022年，星期四例题例题2 2C(3,0)C(3,0)C(3,0)B(1B(1B(1，3)3)3)例例4.4.要修建一个圆形喷水池要修建一个圆形喷水池,在池中心在池中心竖直安装一根水管竖直安装一根水管.在水管的顶端安装在水管的顶端安装一个喷水头一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为与池中心的水平距离为1m1m处达到最高处达到最高,高度为高度为3m,3m,水柱落地处离池中心水柱落地处离池中心3m,3m,水水管应多长管应多长?A AAx xO Oy y123123解解:如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,点点(1,3)(1,3)是图中这
11、段抛物线的顶点是图中这段抛物线的顶点.因此可设因此可设这段抛物线对应的函数是这段抛物线对应的函数是这段抛物线经过点这段抛物线经过点(3,0)(3,0)0=a(3 0=a(31)1)2 23 3解得解得:因此抛物线的解析式为因此抛物线的解析式为:y=a(xy=a(x1)1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)当当x=0 x=0时时,y=2.25,y=2.25答答:水管长应为水管长应为2.25m.2.25m.3 34 4a=a=y=(xy=(x1)1)2 23 (0 x3)3 (0 x3)3 34 4第15页，共21页，编辑于2022年，星期四一个运动员推铅球，铅球出手点在一个运动员推铅球，铅球
12、出手点在A处，处，出手时球离地面，铅球运行所经出手时球离地面，铅球运行所经过的路线是抛物，已知铅球在运动员前过的路线是抛物，已知铅球在运动员前4处达到最高点，最高点高为处达到最高点，最高点高为3，你能，你能算出该运动员的成绩吗？算出该运动员的成绩吗？4米3米练习练习2 2第16页，共21页，编辑于2022年，星期四一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面高 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。问此球能否投中？问此球能否投中？3米8米4米4米第17页，共21页，编辑于2022年，星期四yx（4，4）（8
13、，3）在在出出手手角角度度和和力力度度都都不不变变的的情情况况下下,小小明明的的出出手手高高度度为为多多少时能将篮球投入篮圈少时能将篮球投入篮圈?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9第18页，共21页，编辑于2022年，星期四yX（8，3）（5，4）（4，4）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9在在出出手手角角度度、力力度度及及高高度度都都不不变变的的情情况况下下，则则小小明明朝朝着着篮篮球球架架再再向向前前平平移移多多少少米米后后跳跳起起投投篮篮也也能能将将篮篮球球投投入入篮篮圈？圈？(，），）第19页，共21页，编辑于2022年，星期四ya(x-)2+ka0a0图象开口对称轴顶点增减性
14、二次函数ya(x-)2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线直线当当x=hx=h时，时，y y最小值最小值=k=k当当x=hx=h时，时，y y最大值最大值=k=k当x h h时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大当x h h时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小(,k)小结第20页，共21页，编辑于2022年，星期四y=ax2y=ax2+k y=a(x-h)2y=a(x-h)2 +k上下平移上下平移左右平移左右平移上上下下平平移移左左右右平平移移结论结论:一般地，抛物线一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与与y=ax2形状相同，位置不同形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系第21页，共21页，编辑于2022年，星期四