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1、计算机组成原理天津大学第二章第二章 计算机中的数据表示计算机中的数据表示 计算机硬件能够直接识别可以被计算机硬件能够直接识别可以被指令系统直接调用的数据类型指令系统直接调用的数据类型，包括包括数值数据和非数值数据数值数据和非数值数据两大类。两大类。计算机组成原理天津大学2.1 数值数据的表示数值数据的表示2.1.1 2.1.1 进位计数制及相互转换进位计数制及相互转换一进位计数制一进位计数制 任意一个数任意一个数N=Nn-1Nn-2N1N0.N-1N-2N-m，则其值为，则其值为计算机组成原理天津大学二进位计数制之间的转换二进位计数制之间的转换1将将R进制的数转换为十进制数进制的数转换为十进制
2、数 将各位数字与它的权相乘，其积相加将各位数字与它的权相乘，其积相加,就可得到十进制数。公式为：就可得到十进制数。公式为：计算机组成原理天津大学例例2.1：(111.001)2=122+121+120+12-3 =(7.125)10(15.4)8 =1 81+5 80+4 8-1 =(13.5)10(3A.D)16=3 161+10 160+1316-1 =(58)10计算机组成原理天津大学2将十进制的数转换为将十进制的数转换为R进制数进制数 （1）整数部分的转换（除基取余法）：）整数部分的转换（除基取余法）：将被转换的十进制数连续除以将被转换的十进制数连续除以R取其余取其余数，直到商等于数，
3、直到商等于0为止。每次所得余数为止。每次所得余数即为即为R进制的数（第一次余数为低位）。进制的数（第一次余数为低位）。计算机组成原理天津大学例例2.2 将将N=(123)10 转换成二进制数。转换成二进制数。则则(123)10=(1111011)2 计算机组成原理天津大学 当需要转换的十进制数值比较大时，可当需要转换的十进制数值比较大时，可采用以下两种方法进行转换：采用以下两种方法进行转换：1)在需要转换的十进制数中，找出最大的具有在需要转换的十进制数中，找出最大的具有2的幂的数，在相应位置写的幂的数，在相应位置写1；从十进制数中；从十进制数中减去这个数，继续这样做，直至转换完成。减去这个数，
4、继续这样做，直至转换完成。例：例：123=26+25+24+23+21+20=11110112)将十进制数先转换为八进制数，然后再转换将十进制数先转换为八进制数，然后再转换为二进制。为二进制。计算机组成原理天津大学（2）小数部分的转换（乘基取整法）小数部分的转换（乘基取整法）将被转换的十进制数连续乘以将被转换的十进制数连续乘以R，取其，取其整数，直到小数部分为整数，直到小数部分为0或达到要求的或达到要求的精度为止（第一次整数为高位）。精度为止（第一次整数为高位）。计算机组成原理天津大学例例2.5 将将N=(0.625)10 转换成二进制小数转换成二进制小数则：则：(0.625)10=(0.10
5、1)2计算机组成原理天津大学例例2.6 将将N=(0.385)10转换成八进制小数转换成八进制小数则：则：(0.385)10=(0.305)8计算机组成原理天津大学3.二进制与八、十六进制数之间的转换二进制与八、十六进制数之间的转换（1）二进制数转换为八、十六进制数）二进制数转换为八、十六进制数方法：以小数点为中心，向左右两边延方法：以小数点为中心，向左右两边延伸。八进制按三位一组划分，十六进制按伸。八进制按三位一组划分，十六进制按四位一组划分。四位一组划分。计算机组成原理天津大学例例2.7(110101.001)2=(65.1)8=(35.2)16(0.011111101)2=(0.375)
6、8=(0.7E8)16计算机组成原理天津大学（2）八、十六进制数转换为二进制数）八、十六进制数转换为二进制数方法：将每一位八方法：将每一位八/十六进制数用三位十六进制数用三位/四位二进制数代替即可。四位二进制数代替即可。例例2.8 (46.5)8=(100110.101)2(86.A)16=(10000110.1010)2计算机组成原理天津大学关于二进制的一个简单游戏计算机组成原理天津大学2.1.2 数的符号表示数的符号表示一、真值与机器数一、真值与机器数 真真值值：带带正正、负负号号的的数数的的实实际际值值，如如3，5等。等。机机器器数数：数数在在计计算算机机中中的的二二进进制制表表示示形式
7、。形式。计算机组成原理天津大学二、二、数的符号表示数的符号表示1、无符号数、无符号数 机机器器数数的的所所有有二二进进位位都都用用来来表表示示数数值，称为无符号数。值，称为无符号数。0000000011111111（0 255）计算机组成原理天津大学 如用如用an-1an-2a1a0表示一个无符号表示一个无符号 整数，则其值为整数，则其值为 计算机组成原理天津大学 2、有符号数、有符号数 数的符号也数值化，一般规定数的符号也数值化，一般规定0代代表正数，表正数，1代表负数。通常这个符号放在代表负数。通常这个符号放在二进制数的最高位，称为二进制数的最高位，称为符号位符号位。计算机组成原理天津大学
8、三三、有符号数的编码有符号数的编码 1、原码表示法、原码表示法(符号绝对值表示法符号绝对值表示法)机器数的最高一位表示符号，机器数的最高一位表示符号，0表示表示 正数，正数，1表示负数，其余部分为数的幅值表示负数，其余部分为数的幅值 （绝对值）。（绝对值）。举例：举例：x=0.1011 x原原=x=-0.1011 x原原=计算机组成原理天津大学 x=+1011 x原原=x=-1011 x原原=一般形式：一般形式：X=0.Xn .X1 X原原=0.Xn .X1 X=0.Xn .X1 X原原=1.Xn .X1 X=Xn .X1 X原原=0Xn .X1 X=Xn .X1 X原原=1Xn .X1计算机
9、组成原理天津大学（1）原码定义（假设机器数包括符号位）原码定义（假设机器数包括符号位 n+1位）位）X=Xn.Xn-1Xn-2X0（小数）（小数）X=XnXn-1Xn-2X0（整数）（整数）计算机组成原理天津大学X原原=X原原=X 0X11 X=1+|X|1X0X 0X2n2n X=2n+|X|2nX0小数小数整数整数计算机组成原理天津大学（2）原码与真值的转换）原码与真值的转换 由真值求原码：当真值为正时，由真值求原码：当真值为正时，原码与真值相同；当真值为负时，原码与真值相同；当真值为负时，只需将负号用只需将负号用1表示，数值部分不表示，数值部分不 变。变。由原码求真值：正数原码与真值相由
10、原码求真值：正数原码与真值相 同，负数只需将原码的符号位同，负数只需将原码的符号位1改改 用负号用负号“”表示，数值部分不变。表示，数值部分不变。计算机组成原理天津大学 例例2.11 X原原0.1101 X0.1101 X原原1.1101 X0.1101X原原01101 X+1101X原原11011 X1011计算机组成原理天津大学（3 3）原码的特点）原码的特点(假设机器数包括符号假设机器数包括符号位位n+1位位)0 0的表示的表示 小数小数 整数整数 +0原原=+0原原=-0原原=-0原原=计算机组成原理天津大学 小数小数整数整数原码的表数范围原码的表数范围清楚的解释为什么？计算机组成原理
11、天津大学2、补码表示法、补码表示法 （1）模和同余的概念。）模和同余的概念。模：一个计量器的容量或一个计量模：一个计量器的容量或一个计量单位叫做模或模数，记作单位叫做模或模数，记作M。例如，对于时钟，模为例如，对于时钟，模为12。6-3=6+9(mod 12)计算机组成原理天津大学同同余余：设设两两整整数数a、b可可用用同同一一个个正正整整数数M去去除除而而余余数数相相同同，则则称称a、b对对M同余，记作同余，记作 3=9(mod 12)计算机组成原理天津大学 从上面的例子可以看出：从上面的例子可以看出：只要知道模的大小，求负数的补码只要知道模的大小，求负数的补码 的方法是模加上该负数。的方法
12、是模加上该负数。例例 12+(-3)=9；减法运算可以转换为加法运算减法运算可以转换为加法运算 例例 9+(-5)=9-5=9+7=4(mod 12)X补补M+X。计算机组成原理天津大学（2）补码定义）补码定义(包括符号位包括符号位n+1位）位）2n+1+X 2nX0 小数小数 X 0X1 2+X 1X0 X补补=整数整数 X 0X2n X补补=清楚的解释为什么？计算机组成原理天津大学（3）补码与真值的转换）补码与真值的转换由真值求补码由真值求补码 根据定义（根据定义（）由由X原原求补码求补码 正数：补码和原码相同正数：补码和原码相同 负数：原码除符号位外求反加负数：原码除符号位外求反加1 简
13、简便便方方法法：符符号号位位不不变变，数数值值部部分分由由低低位位向向高高位位，对对遇遇到到的的0和和第第一一个个1取取其其原原码码，从第一个从第一个1以后直到最高位均按位取其反码。以后直到最高位均按位取其反码。简便方法的道理？计算机组成原理天津大学例例1：x=0.1011 x=-0.1011 x原原=x原原=x补补=x补补=例例2：x=+1011 x=-1011 x原原=x原原=x补补=x补补=例例3：x原原=11010 x原原=11100 x补补=x补补=计算机组成原理天津大学由补码求真值由补码求真值(负数负数)补补码码除除符符号号位位外外求求反反加加1得得到到原原码码，然后由原码得出真值
14、。然后由原码得出真值。例：例：x补补=10101，x原原=x=补码表数范围补码表数范围 根据补码定义根据补码定义 1补补=2 1=10.000 1.000 =1.000计算机组成原理天津大学 128补补=28 128=100000000 10000000=10000000 +0补补=0.000 +0补补=0000 -0补补=0.000 -0补补=0000 小数小数整数整数 计算机组成原理天津大学3、反码表示法、反码表示法 小数小数 X反反=X 0X1(2 2 n)+X 1X0 X 0X2n(2n+1 1)+X 2nX0 X反反=整数整数计算机组成原理天津大学则则 X=0.1011 X反反=0.
15、1011 X=0.1011 X反反=1.0100 +0反反=0.00 +0反反=000 0反反=0反反=反反码码表表示示中中零零有有两两种种编编码码，表表数数范围对称。范围对称。4、三种编码的比较、三种编码的比较计算机组成原理天津大学2.1.3 数的小数点表示数的小数点表示 一一、定点表示法定点表示法 定点表示约定所有数据小数点定点表示约定所有数据小数点 的位置固定不变。的位置固定不变。1、定点小数、定点小数 小数点固定在最高有效数字之前，小数点固定在最高有效数字之前，符号位之后，则该数为一纯小数。符号位之后，则该数为一纯小数。计算机组成原理天津大学 NS.N1 N2.Nn 2、定点整数、定点
16、整数 小数点固定在最低有效数字之后，则小数点固定在最低有效数字之后，则该数为整数。该数为整数。NSN1 N2Nn.计算机组成原理天津大学小数小数 原码原码 整数整数 3、定点数的表数范围、定点数的表数范围(设字长为设字长为32位位)补码补码 反码反码 计算机组成原理天津大学 例如例如368000000000000可表示成可表示成 3.681014，而而0.0000000000000368可可表表示示成成3.6810 14。浮浮点点表表示示法法就就是是一一个个数数的的小小数数点点的的位置不固定，可以浮动。位置不固定，可以浮动。二、浮点表示法二、浮点表示法 1、表示形式、表示形式计算机组成原理天津
17、大学 E(Exponent)：浮点数的阶码，定点：浮点数的阶码，定点整数。早期的计算机系统整数。早期的计算机系统E用补码表示，用补码表示，此时需设置符号位。现在计算机此时需设置符号位。现在计算机E多用移多用移码表示。码表示。M(Mantissa)：浮点数的尾数，定点：浮点数的尾数，定点小数，尾数的符号表示数的正负，用补码小数，尾数的符号表示数的正负，用补码或原码表示。或原码表示。任一数任一数N可表示成：可表示成：计算机组成原理天津大学 R(Radix)：阶阶码码的的底底，又又称称为为尾尾数数的的基基值值。基基值值R在在计计算算机机中中一一般般为为2、8、或或者者16，是是个个常常数数，在在系系
18、统统中中是是事事先先隐隐含含约约定定的的，不不需需要要用代码表示。用代码表示。符号符号阶码阶码尾尾 数（有效数字）数（有效数字）计算机组成原理天津大学 2、表数范围、表数范围 设设l和和n分分别别表表示示阶阶码码和和尾尾数数的的位位数数(均均不不包包括括符符号号位位)基基值值为为2，阶阶码码和和尾尾数数均均采采用用原原码码表表示示，则则浮浮点点数数的的表表数数范围是：范围是：计算机组成原理天津大学 如如用用32位位表表示示一一个个浮浮点点数数，数数符符占占1位位，阶阶码码8位位，尾尾数数23位位，则则此此浮浮点点数数的表数范围为：的表数范围为：取值范围近似为取值范围近似为2127，相当于，相当
19、于1038。计算机组成原理天津大学定点数定点数 32位定点整数的表示范围位定点整数的表示范围 32位浮点数的表示范围位浮点数的表示范围 计算机组成原理天津大学 阶码指出小数点在数据中的实际阶码指出小数点在数据中的实际位置，决定浮点数的表数范围；尾数位置，决定浮点数的表数范围；尾数给出有效数字的位数，它决定浮点数给出有效数字的位数，它决定浮点数的表数精度。的表数精度。计算机组成原理天津大学阶码，尾数位数的阶码，尾数位数的 分配分配最小最小正数正数最大最大正数正数有效数有效数字位数字位数 e=2 m=42-7152 4 e=3 m=32-10 112 3 e=4 m=22-1724576 2 表表
20、2-1 非规格化浮点数表数范围非规格化浮点数表数范围 计算机组成原理天津大学3、基值选择、基值选择 N=8E M N=16E M R=2 -263(1-2-24)N 263(1-2-24)R=16 -1663(1-2-24)N 1663(1-2-24)精度降低精度降低计算机组成原理天津大学4、规格化浮点数及其表数范围、规格化浮点数及其表数范围 一个浮点数可以有多种形式，为使一个浮点数可以有多种形式，为使浮点数表示唯一，提高表数及运浮点数表示唯一，提高表数及运算精度，采用规格化浮点表示。算精度，采用规格化浮点表示。计算机组成原理天津大学 当当R=2时，规格化表示的尾数形式为：时，规格化表示的尾数
21、形式为：正数正数 0.1(表示任意表示任意)负数负数(原码原码)1.1 负数负数(补码补码)1.0 规格化操作：规格化操作：当运算结果尾数不满足规格当运算结果尾数不满足规格化条件时，需将尾数左移以实现规格化，尾数化条件时，需将尾数左移以实现规格化，尾数每左移一位（小数点位置不动）阶码减每左移一位（小数点位置不动）阶码减1，直，直至尾数满足规格化条件为止至尾数满足规格化条件为止。计算机组成原理天津大学规格化浮点数的表数范围规格化浮点数的表数范围:R=2，正数正数：1/2m0 负数：负数：原码，原码，-1m -1/2 m0(原码原码)补码，补码，-1m -1/2 m0(补码补码)R=8，1/8 m
22、 1 或或 -1m -1/8 R=16，1/16 m 1 或或-1 m-1/16计算机组成原理天津大学例例：求求规规格格化化浮浮点点数数的的表表示示范范围围。阶阶码码7位位，阶阶符符1位位，尾尾数数23位位，R=2，阶阶码码和和尾尾数数均均采采用用补补码码表表示示，则则表表数数范围为：范围为：正数正数 负数负数计算机组成原理天津大学 移码定义移码定义 如如果果阶阶码码为为n+1位位(包包括括一一位位符符号号位位)，则其移码定义为则其移码定义为 X移移=2n+X，-2nX2n-1 如如n=7，则，则X移移=128+X，-128X127 5、移码、移码 便于浮点运算阶码比较及表示机器零便于浮点运算
23、阶码比较及表示机器零计算机组成原理天津大学 x移移 x 0 1282551280127图图2-7 数轴上的移码表示数轴上的移码表示 计算机组成原理天津大学 移码性质移码性质 移码与真值、补码的对应关系移码与真值、补码的对应关系二进制真值二进制真值X X补补 X移移1000000001111111 00000001 00000000 00000001 01111111 10000000 10000001 11111111 00000000 00000001 01111111 00000000 00000001 01111111 10000000 10000001 1111111101127128
24、129255128127101127计算机组成原理天津大学 N=MRE 1)M=0，N=0;2)E 2n时，时，M0，一般以，一般以N=0处理。处理。机器机器0：同时具有：同时具有0的尾数和最小阶码的尾数和最小阶码1 00 0 0 00 00 0 0 0补码移码计算机组成原理天津大学 x移移+y移移+2n=2n+(x+y)=x+y移移 x-y移移=x移移-y移移+2n=2n+(x-y)移码加减运算移码加减运算 又又y补补=2n+1+y (整数补码整数补码)则可得则可得x移移+y补补=x+y移移 (mod 2n+1)同理同理x移移+-y补补=x-y移移计算机组成原理天津大学图图2-8 IEEE7
25、54格式格式 6、IEEE754标准标准计算机组成原理天津大学参数参数 单精度单精度 总位数总位数 阶码位数阶码位数 阶码偏移阶码偏移 最大阶码最大阶码 最小阶码最小阶码 数的范围数的范围 尾数位数尾数位数 阶码数目阶码数目 尾数数目尾数数目 值的数目值的数目 32 8 127 127 126 1038 23 254 223 1.98231计算机组成原理天津大学符号符号 偏移阶码偏移阶码尾数尾数 值值正零正零负零负零正无穷大正无穷大负无穷大负无穷大非数非数(N(Na aN)N)正规格化非零数正规格化非零数负规格化非零数负规格化非零数正非规格化数正非规格化数负非规格化数负非规格化数01010或或
26、1010100255（全（全1）255（全（全1）255（全（全1）0 E 2550 E 255000000 0fff 0f 000-NaN2E-127(1.f)2E-127(1.f)2E-126(0.f)2E-126(0.f)计算机组成原理天津大学 2.1.4 十进制数据表示十进制数据表示 一、非压缩十进制数格式一、非压缩十进制数格式 二、压缩十进制数格式二、压缩十进制数格式计算机组成原理天津大学2.2 非数值数据的表示非数值数据的表示2.2.1、逻辑数据逻辑数据2.2.2、字符及字符串的表示、字符及字符串的表示一、一、ASCII二、二、UNICODE三、汉字编码三、汉字编码 1、汉字输入码、汉字输入码计算机组成原理天津大学 (1)数字编码数字编码 (2)字音编码字音编码 (3)字形编码字形编码 (4)形音编码形音编码 2、汉字交换码、汉字交换码 GB2312-80信息交换用汉字编信息交换用汉字编 码字符集码字符集 基本集，简称国标码。基本集，简称国标码。3、汉字内码、汉字内码 计算机组成原理天津大学图图2-10 汉字字形点阵汉字字形点阵 4、汉字字形码、汉字字形码1616、2424、3232