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1、第第2 2章章 流变学的基本概念流变学的基本概念1.应变应变(Strain)1.11.1 各向同性的压缩和膨胀各向同性的压缩和膨胀 在各向同性压缩和膨胀中，任何形状在各向同性压缩和膨胀中，任何形状的试样都变为几何形状相似但尺寸较大的的试样都变为几何形状相似但尺寸较大的试样。试样。以一个立方柱体为例：以一个立方柱体为例：起始各边长为起始各边长为a,b,c;a,b,c;膨胀后各边长分膨胀后各边长分别为别为a,b,c(a,b,c(如图如图2-1)2-1)。a=a =a/a b=b =b/b c=c =c/c 1,1,试样膨胀；试样膨胀；1,1,试样被压缩；试样被压缩；称为伸缩比；称为伸缩比；3 3则
2、可则可表示体积的变化。表示体积的变化。xyz图图 2-12-1 各向同性膨胀各向同性膨胀在变形很小的情况下，在变形很小的情况下，接近接近1。=1+=-1=(a-a)/a=(b-b)/b=(c-c)/c 1 是边长是边长变化量与原始长度之比。变化量与原始长度之比。0，试样膨胀；试样膨胀；0，试样被压缩。试样被压缩。体积的变化分数体积的变化分数(V/V)，V是原始是原始体积，体积，V是体积的变化量。是体积的变化量。V/V=3-1=(1+)3-1=3+3 2+3 由于由于 1，故：故：V/V 3 即体积的分数改变即体积的分数改变(V/V)是边长的分是边长的分数变化数变化()的三倍。的三倍。各向同性膨
3、胀是均匀的变形，物体内各向同性膨胀是均匀的变形，物体内任何体积单元都变化任何体积单元都变化 3倍。倍。1.2 拉伸和单向压缩拉伸和单向压缩 在拉伸中，试样在拉伸方向的长度增加在拉伸中，试样在拉伸方向的长度增加而在另外两个方向上的长度缩短。而在另外两个方向上的长度缩短。以一个矩形的试样为例：以一个矩形的试样为例：矩形边长分别为矩形边长分别为l,b,c(l,b,c(如图如图2-2)图图 2-2 试样拉伸试样拉伸 拉伸后拉伸后,边长分别变为边长分别变为l,b,c:l=l b=b c=c 称为伸长比。体积变化分数为：称为伸长比。体积变化分数为：V/V=2-1 如形变较小，则有：如形变较小，则有：=1+
4、1 =1-1 =(l-l)/l;=(b-b)/b=(c-c)/c 为为长度的分数增量，长度的分数增量，为侧边长的为侧边长的分分数减量。体积的变化分数：数减量。体积的变化分数：V/V=(1+)(1-)2-1由于由于 1，1，0，0压缩时，压缩时，1，0，0 这种变形是均匀的。即试样内任一体这种变形是均匀的。即试样内任一体积单元都经历完全相同的变形。积单元都经历完全相同的变形。1.3 简单剪切和简单剪切流动简单剪切和简单剪切流动在简单剪切中，试样的变形如图在简单剪切中，试样的变形如图2-32-3所示。所示。图图 2-32-3 简单剪切实验简单剪切实验 =w/l=tan 称为剪切应变。如应变很小，可
5、近似认为称为剪切应变。如应变很小，可近似认为 =对液体而言：对液体而言：2.应力应力(Stress)单位面积上所受的力称之为应力。单位面积上所受的力称之为应力。t=df/ds 由于力是均匀的，应力可表示为由于力是均匀的，应力可表示为t=f/s。3.应力的分量表示法和应力张量应力的分量表示法和应力张量 表征应力不但要有大小而且还要有方表征应力不但要有大小而且还要有方向。向。还有什么呢？还有什么呢？应力的分量可完全描述应力的方向、应力的分量可完全描述应力的方向、大小和作用面。大小和作用面。应力的分量用两个下标表示。第一应力的分量用两个下标表示。第一个下标表示应力的作用面，第二个下标个下标表示应力的
6、作用面，第二个下标则表示应力的方向则表示应力的方向(如图如图2-4)。图图 2-4 应力张量的分量应力张量的分量 从从图中图中可以看出应力张量有九个分量，可以看出应力张量有九个分量，二个下标字母相同的称为法向分量；两个下二个下标字母相同的称为法向分量；两个下标字母不同的分量称为切向分量。标字母不同的分量称为切向分量。在在直角坐标系中：直角坐标系中：在其它坐标系中：在其它坐标系中：在柱面坐标中在柱面坐标中应力张量用矩阵表示为应力张量用矩阵表示为在球面坐标中在球面坐标中应力张量用矩阵表示为应力张量用矩阵表示为九个九个应力分量中有三对是相等的。应力分量中有三对是相等的。txy=tyx txz=tzx
7、 tyz=tzy应力张量中应力张量中只有六个是独立的。只有六个是独立的。以简单剪切证明：以简单剪切证明：txy=tyx图图 2-52-5 简单剪切中的应力简单剪切中的应力应力分量为应力分量为:tyx=f/A 设物体内一个无限小的体积单元，边长设物体内一个无限小的体积单元，边长分别为分别为dx,dy,dz(如图如图2-6)。作用在顶面上的。作用在顶面上的力为力为tyxdxdz,作用在底面上的力则作用在底面上的力则为为-tyxdxdz。图图 2-6 简单剪切中力的平衡简单剪切中力的平衡这两个力产生顺时针方向的力矩这两个力产生顺时针方向的力矩tyxdxdydz。这时在右面这时在右面x面上有一个向上面
8、上有一个向上(y轴方向轴方向)的力的力txydydz作用着，左面则有一个向下作用着，左面则有一个向下的力的力-txydydz作用作用(如图如图2-7)。在。在y轴方向上轴方向上它们是平衡的，但它们产生一个反时针方它们是平衡的，但它们产生一个反时针方向的力矩向的力矩txydxdydz。这时顺时针方向的总这时顺时针方向的总力矩力矩dL为：为：dL=tyxdxdydz-txydxdydz 图图 2-7 剪切互等剪切互等 要使该体积单元平衡，总力矩要使该体积单元平衡，总力矩dL必须为必须为0,0,即即:tyx=txy。同理可以证明同理可以证明:tyz=tzy,txz=tzx,在在简单剪切中，应力张量为
9、简单剪切中，应力张量为4.简单实验中的应力张量简单实验中的应力张量 4.1 拉伸实验拉伸实验 txx=f/A 且且 tx=txx,txy,txz=f/A,0,0 ty=tyx,tyy,tyz=0,0,0 tz=tzx,tzy,tzz=0,0,0其应力张量：其应力张量：4.2 各向同性的压缩各向同性的压缩 如果应力矢量无论在任何方向上总是如果应力矢量无论在任何方向上总是与分隔面垂直，且在某给定点上的大小与分与分隔面垂直，且在某给定点上的大小与分隔面的方向无关，则说它是各向同性的。隔面的方向无关，则说它是各向同性的。设设n是与分隔面垂直而且方向是向外的是与分隔面垂直而且方向是向外的一个单位矢量，这
10、种各向同性的应力可表示一个单位矢量，这种各向同性的应力可表示为为:tn=-np式中：式中：p为压力。各向同性的应力也叫静压为压力。各向同性的应力也叫静压力。力。讨论一个无限小的体积单元在讨论一个无限小的体积单元在x轴上的轴上的力。作用在右侧面上的力力。作用在右侧面上的力 fxr为为:fxl=-nrP A 式中，式中，nr为单位矢量，方向与右侧面垂直。为单位矢量，方向与右侧面垂直。作用在左侧面的力作用在左侧面的力 fxr为：为：fxr=-nlP A由于由于nl=-nr，所以所以x轴上的合力：轴上的合力：fxr+fxl=0图图 2-8 各向同性压缩时力的平衡各向同性压缩时力的平衡 同样可以证明同样
11、可以证明y轴和轴和z轴方向也是如此。轴方向也是如此。在各向同性压缩实验中，应力在任何方在各向同性压缩实验中，应力在任何方向都与作用面垂直而且大小相同，在笛卡尔向都与作用面垂直而且大小相同，在笛卡尔坐标中：坐标中：txx=tyy=tzz=p应力张量为应力张量为:5.接触力接触力(内力内力)接触力是物体内的一部分通过假想的接触力是物体内的一部分通过假想的分隔面作用在相邻部分上的力。分隔面作用在相邻部分上的力。设在物体内部有一点设在物体内部有一点Q，分析分析Q点的受点的受力情况力情况(如图如图2-9)2-9)。图图 2-92-9 接触力接触力单位面积单位面积 dA上所受到的力为：上所受到的力为：tx
12、x=f/A 上述分隔面采用直角坐标系的平面，如上述分隔面采用直角坐标系的平面，如分隔面分隔面与与z轴平行但与轴平行但与y轴成轴成 角角(不等于不等于90900 0)()(如图如图2-10)2-10)。图图 2-102-10 任意分隔面时的接触角任意分隔面时的接触角应力矢量应力矢量t 不等于不等于tx,t 分解为两个分量：与分解为两个分量：与作用面垂直作用面垂直(tn)；与作用面平行与作用面平行(ts)(如图如图2-11)2-11)t=txcos=(f/Acos),0,0图图 2-112-11 应力矢量的分解应力矢量的分解 tn=t cos ts=t sin t =txxcos tn=txxco
13、s2 ts=txxcos sin 当当=0时，时，tn有最大值有最大值txx，而，而ts有最小值有最小值(0);当当=450时，时，ts有最大值有最大值(txx/2)。6.应变张量应变张量 物体的变形可以用位移矢量物体的变形可以用位移矢量u来来描述。描述。在在笛卡尔坐标笛卡尔坐标中中,设有点设有点P1，变形前变形前 坐标位置为坐标位置为(x,y,z)；变形后变形后 坐标变为坐标变为(x+Ux,y+Uy,z+Uz)图图 2-12 应变应变变形前点变形前点P1和和P2的相对位移用矢量表示：的相对位移用矢量表示：P1P2=dx,dy,dz变形后点变形后点P1和和P2的相对位移用矢量表示：的相对位移用
14、矢量表示：P1P2=dx+dUx,dy+dUy,dz+dUz与与P1很接近的点很接近的点P2变形前变形前 坐标为坐标为(x+dx,y+dy,z+dz)变形后变形后 坐标为坐标为(x+dx+Ux+dUx,y+dy+Uy+dUy,z+dz+Uz+dUz)其其位移分量为位移分量为(Ux+dUx,Uy+dUy,Uz+dUz)变形前后变形前后P1和和P2的相对位置发生变化，的相对位置发生变化，其变化量为其变化量为dUx，dUy，dUz分别为相对位移分别为相对位移在三个轴上的分量。如果在三个轴上的分量。如果dx,dy和和dz为无限为无限小量：小量：这理有这理有Ux/x,Ux/y,等九个分量，等九个分量，可
15、定义如下量：可定义如下量：其中，其中，exx表示表示x方向的位移对方向的位移对x坐标的变坐标的变化率化率,eyx而表示而表示x方向的位移相对于方向的位移相对于y坐标的变坐标的变化率化率.称为切应变分量。称为切应变分量。对任意的应变，可以用对任意的应变，可以用exx,eyy,ezz,exy,eyz,exz六个应变分量来描述。这样的定义六个应变分量来描述。这样的定义叫工程应变。叫工程应变。用张量来描述变形，张量表示法中的用张量来描述变形，张量表示法中的切应变分量定义为工程应变的切应变分量定义为工程应变的1/21/2。应变的张量表示式：应变的张量表示式：在笛卡尔坐标中在笛卡尔坐标中 (1)对各向同性
16、压缩的试样。对各向同性压缩的试样。设物体内有一点，坐标为设物体内有一点，坐标为(x,y,z)(x,y,z)，压压缩后坐标变为缩后坐标变为(x,y,z)(x,y,z)，则则:x=x(1+)y=y(1+y)Z=z(1+z)由此可知：由此可知：exx=eyy=ezz=exy=eyz=exz=0(2)(2)对拉伸试样对拉伸试样 设物体内有一点，拉伸前的坐标为设物体内有一点，拉伸前的坐标为(x,y,z)(x,y,z)，拉伸后的坐标变为拉伸后的坐标变为(x,y,z)(x,y,z)，则则:x=x(1+)y=y(1-)z=z(1-)因此：因此：exx=；eyy=ezz=-exy=eyz=exz=0(3)(3)对简单剪切对简单剪切 x=x+y y=y z=z不等于零的应变分量：不等于零的应变分量：exy=eyx=体积的分数变化可用膨胀分数体积的分数变化可用膨胀分数 表示：表示：=exx+eyy+ezz各向同性膨胀：各向同性膨胀：=3 拉伸和单向压缩：拉伸和单向压缩：=-2 7.7.均质性和各向同性均质性和各向同性n如果材料的性质是均匀的，则材料是均如果材料的性质是均匀的，则材料是均质的。质的。n如果材料的性质与方向无关，则材料是如果材料的性质与方向无关，则材料是各向同性的。各向同性的。