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1、第五章 梁的侧扭屈曲第一节 前言影响梁弹性侧扭屈曲临界荷载的主要因素：1。截面形状和尺寸截面尺寸比值2。荷载的类型及其在截面上的作用点位置3。支承条件和相邻杆件约束的影响4。初始缺陷第二节 纯弯曲时梁的侧扭屈曲固定坐标oxyz移动坐标o一 中性平衡方程计算假设：1。梁处于弹性工作阶段，材料为各向同性；2。弯曲和扭转变形时，梁截面形状保持不变；3。微小变形；4。沿跨度方向，梁截面是均匀的；5。不考虑残余应力和初弯曲等缺陷的影响；6。截面在弯曲平面内的抗弯刚度很大，屈曲前弯曲变形 的影响可略去不计。由(4-22)式可得梁的约束扭转方程为：由前面得到：将(c)式代入(a)和(b)式后得（51）将第二
2、式对z求导二次，第三式对z求导数一次后得双轴对称截面梁的中性平衡方程：（52）也可由偏心压杆弯扭屈曲中性平衡方程式(4-49)来建立：将P0、My=0和MxM0代入(4-49)式得：这是任意开口薄壁截面梁在最大刚度平面yz内承受纯弯曲时的中性平衡方程对于双轴对称截面或以x轴为对称轴的单轴对称截面y0，上式即化为(5-2)式。二 临界弯矩对(5-3)式的第一式积分二次得：对于两端简支边界条件，在z=0和z=l处应满足u=u”=”=0，于是A=B=0，上式可写成：代入式(5-3)的第二式后可得扭角的常微分方程:通解为：式中：根据简支边界条件，由(e)式可得积分常数A、B、C和D的线性齐次代数方程为
3、：稳定特征方程为：即因此：将(m)式代入式，使n=1，求得M0的最小值就是梁侧扭屈曲的临界弯矩:将(k)式代入(h)式得A=B=D=0，于是由(e)式可得梁侧扭屈曲时转角变形曲线为：将(p)式代入(d)式积分二次后得：边界条件z0和zl处u0，得C1C20，因此梁侧扭屈曲时侧向弯曲变形曲线为为了避免直接求解微分方程(5-4)，临界弯矩可根据边界条件假设位移函数，代入中性平衡方程求得：代入（53）式得：稳定特征方程为：解此方程，当n1，得M0的最小根，即为所求的临界弯矩，其表达式与（55）完全相同。当梁端为固定时，边界条件是在z0和zl处满足uu0，假定位移函数为：代入（53）后求得临界弯矩为：
4、当梁为悬臂梁，可假定位移函数为：满足边界条件：固定端z0处，uu0，自由端zl处，u“”0。代入（53）式可得临界弯矩为：引用计算长度概念，可得纯弯曲时梁临界弯矩的一般表达式为：或当为双轴对称、点对称和x轴为对称轴的单轴对称截面时，y0，式（59）可简化为：当截面为狭长矩形时，由于翘曲刚度EI0，y0，（510）式可简化为当梁截面为壁厚很小的工字形时，其抗扭刚度GIk很小，与翘曲刚度相比可略去不计，则（58）和（510）式可分别近似地表达为：和三 屈曲前变形对梁侧扭屈曲的影响考虑屈曲前变形影响时，应将临界弯矩除以一个修正系数当EIx远大于EIy和(2EI/l02+GIK)时，1；当EIxEIy
5、或EIx2EI/l02+GIK时，0，此时Mcr对于两个方向的抗弯刚度相接近的截面中，如正方形、不狭长的矩形、圆形、圆管和方管等截面，梁不会在强度破坏前发生侧扭屈曲。阅读P222 例61第三节 横向荷载作用时梁侧扭屈曲的总势能补充假设：荷载作用点发生位移时，荷载作用线的方向保持不变。这两部分应变能表达式为根据分枝理论，屈曲时临界弯矩保持不变，因此式中：离原点为z的梁截面上任意点B(x,y)处取一微段dAddAdz来研究当截面平移时，微段一端位移u，另一端位移为udu，因此微段长度dz改变为ds1当截面绕剪力中心转动时，微段B点位移由（427）确定微段另一端B1点位移为：因此微段由于扭转而产生的
6、相对位移为：由于侧向弯曲，产生曲率1/=u”,因截面扭转而产生的x轴方向位移为(y-y0),又使微段纵向引起变化，其值为：由于截面扭转，微段的长度由ds1改变为ds2,由(a)、(b)和(c)式可得将上式展开，并略去高阶微量后得位移和转角均是微小，将上式展开并取前面二项，可得对(e)式沿全截面积分，并注意到O为形心，x轴和y轴为形心主轴，可得：或式中(615)式中第一项是外力引起的弯矩Mx在屈曲弯扭变形时所作的功。华格纳效应系数；(615)式中第二项是由于截面扭转使弯曲正应力z方向偏斜，由其水平分力形成抵抗扭矩所引起的应变能，K称为华格纳(H.Wagner)效应。在截面上B(x,y)处取出微段
7、dAddAdz，当截面扭转角时，微段两端产生相对扭转角d，使微段偏斜r角而引起水平分力zdAr，该力对剪力中心形成一个微扭矩zr2dA，而整个截面的抵抗扭矩为：由于z是z的函数，所以K也是z的函数非线性应变能U3包括两部分，一部分是由Mx因侧扭而产生转动引起，另一部分是纵向纤维应力偏斜而引起的扭转应变能。梁屈曲弯扭变形时的外功对于横向集中荷载，将集中荷载Pn看作qndz利用(5-17)可得集中荷载所作的功为：梁端外力矩M0所作的功横向分布荷载所作的功简支或固定边界，M0与侧向斜率u方向垂直，M0不作功；自由边界，产生v，M0作功为W3M0v0由(4-26)和(5-15)(5-18)式可得梁侧扭
8、屈曲时总势能的变化为或第四节 跨间有横向荷载作用时梁的侧扭屈曲一 横向均布荷载作用时梁的侧扭屈曲（一）中性平衡方程将(5-19)或(5-20)式中的被积函数代入(4-32)式后可得梁侧扭屈曲的中性平衡方程为：和其中(6-22)式也可写成：当截面对称于弯曲轴，y0当仅有端弯矩M0作用时，q0，MxM0常数(5-21)和(5-23)式可简化为(5-3)式：（二）临界弯矩方程(521)(524)为变系数微分方程，难以求出解析解，利用(5-21)消去一个变量。将(521)积分二次得：简支边界，z=0和z=l处，u=u”=”=0，可得C=D=0代入(5-20)式和(5-23)式得和采用迦辽金法注意到下列
9、积分得到梁侧扭屈曲时的临界弯矩M0为：横向荷载作用时梁侧扭屈曲临界弯矩一般表达式临界弯矩可用瑞利里兹法或铁木辛柯法导出：将上述位移函数和Mx代入(5-26)式，得瑞利里兹法/A=0,或铁木辛柯法M0/A=0导出（529）相同的结果。直接由(5-20)求解临界弯矩，需要假设二个位移函数稳定特征方程为解得C11.15,C2=0.466,C3=0.5338,高于(529)u和不是相互独立的变形，在两端简支时，存在以下关系二 集中荷载作用时梁的侧扭屈曲1.由(5-20)应用瑞利里兹法或铁木辛柯法求得将q0以及以上关系代入(5-20)式，可得因故2.利用均布荷载作用时梁的中性平衡方程式(5-20)(5-
10、20)式来求将以下积分式代入上式得到临界弯矩同（531）式阅读P235例62第五节 梁的非弹性侧扭屈曲布莱希(F.Bleich)采用相应于梁中最大应力处的切线模量Et和Gt来代替弹性侧扭理论中的弹性模量E和G，得到梁非弹性侧扭屈曲临界荷载的下限。如令 EtE，GtG，代入(5-10)式得双轴对称截面梁的非弹性侧扭屈曲临界弯矩为求出荷载偏低非弹性侧扭屈曲临界荷载数值分析方法计算假定：1。材料理想弹塑性体，切线模量Et0，Gt0.25G2.考虑残余应力的影响相应于Mcr时的长度l为临界长度，以lcr表示在非弹性屈曲时，截面分成弹性区和塑性区，中和轴和剪力中心均将有变动，截面刚度将降低。截面刚度、K、中和轴和剪力中心位置随Mcr和lcr而改变，因此必须先求出相应于Mcr或lcr的截面有效刚度，K、中和轴和剪力中心位置等，然后求Mcr或lcr在中性平衡状态不发生卸载，因此截面的有效刚度为：用有效刚度代替(6-33)、(6-34)式中弹性刚度后，可得：由于残余应力影响，截面上弹性区和塑性区的分布很复杂，而截面特性、各点应力和应变、内力矩等都与截面屈服情况有关，必须通过迭代求临界弯矩和临界长度。计算时采用无量纲物理量：计算步骤：