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1、calculus3.1 导数的概念导数的概念3.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式与求导运算法则3.3 微分微分3.4 高阶导数和高阶微分高阶导数和高阶微分第三章第三章 导数与微分导数与微分3.5 边际与弹性边际与弹性本章计划课时本章计划课时:14课时课时1微积分 第三章导数与微分calculus3.1 导数导数的的概念概念引例引例1、变速直线运动的瞬时速度、变速直线运动的瞬时速度一、引例一、引例2微积分 第三章导数与微分calculus（1）当物体作匀速运动时（2）当物体作变速运动时3微积分 第三章导数与微分calculus引例引例2 平面曲线切线的斜率平面曲线切线的斜率 在点求曲线
2、L：处切线的斜率。割线 MN 的斜率为：4微积分 第三章导数与微分calculus割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线。切线 MT 的斜率为：当时,5微积分 第三章导数与微分calculus二、导数的定义二、导数的定义6微积分 第三章导数与微分calculus7微积分 第三章导数与微分calculus8微积分 第三章导数与微分calculus9微积分 第三章导数与微分calculus10微积分 第三章导数与微分calculus11微积分 第三章导数与微分calculus三、导数的几何意义三、导数的几何意义12微积分 第三章导数与微分calculus四、单边（侧）导数四
3、、单边（侧）导数13微积分 第三章导数与微分calculus14微积分 第三章导数与微分calculus同样单边导数定义式也可简化为：15微积分 第三章导数与微分calculus例.求函数在在处的导数.解解所以所以,函数函数在在处不可导处不可导.思考思考16微积分 第三章导数与微分calculus五、可导性与连续性的关系五、可导性与连续性的关系若函数若函数在在处可导处可导,则必连续则必连续.事实上事实上,因因在在处可导处可导,即即定理定理2.1所以所以,函数函数在在处连续处连续.17微积分 第三章导数与微分calculus例例.求函数求函数在在处的导数处的导数.解解所以所以,函数函数在在处不可
4、导处不可导.0问题：连续是否一定可导？问题：连续是否一定可导？18微积分 第三章导数与微分calculus19微积分 第三章导数与微分calculus1-120微积分 第三章导数与微分calculus函数在其可导的点处一定连续函数在其可导的点处一定连续函数在其不连续的点处一定不可导函数在其不连续的点处一定不可导函数在其连续的点处不一定可导函数在其连续的点处不一定可导结论结论21微积分 第三章导数与微分calculus六、用定义求导数举例六、用定义求导数举例同样单边导数定义式也可简化为：22微积分 第三章导数与微分calculus例例1.求函数求函数(常数常数)的导数的导数.解解常数的导数等于零
5、常数的导数等于零例例2.求函数求函数的导数的导数.解解23微积分 第三章导数与微分calculus例例3.求指数函数求指数函数的导数的导数.解解24微积分 第三章导数与微分calculus例例4.设设求求解解特别地特别地,25微积分 第三章导数与微分calculus例例5.设设求求解解正弦函数的导数等于余弦函数正弦函数的导数等于余弦函数.类似得类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数余弦函数的导数等于负的正弦函数.26微积分 第三章导数与微分calculus注：分段函数分段点的导数必须用定义求注：分段函数分段点的导数必须用定义求例例6.设函数设函数解解因为27微积分 第三章导数与微分calcul
6、us例例7.解解28微积分 第三章导数与微分calculus方法一：方法一：例例8.解解29微积分 第三章导数与微分calculus30微积分 第三章导数与微分calculus方法二：方法二：31微积分 第三章导数与微分calculus32微积分 第三章导数与微分calculus解解例例9.33微积分 第三章导数与微分calculus由导数的几何意义知,所求切线的斜率为:所求切线方程为:即所求法线方程为:即解解例例11.34微积分 第三章导数与微分calculus3.2 求导基本公式与求导运算法则求导基本公式与求导运算法则一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则35微积分 第三章导数与微分ca
7、lculus证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)36微积分 第三章导数与微分calculus37微积分 第三章导数与微分calculus证毕证毕.38微积分 第三章导数与微分calculus例例1.解解39微积分 第三章导数与微分calculus解解:例例2.40微积分 第三章导数与微分calculus求解解例例3.41微积分 第三章导数与微分calculus例例4.解解42微积分 第三章导数与微分calculus解解例例5.43微积分 第三章导数与微分calculus常用公式：常用公式：44微积分 第三章导数与微分calculus二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则45微积分
8、第三章导数与微分calculus46微积分 第三章导数与微分calculus解解例例5.47微积分 第三章导数与微分calculus解解例例6.48微积分 第三章导数与微分calculus三、基本导数的公式三、基本导数的公式49微积分 第三章导数与微分calculus50微积分 第三章导数与微分calculus51微积分 第三章导数与微分calculusGuess四、复合函数求导法则四、复合函数求导法则52微积分 第三章导数与微分calculus53微积分 第三章导数与微分calculus54微积分 第三章导数与微分calculus法则法则5(连锁法则连锁法则)Outfunctioninner
9、function55微积分 第三章导数与微分calculus证证在点在点可导，可导，由由知由极限与无穷小关系知由极限与无穷小关系知于是于是56微积分 第三章导数与微分calculus即即57微积分 第三章导数与微分calculus解解.例例1 求下列函数的导数58微积分 第三章导数与微分calculus更更简简明明的的过过程程59微积分 第三章导数与微分calculus解解例例2.更简明更简明的过程的过程60微积分 第三章导数与微分calculus解解例例3.61微积分 第三章导数与微分calculus例例4.解解62微积分 第三章导数与微分calculus复合函数的求导法则可以推广到多重复合
10、的情形复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.设设则则或或63微积分 第三章导数与微分calculus例例.求解解64微积分 第三章导数与微分calculus更简明更简明的过程的过程65微积分 第三章导数与微分calculus例例求解解66微积分 第三章导数与微分calculus例例求解解67微积分 第三章导数与微分calculus例例8 8解解68微积分 第三章导数与微分calculus形如，形如，的函数称为的函数称为显函数显函数.若若与与的函数关系由方程的函数关系由方程所确定所确定,称这类函数为称这类函数为隐函数隐函数.五、隐函数求导法五、隐函数求导法69微积分 第三章导数与微分cal
11、culus解解例例9 70微积分 第三章导数与微分calculus解解例例1071微积分 第三章导数与微分calculus解解例例1172微积分 第三章导数与微分calculus六、对数求导法六、对数求导法两类函数2.有简便求有简便求73微积分 第三章导数与微分calculus对 x 求导两边取对数例例1274微积分 第三章导数与微分calculus75微积分 第三章导数与微分calculus例例13 求的导数.解解 两边取对数,化为隐函数两边对 x 求导76微积分 第三章导数与微分calculus解法解法2 将函数化为复合函数77微积分 第三章导数与微分calculus例例12解解 两边取对
12、数 对 x 求导78微积分 第三章导数与微分calculus79微积分 第三章导数与微分calculus引例引例.一块正方形金属薄片受温度的影响一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由其边长由变到变到问此薄片的问此薄片的面积改变了多少面积改变了多少?面积的改变量：面积的改变量：一、微分的引进一、微分的引进3.3 微分微分80微积分 第三章导数与微分calculus81微积分 第三章导数与微分calculus二、微分的定义二、微分的定义82微积分 第三章导数与微分calculus证证(必要性必要性)83微积分 第三章导数与微分calculus(充分性充分性)设函数设函数在点在点处处可导可导,即即
13、与与无关无关,是较是较高阶的无穷小高阶的无穷小.所以函数所以函数在点在点处处可微可微.且且84微积分 第三章导数与微分calculus说明说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当85微积分 第三章导数与微分calculus86微积分 第三章导数与微分calculus87微积分 第三章导数与微分calculus注意：注意：88微积分 第三章导数与微分calculus三、基本微分公式与微分法则三、基本微分公式与微分法则根据根据可得基本初等函数的微分公式：可得基本初等函数的微分公式：89微积分 第三章导数与微分calculus微分法则微分法则：设设都可微，都可微，则则90微积分 第三
14、章导数与微分calculus微分法则微分法则：设设都可微，都可微，则则91微积分 第三章导数与微分calculus复合函数的微分法则：复合函数的微分法则：设设而而所以所以即微分形式的不变性即微分形式的不变性92微积分 第三章导数与微分calculus93微积分 第三章导数与微分calculus94微积分 第三章导数与微分calculus95微积分 第三章导数与微分calculus96微积分 第三章导数与微分calculus四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用由微分定义知由微分定义知,当当时时,因此因此,当当很小时很小时,有有近似公式近似公式:(1)即即(2)(3)97微积分 第
15、三章导数与微分calculusLinear Approximations and Differentials98微积分 第三章导数与微分calculus解解:设取则的近似值.例例求99微积分 第三章导数与微分calculus100微积分 第三章导数与微分calculus即在生产100单位产品的基础上再多生产一单位产品，成本会增加2.96101微积分 第三章导数与微分calculus可证可证,当当很小时很小时,有近似公式有近似公式:当当很小时很小时,(4)102微积分 第三章导数与微分calculus103微积分 第三章导数与微分calculus解解:的近似值.例例.计算104微积分 第三章导数
16、与微分calculus速度即加速度即引例引例：变速直线运动3.4 高阶导数高阶导数105微积分 第三章导数与微分calculus记作：或即二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：或106微积分 第三章导数与微分calculus三阶导数的导数，叫做三阶导数的导数，叫做四阶导数四阶导数，记作：记作：或或阶导数的导数，叫做阶导数的导数，叫做阶导数阶导数，记作：记作：或或函数函数有有阶导数，阶导数，也说函数也说函数为为阶可导阶可导。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。107微积分 第三章导数与微分calculus108微积分 第三章导数与微分calculus109微积分
17、 第三章导数与微分calculus110微积分 第三章导数与微分calculus111微积分 第三章导数与微分calculus112微积分 第三章导数与微分calculus113微积分 第三章导数与微分calculus114微积分 第三章导数与微分calculus115微积分 第三章导数与微分calculus由上面各阶导数可以得到116微积分 第三章导数与微分calculus二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数)莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz)公式公式及设函数117微积分 第三章导数与微分calculus例例.求解解:设则代入莱布尼兹公式,得118微积分
18、 第三章导数与微分calculus119微积分 第三章导数与微分calculus以上这个公式称为莱布尼兹（Leibniz）公式，可用于求乘积的高阶导数120微积分 第三章导数与微分calculus121微积分 第三章导数与微分calculus122微积分 第三章导数与微分calculus123微积分 第三章导数与微分calculus124微积分 第三章导数与微分calculus125微积分 第三章导数与微分calculus3.5 边际与弹性边际与弹性一、边际的概念一、边际的概念126微积分 第三章导数与微分calculus127微积分 第三章导数与微分calculus128微积分 第三章导数与
19、微分calculus129微积分 第三章导数与微分calculus130微积分 第三章导数与微分calculus131微积分 第三章导数与微分calculus132微积分 第三章导数与微分calculus二、弹性函数二、弹性函数1、弹性的概念、弹性的概念弹性的意义：弹性的意义：133微积分 第三章导数与微分calculus134微积分 第三章导数与微分calculus幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数135微积分 第三章导数与微分calculus2、弹性的经济应用、弹性的经济应用(1)需求价格弹性需求价格弹性注意注意136微积分 第三章导数与微分calculus137微积分 第三章导数与微分calculus138微积分 第三章导数与微分calculus(2)供给价格弹性供给价格弹性139微积分 第三章导数与微分calculus(3)收益价格弹性收益价格弹性140微积分 第三章导数与微分calculus141微积分 第三章导数与微分calculus142微积分 第三章导数与微分