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1、理论力学教学材料动力学普遍定理本讲稿第一页，共三十九页（二）变力的功（二）变力的功 力在曲线路程中作功为（自然形式表达式）（矢量式）（直角坐标表达式）元功元功：2本讲稿第二页，共三十九页（三）合力的功（三）合力的功 质点M 受n个力 作用合力为,则合力的功 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。3本讲稿第三页，共三十九页（四）常见力的功（四）常见力的功 1重力的功重力的功 重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与其的路径无关。(下降为正)2弹性力的功弹性力的功1初变形，2末变形 k弹簧常数 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。4
2、本讲稿第四页，共三十九页若m=常量,则注意：功的符号的确定。注意：功的符号的确定。3万有引力的功万有引力的功万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直转轴，则 4作用于转动刚体上的力或力偶的功作用于转动刚体上的力或力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。M点轨迹已知。5本讲稿第五页，共三十九页注意：圆轮作纯滚动时摩擦力注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功不做功(2)滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶m的功的功 5摩擦力的功摩擦力的功(1)动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功若m=常量则同其他力的功计算一样。一般摩擦力做
3、负功。6约束反力的功约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。即：理性约束的约束反力做功为零。理性约束的约束反力做功为零。6本讲稿第六页，共三十九页（1）光滑支承面（2）固定铰支座（3）活动铰支座、向心轴承（4）不可伸长的绳（5）联接刚体的光滑铰链（中间铰）7本讲稿第七页，共三十九页（五）质点系内力的功（五）质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零内力的元功和就等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。内力功之和一般不等于零。8本讲稿第八页，共三十九页二
4、动能二动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。（一）质点的动能一）质点的动能 （二）质点系的动能二）质点系的动能 瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。将质点系的运动分解为随同质心的平动和相对于质心的运动，据此计算某些问题中的动能较为方便：设质心速度为vc，则质点Mi的速度vi：9本讲稿第九页，共三十九页即：质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运动的动能之和。柯尼希定理柯尼希定理于是：式中：质心相对于质心的速度10本讲稿第十页，共三十九页（I为速度瞬心）1平动刚体平动刚体2定轴转动刚体定轴转动刚体3平面运动刚体平面运动刚体（三
5、）刚体的动能（三）刚体的动能 刚体的平面运动可以分解为随质心的平动和饶过质心且垂直于运动平面的转动，所以：或：11本讲稿第十一页，共三十九页三动能定理三动能定理1质点的动能定理：质点的动能定理：因此质点动能定理的微分形式微分形式将上式沿路径积分，可得质点动能定理的积分形式积分形式两边点乘以，有12本讲稿第十二页，共三十九页对质点系中的一质点 ：即 质点系动能定理的微分形式微分形式质点系动能定理的积分形式积分形式对整个质点系，有2质点系的动能定理质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得质点系动能的微分等于质点系上所有力的元功之和。在某一过程中，质点系动能的变化量，等于质点系上所有力在同一过程中所
6、作的功的代数和。13本讲稿第十三页，共三十九页例例1 图示系统,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,OC水平,A上作用一矩为M(常量)的力偶；重物D重Q。求D下落h时的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)解解：研究对象：系统14本讲稿第十四页，共三十九页对（*）式求导（注意：此时应视h为变量）得：（*）（F做功不？）15本讲稿第十五页，共三十九页 例例2 均质圆盘A：m，r，作纯滚动；滑块B：m。杆AB质量不计。斜面倾角，摩擦系数f。求：滑块的加速度。解：研究对象：系统由动能定理的微分形式dT=dW得：两边同除以d，得设任意瞬时圆盘A质心的速度为v，则当圆盘A质心
7、沿斜面向下运动dS时：16本讲稿第十六页，共三十九页例例3 均质杆AB与重物C的质量均为m，杆在地面水平位置时系统静止，求杆被拉到与水平成300角时C的加速度（不计各处摩擦及定滑轮O、滑块B的质量）。解解：以系统为研究对象设杆长l，则：IwT1=0将杆放在任一位置研究。设C的速度为v，则vB=v17本讲稿第十七页，共三十九页Iw（*）两边对t求导得：由（*）知：代入上式得：当=300时，a=0.275g18本讲稿第十八页，共三十九页 *1均质杆OA质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。弹簧常数k=3N/mm，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度0至少应为多大？
8、解解：研究对象：OA杆由 得：动能定理练习题动能定理练习题19本讲稿第十九页，共三十九页*2行星齿轮机构,位于水平面内。动齿轮O1半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄OO1重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的(以转角 的函数表示)和。解解：研究对象：系统将（）式对t 求导数，得根据 得（）20本讲稿第二十页，共三十九页*3两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，不计摩擦，机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。解解：研究对象：系统OA铅直时AB瞬时平动21本讲稿第二十一页，共三十九页四功率四功率 功率方程功率
9、方程（一）功率一）功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。作用力的功率：力矩的功率：功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。22本讲稿第二十二页，共三十九页（二）功率方程（二）功率方程：由 的两边同除以dt 得分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即机器稳定运行时，机械效率是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下。23本讲稿第二十三页，共三十九页8-7势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律一势力场一势力场1力场力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力
10、的作用，则此空间称为力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。2势力场势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。24本讲稿第二十四页，共三十九页二势能二势能在势力场中,质点从位置M 运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。X=X(x,y,z),Y=Y(x,y,z),Z=Z(x,y,z),上式积分与路径无关，由高度数学知Xdx+Ydy+Zdz可表示为某一单值连续函数的全微分，即：Xdx
11、+Ydy+Zdz=dVV=V(x,y,z)是坐标的单值连续函数，称为势能函数。25本讲稿第二十五页，共三十九页比较前式有：质点或质点系在某一位置具有的势能是相对于零位置而言的，零位置是任选的，同一质点对不同的零位置的势能是不同的。某位置的势能就等于该位置的势能函数值，如果不知势能函数，可通过功的计算来确定。势能相等的各点所组成的面，称为等势面。物理意义：势能是质点（系）在某一位置相对零位置所具有的做功的能力。26本讲稿第二十六页，共三十九页有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。*有势力的功有势力的功*质点或质点系在常见势力场中的势能质点
12、或质点系在常见势力场中的势能1.重力场重力场 在给定零位置之上为正2.弹性力场弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点3.万有引力场万有引力场：取距引力中心无穷远处为零势能位置：27本讲稿第二十七页，共三十九页设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)作用，则机械能守恒定律机械能守恒定律三机械能守恒定律三机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统称为保守系统保守系统。例例4 均质直杆：m、l，直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表示）。28本讲稿第二十八页，共三十九页解解：由于水平方向不受外力，且初始
13、静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得初瞬时：任一瞬时：29本讲稿第二十九页，共三十九页8-8动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理（质心运动定理）、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒
14、情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。提供正确的运动学补充方程。30本讲稿第三十页，共三十九页举例说明动力学普遍定理的综合应用：*例例1 两根均质杆各重为P，长均为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。设两杆轴线始终在铅垂面内。31本讲稿第三十一页，共三十九页讨论 质心运动守恒定理动能定理求解。计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解解：研究对象：整体由动能定理：且初始
15、静止，水平方向质心位置守恒。C到达地面时，AC速度瞬心在A点32本讲稿第三十二页，共三十九页例例2 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB铰接。系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时B点的速度及支座A的约束反力。解解：（：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象，圆盘平动。又开始系统静止，33本讲稿第三十三页，共三十九页（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。取系统研究：T1=0，代入数据，得34本讲稿第三十四页，共三十九页（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。由于所以 0。杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：盘质心加速度：盘质心加速
16、度：（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。代入数据，得35本讲稿第三十五页，共三十九页 相对质心动量矩守恒定理相对质心动量矩守恒定理+动能定理动能定理+动量矩定理动量矩定理+质心运动定理。质心运动定理。可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在在 一般位置进行分析一般位置进行分析。例例3 基本量计算基本量计算(动量动量,动量矩动量矩,动能动能)36本讲稿第三十六页，共三十九页例例4 质量为m 的杆置于两个半径为r，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处无相对滑
17、动。解解：方法一：用动能定理求解。：方法一：用动能定理求解。取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度系统的动能所有力的元功之和：由动能定理的微分形式：两边除以，得37本讲稿第三十七页，共三十九页方法二：方法二：用动量矩定理求解用动量矩定理求解（1）取板为研究对象：由质心运动定理根据 ，得（2）取轮1为研究对象（3）取轮2为研究对象，同理有：由（a）（c）得：38本讲稿第三十八页，共三十九页解解：取杆为研究对象由质心运动定理：*例例5 均质杆OA，重P，长l，。求求绳子突然剪断瞬时，杆的角加速度及O处反力。由动量矩定理：39本讲稿第三十九页，共三十九页