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1、函数的极值与导数函数的极值与导数2、用、用导数法导数法确定函数的单调区间的确定函数的单调区间的步骤：步骤：（3）求解不等式）求解不等式 ,求得其解集，求得其解集，再根据解集与定义域写出单调再根据解集与定义域写出单调递增递增区间区间 求解不等式求解不等式 ,求得其解集，求得其解集，再根据解集与定义域写出单调再根据解集与定义域写出单调递减递减区间区间(1)求函数的定义域求函数的定义域(domain)（2）求出函数的导函数）求出函数的导函数(derivative function)即求即求一、复习：一、复习：1.函数的单调性与导数的关系：函数的单调性与导数的关系：求函数求函数y=2x3-6x2+7的
2、单调区间，画的单调区间，画出其草图出其草图课前练习课前练习x x0 0y3 3、问题问题情境情境 观察观察右下图为函数右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象的图象,问题问题1 1：函数在函数在X=0的函数值与它的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？附近所有各点的函数值的关系？2 2我们说我们说f(0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值；问题问题2 2：函数在函数在X=2的函数值与它的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？附近所有各点的函数值的关系？我们说我们说f(2)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。ABx x0 0y一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)在在x=x0及其附近有定义
3、及其附近有定义 1、定义定义函数极值函数极值（extreme value）x x0 0yAB2 2注：注：f(x0)-极值极值 点点x-极值点极值点如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函数值附近所有各点的函数值都大都大，则称，则称f(x0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函数值附近所有各点的函数值都小都小，则称，则称f(x0)是函数的一个是函数的一个极小值极小值2、探索思考：、探索思考：函数函数y=f(x)在哪些点取得极大值？在哪些点取得极大值？哪些点取得极小值？哪些点取得极小值？函数的极大值一定大于极小值吗函数的极大值一定大于极
4、小值吗?y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么的导数的符号有什么规律？规律？o oa a X X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx xy yBAFCED若若x0满足满足1.f/(x)=0.2.在在x0的两侧的导数异号的两侧的导数异号,则则x0是是f(x)的极值点的极值点,f(x0)是极值是极值,若若 f/(x)在在x0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)的极大值点的极大值点,f(x0)是极大值是极大值;o oa aX X0 00b bx xy y结论结论:o oa aX X0
5、0b bx xy y则则x0是是f(x)的极小值点的极小值点,f(x0)是极小值是极小值.若若 f/(x)在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,三、例题选讲三、例题选讲:例例1:求求 的极值的极值.解解:f(x)=x2-4,由由f(x)=0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.当当x=2=2时时,y极大值极大值=28/3=28/3；当当x=-2-2时时,y极小值极小值=-4/3=-4/3.f(x)f(x)x(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+0 00 0-+极大值极大值28/3极小值极小值-4/3当当x变化时变化时,f(x)、f(
6、x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：求函数求函数y=f(x)的极值的的极值的步骤步骤:(1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 右侧右侧f/(x)0,那么那么f(x0)是极大值是极大值;(2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0,那么那么f(x0)是极小值是极小值.2.解方程解方程f/(x)=0.1.求导数求导数3.列表列表4.结论：结论：例题例题2:求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)y -0 +0 -y 极小值极小值
7、-3 极大值极大值3 因此因此,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=-1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-3.(1)y=3x2-x3 (2)y=(x21)2+1练练:用导数法求解函数极值：用导数法求解函数极值：四四.探索思考探索思考:1.导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗?结论结论：函数的导数为零的点：函数的导数为零的点,不一定是该函不一定是该函数的极值点数的极值点.小结：1.极值的定义：极值的定义：3.求极值的步骤求极值的步骤:1).求导数求导数 2).解方程解方程f/(x)=0.3).列表列表 4).结论：结论：（1 1）f f/(x(x0 0)=0 (2)=0 (2)在在x x0 0两侧异号两侧异号2可导函数可导函数y=f(x)在在x0处有处有极值极值的特点：的特点：