空间向量应用总复习.ppt

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1、用空间向量解决立体用空间向量解决立体几何中的平行、垂直几何中的平行、垂直和夹角、距离问题和夹角、距离问题一。知识再现 空间向量：(1)空间直角坐标系(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式(1)空间直角坐标系zxyoA(x,y,z)(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式OjikXYZAB二二.两个重要的空间向量两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量都称为直线的方向向量.如图如图,在空间直角坐在空间直角坐标系中标系中,由由A(x1,y1,z1)与与B(x2,y2,z2)确定的直确定的直线线A

2、B的方向向量是的方向向量是zxyAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面平面的法向量的法向量.nabn求平面的法向量的坐标的步骤第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.2 2、在棱长为、在棱长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,O,O是面是面ACAC的中心的中心,求面

3、求面OAOA1 1D D1 1的法向量的法向量.ABCDOA1B1C1D1zxy1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.练习练习1三、建立空间坐标系p利用现有三条两两垂直的直线p注意已有的正、直条件p相关几何知识的综合运用xABC1CA1B1正三棱柱zyxyPBCDA正四棱锥zABCD正三棱锥xyz长方体四、常用公式：四、常用公式：1、求、求线线段的段的长长度：度：2、平行、平行3、垂直、垂直4、求、求P点到平面点到平面的距离：的距离：，（，（N为为垂足，垂足，M为为斜足，斜足，为为

4、平面平面的法向量）的法向量）5、求直、求直线线l与平面与平面所成的角所成的角：，(为为的法向量的法向量)6、求两异面直线、求两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角：7、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :(为为二面角的两个面的法向量）二面角的两个面的法向量）8、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :（射影面积法）（射影面积法）9、求法向量：、求法向量：找；找；求：求：设设 为为平面平面内的任意两个向量，内的任意两个向量，为为的法向量的法向量 则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量垂直与平行的证明直线与直线的平行直线与直线的平行直线与直线的垂直直线与直线的垂直直线与平面的平行直线与平面的

5、平行共面向量的充要条件与平面的法向量垂直直线与平面的垂直直线与平面的垂直垂直于平面内不共线的两个向量平面与平面的平行平面与平面的平行两个平面的法向量平行平面与平面的垂直平面与平面的垂直两个平面的法向量垂直设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，根据下列条件判断根据下列条件判断l，m的位置关系：的位置关系：练习练习2直线与直线的平行与垂直直线与直线的平行与垂直平行：共线向量的充要条件 垂直：向量垂直的充要条件 lmlm 例例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证:C C1 BDA1B1C1D1CBAD 证明：设 依题意有

6、 ，于是 C C1 BD 题型一：线线垂直题型一：线线垂直例例2.2.已知正三棱柱的各棱长都为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。解解1：向量解法向量解法 设设，则由已知条件和正三棱柱的性质，则由已知条件和正三棱柱的性质，得，得你能建立直角坐标系解答本题吗？你能建立直角坐标系解答本题吗？题型一：线线垂直题型一：线线垂直解解2：直角坐标法：直角坐标法。取取 由由已知条件和正三棱柱的性质，得已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,如图建立坐标系如图建立坐标系m-xyz。则。则 XYZG例例2 2已知正三棱柱的各棱长都

7、为已知正三棱柱的各棱长都为1，是底，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。求证：。题型一：线线垂直题型一：线线垂直直线与平面的平行与垂直直线与平面的平行与垂直 设直线设直线l的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面，平面的法向量的法向量为为 ，平面，平面内两不共线向量内两不共线向量 ，且，且l 平行：共面向量的充要条件 垂直：垂直于平面内不共线的两个向量 llABDCA1B1D1C1例例3 3.在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEFxyz即即题型二：线

8、面平行题型二：线面平行FEXYZ评注：本题若用一般法评注：本题若用一般法证明，容易证证明，容易证A AF F垂直垂直于于BDBD，再证，再证A AF F垂直于垂直于DEDE，或证或证A AF F垂直于垂直于EFEF则较难，用建立空间坐则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化标系的方法能使问题化难为易。难为易。题型三：线面垂直题型三：线面垂直A1C1B1ACBEDzxy题型：线面平行、垂直题型：线面平行、垂直平面与平面的平行与垂直平面与平面的平行与垂直 设平面设平面、的法向量分别为的法向量分别为平行：垂直：练习练习2：设平面设平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，根据下列条件判断，根据下列条件

9、判断 ，的位置关系：的位置关系：XYZ题型四：面面平行题型四：面面平行例例7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证：面AED面A1FD1zxy证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),D(0,2,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),F(1,2,0),设平面AED的法向量为n1=(x，y，z)得取z=2，得 n1=(-1，0，2)同理可得平面A1FD1的法向量为n2=(2，0，1)n1 n2=-2+0+2=0 面AED面A1FD题型五：面面垂直题型五：面面垂直ABCDFEA1B1C1D1三种角的计算

10、异面直线所成的角直线和平面所成的角二面角数量积：夹角公式：线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入求下列两个向量夹角的余弦值求下列两个向量夹角的余弦值（1），（2）.异面直线所成角的计算异面直线所成角的范围：思考：思考：结论：结论：题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入例一：题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：所以：所以 与 所成角的余弦值为题型一：线线角题型一：线线角 问题：问题：利用向量坐标法求两条异面直线夹角利

11、用向量坐标法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？(1)恰当的构建空间直角坐标系；恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得对应点的坐标，空间向量正确求得对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积和模；的坐标表示及其数量积和模；(3)代入空间向量的夹角公式，求得其余代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；弦值；(4)根据题意，转化为几何结论根据题意，转化为几何结论.PADGFEzx ByC题型一：线线角题型一：线线角解：如图，建立空间直角坐标系。PADGFEzx ByC2004年福州市第一次统测试题题型一：线线角题型一：线线角练习：练习：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1

12、中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.BC A MxzyB1C1D1A1CD题型一：线线角题型一：线线角解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,cos=.xPABDCEyz题型一：线线角题型一：线线角练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，斜线与平面所成角的计算anPAO题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围：思考：思考：结论：结论：题型二：线面角题型二：线面角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入练习：练习：如果平面的

13、一条斜线与它在这个平面上如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的射影的方向向量分别是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的），那么这条斜线与平面所成的角是角是_._.题型二：线面角题型二：线面角600例四：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入在长方体在长方体 中，中，N解：如图建立坐标系A-xyz,则即练习练习1：题型二：线面角题型二：线面角练习练习1：在长方体在长方体 中，中，又题型二：线面角题型二：线面角练习2：的棱长为1.题型二：线面角题型二：

14、线面角正方体线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入练习练习3.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO题型二：线面角题型二：线面角解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,0)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由 得 ，解得 取y=,得n=(3,0)而BAOBAODPXYZ题型二：线面角题型二：线面角例例6 如如图图,在四棱在四棱锥锥PABCD中，底面中，底面ABCD为为矩形，矩形，侧侧棱棱PA底面底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在，在线线段

15、段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小所成角的大小为为450?若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在的位置；若不存在说说明理由。明理由。DBACEPxzy题型二：线面角题型二：线面角解：以解：以A为原点，为原点，AD、AB、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，设设BE=m，则，则xy2003年全国高考题ABCDEGA1B1C1z题型二：线面角题型二：线面角二面角的平面角的计算PBAlabQnm题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围线

16、线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入练习：练习：已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),m=(0,1,0),n=(0,1,1)n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为，则两平面所成的钝二面角为_._.1350题型三：二面角题型三：二面角题型三：二面角题型三：二面角设平面例例8:如图如图:直四棱柱直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,底面底面ABCD为为菱形菱形 ,AB=AA1=4,E为为AB的中点的中点求求:1)直直线线BD1与与CE所成的角的余弦所成的角的余弦值值;2)二面角二面角A1-CE-D的余弦的余弦值值.xzyOBACA1D1B

17、1DC1E题型三：二面角题型三：二面角练习练习1.在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS题型三：二面角题型三：二面角解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为 .xyzAA1BCDD1C1B1P题型三：二面角题型三：二面角练习练习2：ABXYZAB

18、XYZ如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余所成的角的余弦值弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【课后作业课后作业】【巩固练习巩固练习】1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为为PC中点中点,则则PA与与BE所成角所成角的余弦的余弦值为值为_.2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中,A1A=2,AB=AC=1,则则AC1与截面与截面BB1CC

19、1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_.3正方体中正方体中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_ABCDMXYZABCDMGXYZ小结：小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围五。距离的计算点与点距离点到直线的距离点到平面的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离异面直线的距离题型一：点到直线的距离题型一：点到直线的距离说明：说明：PABMManPAOMN题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离xyzAA1BCDD1C1B1P?题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离例例1求

20、点P到平面距离步骤：1.建立适当的空建立适当的空间直角坐直角坐标系系2.写出点的坐写出点的坐标（点（点P及及内三点）内三点）3.求出向量的坐求出向量的坐标（点（点P与与内一点内一点A A连线向量，向量，内两不共内两不共线向量）向量）4 4.求求的法向量的法向量n n5.5.求求6.6.下下结论例2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离FBACDEGXYZ题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离BAaMNnab题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离例1.在

21、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离zxyABCC1即即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例例.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,ABC=60,侧棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.xzyPBEADCF题型四：线面与面面的距离题型四：线面与面面的距离空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。ABCFEDXYZABCFEDXYZ