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1、 第第第第4 4章章章章 粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础4.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响4.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理4.3、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）4.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes方程方程4.6、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质4.7 4.7 层流、紊流及其能量损失层流、紊流及其能量损失4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对
2、流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响 1、流体的粘滞性、流体的粘滞性 在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态下，流体可以承受在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受剪力大小是不同的。流体的粘滞性是剪力，而且对于不同种流体所承受剪力大小是不同的。流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪切变形能力。流体的剪切变形是指流体质指，流体在运动状态下抵抗剪切变形能力。流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因此，流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相点之间出现相对运动。因此，流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运
3、动能力。对运动能力。流体抵抗剪切变形能力，可通过流层之间的剪切力表现出来。（这个剪流体抵抗剪切变形能力，可通过流层之间的剪切力表现出来。（这个剪切力称为内摩擦力）。流体在流动过程中，必然要克服内摩擦力做功，切力称为内摩擦力）。流体在流动过程中，必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。牛顿的内摩擦定律（牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）年）F=AU/h （U h F）4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响流层之间的内摩擦力与接触面上的
4、压力无关。流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。设设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则 -流体的动力粘性系数。（量纲、单位）：流体的动力粘性系数。（量纲、单位）：=M/L/T kg/m/s Ns/m2=Pa.s；=/-流体的运动粘性系数。量纲、单位：流体的运动粘性系数。量纲、单位：=L2/T m2/s。水：水：1.139 10-6 空气：空气：1.461 10-5一般流层速度分布不是直线，而是曲线，如图所示。一般流层速度分布不是直线，而是曲线，如图所示。F=Adu/dy =du/dy du/dy-表示单位高度流层的速度增量，表示单位高度流层
5、的速度增量，称为流速梯度。称为流速梯度。4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响 流体切应力与速度梯度的一般关系为流体切应力与速度梯度的一般关系为 1 1-=0+du/dy 2 2-=（du/dy）0.5 3 3-=du/dy 4 4-=(du/dy)2 5理想流体理想流体 =0 5 du/dy4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响1-binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等流体，泥浆、血浆、牙膏等2-伪塑性流体，尼龙、橡胶、油
6、漆、绝缘伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆、绝缘3-牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等4-胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等5-理想流体，无粘流体。理想流体，无粘流体。2、粘性流体运动特点、粘性流体运动特点 自然界中流体都是有粘性的，因此粘性对流体运动的影响是普遍自然界中流体都是有粘性的，因此粘性对流体运动的影响是普遍存在的。但对于具体的流动问题，粘性所起的作用并不一定相同。存在的。但对于具体的流动问题，粘性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空气这样的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的特别是象水和空气这样的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作
7、用可得到满意的结果。因此，为了简化起见，提出了理想流体作用可得到满意的结果。因此，为了简化起见，提出了理想流体的概念和理论。的概念和理论。以下用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动的差别。以下用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动的差别。（1）绕过平板的均直流动）绕过平板的均直流动4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响 当理想流体绕过平板（无厚度）时，平板对流动不产生任何影响，在当理想流体绕过平板（无厚度）时，平板对流动不产生任何影响，在平板表面，允许流体质点滑过平板，但不允许穿透平板（通常称作为平板表面，允许流
8、体质点滑过平板，但不允许穿透平板（通常称作为不穿透条件）。平板对流动无阻滞作用，平板阻力为零。不穿透条件）。平板对流动无阻滞作用，平板阻力为零。但如果是粘性流体，情况就不同了。由于存在粘性，紧贴平板表面的但如果是粘性流体，情况就不同了。由于存在粘性，紧贴平板表面的流体质点粘附在平板上，与平板表面不存在相对运动（既不允许穿透，流体质点粘附在平板上，与平板表面不存在相对运动（既不允许穿透，也不允许滑动），这就是说，在边界面上流体质点必须满足不穿透条也不允许滑动），这就是说，在边界面上流体质点必须满足不穿透条件和不滑移条件。随着离开平板距离的增大，流体速度有壁面处的零件和不滑移条件。随着离开平板距离
9、的增大，流体速度有壁面处的零值迅速增大到来流的速度。这样在平板近区存在着速度梯度很大的流值迅速增大到来流的速度。这样在平板近区存在着速度梯度很大的流动，因此流层之间的粘性切应力就不能忽略，对流动起控制作用。这动，因此流层之间的粘性切应力就不能忽略，对流动起控制作用。这个区称为边界层区。平板对流动起阻滞作用，平板的阻力不为零。即个区称为边界层区。平板对流动起阻滞作用，平板的阻力不为零。即4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响（2）圆柱绕流）圆柱绕流 理想流体绕流圆柱时，在圆柱上存在前驻点理想流体绕流圆柱时，在圆
10、柱上存在前驻点A，后驻点，后驻点D,最大速度点最大速度点B、C。中心流线在前驻点分叉，后驻点汇合。根据。中心流线在前驻点分叉，后驻点汇合。根据Bernoulli定理，定理，流体质点绕过圆柱所经历的过程为在流体质点绕过圆柱所经历的过程为在A-B（C）区，流体质点在）区，流体质点在A点流点流速为零，压强最大，以后质点的压强沿程减小，流速沿程增大，到达速为零，压强最大，以后质点的压强沿程减小，流速沿程增大，到达B点流速最大，压强最小。该区属于增速减压区，顺压梯度区；在点流速最大，压强最小。该区属于增速减压区，顺压梯度区；在B（C）-D区，流体质点的压强沿程增大，流速沿程减小，到达区，流体质点的压强沿
11、程增大，流速沿程减小，到达D点压点压强最大，流速为零。该区属于减速增压区，逆压梯度区。在流体质点强最大，流速为零。该区属于减速增压区，逆压梯度区。在流体质点绕过圆柱的过程中，只有动能、压能的相互转换，而无机械能的损失。绕过圆柱的过程中，只有动能、压能的相互转换，而无机械能的损失。在圆柱面上压强分布对称，无阻力存在。在圆柱面上压强分布对称，无阻力存在。（著名的达朗贝尔佯谬）。（著名的达朗贝尔佯谬）。4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响 对于粘性流体的绕流，与理想流体绕流存在很大的差别。由于流体对于粘性流体的绕
12、流，与理想流体绕流存在很大的差别。由于流体与固壁表面的粘附作用，在物面近区将产生边界层，受流体粘性的与固壁表面的粘附作用，在物面近区将产生边界层，受流体粘性的阻滞作用，流体质点在由阻滞作用，流体质点在由A点到点到B点的流程中，将消耗部分动能用之点的流程中，将消耗部分动能用之克服摩擦阻力做功，以至使其无法满足由克服摩擦阻力做功，以至使其无法满足由B点到点到D点压力升高的要求，点压力升高的要求，导致流体质点在导致流体质点在BD流程内，流经一段距离就会将全部动能消耗殆尽流程内，流经一段距离就会将全部动能消耗殆尽（一部分转化为压能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某（一部分转化为压能，一部分克服摩
13、擦阻力做功），于是在壁面某点速度变为零（点速度变为零（S点），以后流来的流体质点将从这里离开物面进入点），以后流来的流体质点将从这里离开物面进入主流场中，这一点称为分离点。这种现象称为边界层分离。在分离主流场中，这一点称为分离点。这种现象称为边界层分离。在分离点之间的空腔内流体质点发生倒流，由下游高压区流向低压区，从点之间的空腔内流体质点发生倒流，由下游高压区流向低压区，从而在圆柱后面形成了旋涡区。这个旋涡涡区的出现，使得圆柱壁面而在圆柱后面形成了旋涡区。这个旋涡涡区的出现，使得圆柱壁面压强分布发生了变化，前后不对称（如前驻点的压强要明显大于后压强分布发生了变化，前后不对称（如前驻点的压强要明
14、显大于后驻点的压强），因此出现了阻力驻点的压强），因此出现了阻力D。4.14.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响 总的结论如下：总的结论如下：（1）粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动有）粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要标志。别与理想流体运动的主要标志。（2）粘性的存在是产生阻力的主要原因。）粘性的存在是产生阻力的主要原因。（3）边界层的分离必要条件是，流体的粘性和逆压梯度。）边界层的分离必要条件是，流体的粘性和逆压梯度。（4）粘性对于研究阻力
15、、边界层及其分离、旋涡的扩散等问题起主导作用，）粘性对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡的扩散等问题起主导作用，不能忽略。不能忽略。4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理1、流体微团运动的基本形式、流体微团运动的基本形式 流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。（线变形和角变形运动）。平动平动 转动转动 线变形线变形 角变形角变形4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团
16、的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理2、速度分解定理、速度分解定理 德国物理学家德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。意两点，按泰勒级数展开给出分解。在在 ，速度为，速度为 在在 点处，速度为点处，速度为4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体
17、微团的运动形式与速度分解定理以以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有将上式分别加、减下列两项将上式分别加、减下列两项得到得到如果令：如果令：综合起来，有综合起来，有4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理对于对于y,z方向的速度分量，也可得到方向的速度分量，也可得到写成矢量形式写成矢量形式其中，第一项表示
18、微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的，第三其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的，第三项表示微团变形引起的。项表示微团变形引起的。4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理定义如下：定义如下：流体微团平动速度：流体微团平动速度：流体微团线变形速度：流体微团线变形速度：流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团旋转角速度：流体微团旋转角速度：4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的
19、运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理3、有旋运动与无旋运动、有旋运动与无旋运动流体质点的涡量定义为流体质点的涡量定义为表示流体质点绕自身轴旋转角速度的表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与有旋运动。流动与有旋运动。4、变形率矩阵（或变形率张量）、变形率矩阵（或变形率张量）在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中 称称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接关系。关系。
20、4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理 定义，流体微团的变形率矩阵为定义，流体微团的变形率矩阵为 该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有三该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是 对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，或流对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。体微团的相对体积膨胀率。如果选择坐标轴是三个变形率矩阵
21、的主轴，则此时变形率矩阵的非如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则此时变形率矩阵的非对角线上的分量为零，相应的变形率矩阵与不变量为对角线上的分量为零，相应的变形率矩阵与不变量为4.24.2、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理、流体微团的运动形式与速度分解定理4.34.3、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态1、理想流体和粘性流体作用面受力差别、理想流体和粘性流体作用面受力差别 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力
22、和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。面上的力只有正向力，无切向力。粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。有切向力。4.34.
23、3、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态2、粘性流体中的应力状态、粘性流体中的应力状态 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三
24、个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。4.34.3、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如，对于示应力分量
25、的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为面的合应力可表示为 y面的合应力表达式为面的合应力表达式为 z面的合应力表达式为面的合应力表达式为4.34.3、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称
26、为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。4.34.3、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即强的负值。即（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的
27、法向应力之）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即即（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。4.44.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1、牛顿内摩擦定理启发、牛顿内摩擦定理启发 牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正
28、比。即切应力与速度梯度成正比。即 如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有 说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。提出广义牛顿内摩擦定理。4.44.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）2、Stokes假设（假设（1845年）年）(Stokes，英国数学家、力学家，英国数
29、学家、力学家，1819-1903年）年）（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。的平动和转动无关。（2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。置无关。（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力，无切由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力，无切应力。即应力。即4.44.4、广义牛
30、顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）因此，在静止状态下，流体的应力状态为因此，在静止状态下，流体的应力状态为 根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。阵写成如下线性关系式（本构关系）。式中，系数式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系数数a只取决于流体的物理性质，可取只取决于流体的物理性质，可取4.44.4、广义牛顿内摩擦定理（本构
31、关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）由于系数由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量构成。即令性不变量构成。即令 式中，式中，为待定系数。将为待定系数。将a、b代入，有代入，有 取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出4.44.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
32、、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）归并同类项，得到归并同类项，得到在静止状态下，速度的散度为零，且有在静止状态下，速度的散度为零，且有 由于由于b1和和b2均为常数，且要求均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下，在静止状态的任何情况下，均成立。均成立。则则 然后代入第一式中，有然后代入第一式中，有4.44.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）如果令如果令称为流体压强。则本构关系为称为流体压强。则本构关系为上式即为广义牛顿内摩擦定理（为牛顿流体的本构方程）。上式即为广义
33、牛顿内摩擦定理（为牛顿流体的本构方程）。用指标形式，上式可表示为用指标形式，上式可表示为4.44.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）对于不可压缩流体对于不可压缩流体,有有如果用坐标系表示，有如果用坐标系表示，有粘性切应力：粘性切应力：法向应力：法向应力：4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程1、流体运动的基本方程、流体运动的基本方程 利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方
34、程。利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。(在流场在流场中取一个微分六面体流体微团进行分析，以中取一个微分六面体流体微团进行分析，以x方向为例，建立运动方方向为例，建立运动方程）。程）。4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程 整理后，得到整理后，得到 这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍意义，既适应于这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍意义，既适应于理想流体，也适应于粘性流体。这是一组不封闭的方程，在质量力已理想流体，也适应于粘性流体。这是一
35、组不封闭的方程，在质量力已知的情况下，方程中多了知的情况下，方程中多了6个应力分量，要想得到封闭形式，必须引个应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本构关系，如粘性流体的广义牛顿内摩擦定律。入本构关系，如粘性流体的广义牛顿内摩擦定律。4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程2、Navier-Stokes方程组（粘性流体运动方程组）方程组（粘性流体运动方程组）人类对流体运动的描述历史是：人类对流体运动的描述历史是：1500年以前年以前Da Vinci（1452-1519，意大利科学家
36、）定性描述。，意大利科学家）定性描述。1755年年Euler（瑞士科学家，（瑞士科学家，1707-1783）推导出理想流体运动方程。）推导出理想流体运动方程。1822年年Navier（1785-1836，法国科学家）开始考虑流体粘性。，法国科学家）开始考虑流体粘性。1829年年Poisson(1781-1846)1843年年Saint Venant（1795-1886)1845年年Stokes(1819-1903，英国科学家，英国科学家)结束，完成了推导过程，提出现结束，完成了推导过程，提出现在形式的粘性流体运动方程。（历时在形式的粘性流体运动方程。（历时90年）年）4.54.5、粘性流体运动
37、方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程以以x方向的方程为例，给出推导。方向的方程为例，给出推导。引入广义牛顿内摩擦定理，即引入广义牛顿内摩擦定理，即代入得到代入得到4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程 对于对于y和和z方向的方程为方向的方程为 这就是描述粘性流体运动的这就是描述粘性流体运动的N-S方程组，适应于可压缩和不可压缩方程组，适应于可压缩和不可压缩流体。流体。4.54.5、粘性
38、流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程 写成张量的形式为写成张量的形式为 对于不可缩流体，对于不可缩流体，且粘性系数近似看作常数，方程组可得，且粘性系数近似看作常数，方程组可得到简化。仍以到简化。仍以x向方程进行说明向方程进行说明。4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程由此可得到由此可得到张量形式张量形式矢量形式矢量形式4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运
39、动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程 为了研究流体的有旋性，为了研究流体的有旋性，格罗米柯格罗米柯-Lamb等将速度的随体导数加以分等将速度的随体导数加以分解，把涡量分离出来，形成如下形式的解，把涡量分离出来，形成如下形式的格罗米柯格罗米柯-Lamb型方程。型方程。3、Bernoulli积分积分 伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中，族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯伯努利），尼古拉斯伯努利），1623-1708，瑞士，瑞
40、士伯努利数学家族第一代。伯努利数学家族第一代。Bernoulli,Johann（约翰伯努利），（约翰伯努利），1667-1748，伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。，伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼尔伯努利），（丹尼尔伯努利），1700-1782，伯努利数学家族第三代，伯努利数学家族第三代，Johann.伯努利的儿子，著有流体动力学（伯努利的儿子，著有流体动力学（1738），将微积分方法），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、
41、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程与与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分积分理想流体运动方程类似，积分N-S方程假定：方程假定：（1）不可压缩粘性流体；（）不可压缩粘性流体；（2）定常流动；（）定常流动；（3）质量力有势；（）质量力有势；（4）沿流）沿流线积分。沿流线积分线积分。沿流线积分N-S方程，可推导出粘性流体的能量方程。与理想方程，可推导出粘性流体的能量方程。与理想流体能量不同的是，方程中多了一项因粘性引起的损失项，表示流体质流体能量不同的是，方程中多了一项因粘性引起的损失项，表示流体质点克服粘性应力
42、做功所消耗的能量。点克服粘性应力做功所消耗的能量。在粘性不可压缩定常流动中，任取一条流线，在流线上某处取一微段在粘性不可压缩定常流动中，任取一条流线，在流线上某处取一微段ds，该处所对应的流速为，该处所对应的流速为4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程沿流线积分沿流线积分N-S方程，有方程，有在定常流情况下，迹线和流线重合。在定常流情况下，迹线和流线重合。4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navie
43、r-Stokes方程方程方程方程流线微段与速度之间的关系为流线微段与速度之间的关系为4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程质量力有势，因此有质量力有势，因此有不可压缩定常流动，有不可压缩定常流动，有粘性项写成为粘性项写成为在流线微段上，微分形式为在流线微段上，微分形式为4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程 与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘性有关
44、的项，物与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘性有关的项，物理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所做的功，代表机械能的损失，理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所做的功，代表机械能的损失，不可能再被流体质点机械运动所利用。故称其为单位质量流体的机械能不可能再被流体质点机械运动所利用。故称其为单位质量流体的机械能损失或能量损失。损失或能量损失。对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为 方程两边同除以方程两边同除以g，得到，得到 表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体
45、运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程 如果令如果令 能量方程变为能量方程变为 单位时间单位重量流体所具有的机械能为单位时间单位重量流体所具有的机械能为 ；单位时间单位重量；单位时间单位重量流体粘性力所做的功为流体粘性力所做的功为 。沿着同一条流线积分，得到。沿着同一条流线积分，得到4.54.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程-Navier-Stokes-Navier-Stokes方程方程方程方程 上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单位时间单位重量流体的上式说明，在粘性流体
46、中，沿同一条流线上单位时间单位重量流体的所具有的机械能总是沿程减小的，不能保持守恒（理想流体时，总机所具有的机械能总是沿程减小的，不能保持守恒（理想流体时，总机械能是保持守恒的，无机械能损失），减小的部分代表流体质点克服械能是保持守恒的，无机械能损失），减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的机械能量。粘性流体的粘性应力做功所消耗的机械能量。粘性流体的Bernoulli积分方程说明，积分方程说明，粘性流体在流动中，无论势能、压能和动能如何转化，但总机械能是粘性流体在流动中，无论势能、压能和动能如何转化，但总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方。通常所说沿程减小的，总
47、是从机械能高的地方流向机械能低的地方。通常所说的，水从高处流向低处，高压流向低压，都是不完全的。的，水从高处流向低处，高压流向低压，都是不完全的。4.64.6、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质 粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。的耗散性。1、粘性流体运动的涡量输运方程、粘性流体运动的涡量输运方程 为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。必要的。其其La
48、mb型方程是型方程是 引入广义牛顿内摩擦定理引入广义牛顿内摩擦定理4.64.6、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质Lamb型方程变为型方程变为对上式两边取旋度，得到对上式两边取旋度，得到整理后得到整理后得到4.64.6、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质 这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三
49、者中，最常见的是粘性作用。由于粘性作用。由于（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为 这个方程即为这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。涡量守恒方程。4.64.6、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质（2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为张量形式为张量形式为（3）对于二维流动，上式简化为）对于二维流动，上式简化为4.64.6、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘
50、性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质2、粘性流体运动的有旋性、粘性流体运动的有旋性 理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为动方程组为 根据场论知识，有根据场论知识，有 代入上式，得到代入上式，得到4.64.6、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质、粘性流体运动的基本性质 如果流动无旋，则如果流动无旋，则 这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘