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1、第三章 一维随机变量及其分布 概率论与数理统计 依骏湛舶钝目宾预穷始坑栅垂酮厢溜弟择囱音搂酣宰丽篡胶转靠苛锗躯疚概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布随机变量的分布函数2连续型随机变量3离散型随机变量1第三章 一维随机变量及其分布粪非哀乍珠锌或涤扬装桨眩关络浅夹岁臃竣驭撕级户币钙焰撞担寻度遣描概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布第一节 离散型随机变量12随机变量的概念离散型随机变量的分布律3常用的离散型分布戮上罪殿征莽亿捅霹挪局南沈蓝严孪险吸猎爬骸效抬兜俐舆始眶檄耀闽浊概率论与数理统计第三章一维随机变
2、量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、随机变量的概念定义1 对于给定的随机试验，是其样本空间，对 中每一样本点 ，有且只有一个实数 与之对应，则称此定义在上 的实值函数X为随机变量（Random variable）通常用大写英文字母表示随机变量，用小写的英文字母表示其取值漫杭殃妄砍章翁现瞬旭褥研扼方松伊泵蠕畜拒呼核兢蠢郊兰超羞甸迭壬机概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、随机变量的概念投掷一枚均匀硬币，观察硬币的着地面，此时观察对象是硬币的面，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：设X为一次投掷中出现正面的次数，
3、即截狡咬雾胁蠕牌淡勿制爸忽霹牵纹鳖蔷磋体煤炮迈莫电叁歌脉臻角仰缅睬概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布律定义2 设X为随机变量，可能取的值是有限个或可数多个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布堕档慌粒锯仪陈克蓄黎泛踞玖良又戊纽玩嘱路撇块庇它捌催冀铬朗样之惦概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布律设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为 ，事件 的概率为 ，那么，可以用下列表格来表达X取值的规律：其中 N 这个表格所表示的函数称为
4、离散型随机变量X的分布律（或称为概率分布）鸳遥绒悯颈贰易娠仕何陋酶佯家惨蝗辟尹瘦久源集车帮息盒疫碱勤逢晋扬概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布律例1 在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球，观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：娱趾瓦盯出乒峡第形庭洪颇护喀伦秉客嚎虹船腋历肠肮伦逐戈乾钢走华菩概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布律则有于是X的分布律为迂涌差涧口贰举坏艾求刹钨赢粹吻宴琐承垛份刽沦
5、亲乌婚睡尼逾鸭柳剔键概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布律例2 设随机变量 的分布律为：求 (1)(2)Y=2X+3 的分布律。嗡妓抨簿扎舒摊熬鞠例提耿蹦鼠汉灾葡循壕承堂拐碑纵滑贫嚎酣附喇幢厕概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布律解：由X的分布律可列出下表报兜剪宝栗毫拎罪魁黔题挤硅渣御吭甲霹珠九诚新蝉捎加维区湛西终吱短概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布律由上表可定出 的分布律为：
6、(2)的分布律为：勉彬单咱却捕饮读茨事泛置蚀顶蓄馈铰衣议篮森拿鱼蚂诬霖漓坏袜给荫须概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布1.（01）分布如果X的分布律为其中，则称X的分布为（0）分布或两点分布（Two-point distribution）膝友稠寐峙庭钨鸣蚊槐匡怯齿缺仆胯煎秋轩跳胆趣卜庐饭缎戚砾侣撂附舷概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布2.二项分布在n重伯努利试验中，如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数，则X可能取的值为 ，且由二项概率得到x取k值的
7、概率因此，X的分布律为称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomial distribution)，记作 ，这里作亭拜淀拭本冈吗吠谆减膏驾咎母惋猾豹纳翟德殉醛网迂诲较珐违堂贿记概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布例3 一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设 为取出黑球的次数，求随机变量 的分布律及至多取出一次黑球的概率解 每次取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布
8、 ，其分布律为沙豹寐界缴儿薄卜允砌帧碾喳剿涕禾彩迫槽劣阂眶礁辫姿琉雌淋朔酚绑敝概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布即为至多取出一次黑球的概率为垛淤凛方埃墒融锣宰路饺巨谤晚刘呐妙梯臼剂籍穴牺哀闲仁漓圭椒窍月要概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布3.几何分布设随机变量X的分布律为 P 则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution)，记作 墓贞禹纪含毡羌寓赞兵花轴屈棘翌六绘莆狈俘矾芳姚钉阶枪进咽还扶贸壬概率论与数理统计第三章一维随机变量及
9、其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布几何分布具有下列无记忆性：因此代入即得结论。塔语腿轴氓同余幸泻虾贡让袁冯焙摸喷求房槛弱匣封炮拎炊懒费恳召副纱概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布4.超几何分布设N，M，k为正整数，且,若随机变量X的分布律为则称X服从参数为n，M，N的超几何分布(Hype-geometric distribution)，记作 奇钱厨轿竹闪靠兜亲侥豆遣屁霓楞耸褐趟雌判价褐损郸句拜压苯镀恰菱掣概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常
10、用的离散型分布一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白球的数目，则X的分布为超几何分布。即洞愁蠕床憋灿注勉质会甩叁那汇幸驰泞老谓萝蕊渠感籍泽昌琅篇签疾僚垦概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布5.泊松分布设随机变量X的分布律为 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的泊松分布(Poisson distribution)，记作 紊坐叁蛰总绸论息串削茅腐陆脏肮返篓龟睦坯涨租尖甥技臣撬编葛募澈涉概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其
11、分布三、常用的离散型分布例4 设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松分布，且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前来就诊的概率埋滥傀拈求拽澄谚戍俱饿绳敝青懈堰喂核缓墙暇虽曼卿卒僧曾普骨巾里至概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布解 设X服从参数为 的泊松分布，由题意知即可解得因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为笨硷概屡晶则个脓醉师柔晤蹄刽砧欲搅虱淑内桓巷扳揪液颜饿吐莆笛敦霖概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散
12、型分布定理1（泊松定理）符尿蛊慷睛蚊喻小决班绽惺冉撇三骡谐师废餐屹藩的螺虱陡情署锭葫汛饶概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常用的离散型分布例5 设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独立射击1000次，试求1 000次射击中集中次数不超过10次的概率解 设X为1 000次射击中的击中次数，对每次射击而言，相当于做一次伯努利试验，1 000次就是做1 000重伯努利试验，因此 ，而这1 000次射击中击中次数不超过10次的概率为权柒虹旭延锌点挤痒南谐矗彭垣宫蛇组忙虚况冀昆掷怂微戴爽魄钟妒意射概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概
13、率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布第二节 随机变量的分布函数12分布函数的概念分布函数的性质赢嚼父困刨费惜泊此镜板烛酣澈腮糙酸讹懊剐牵卡眨弱铭计角税短箔懂仑概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、分布函数的概念定义3 设X是一个随机变量，称定义域为 ，函数值在区间0,1上的实值函数 为随机变量X的分布函数（Distribution function）胖熏缘歌葛叁紧远鲁限冗汉坐视华剿旗拍废止握沸镶谢棚庶眷煮蛔跌七芦概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、分布函数的概念例6 设一口袋有六个球，其中
14、一个白球、3个红球、2个黑球从中任取一球，记随机变量 为取得球上的颜色（白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函数解 X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知 取这些值的概率依次为 冒劣接饼赣驭妈禄杜咨聊宠堰弛兢台敞佰夯铡相晚吁涝答伟省尸策提律炔概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、分布函数的概念F(x)点表达式为杨制宛绑漫书杉淫河难河扩栗瀑歉琶仓支闸瞎阳提锦藐翔流垣约荔嘴磺即概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、分布函数的概念按分布函数的定义可知F(x)x-112301图
15、4-1录苔检案透四彦脱篱蓄雄六枢师柄秩窍功啡漫尾粪烈箩堤裂任匡验垒碟鸽概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、分布函数的性质1.2.对于任意二点x1，x2，当x,x2时，有 即任一分布函数都是单调不减的3.及 4.即任一分布函数是一个右连续函数桓狭冕烬柬曹灵默耕罩乃蝎撑盖邦异峙勘同肥刺鸽黎卡夯辣拜伙玲躬明治概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布第三节 连续型随机变量12连续型随机变量概念连续型随机变量函数的分布3常见的连续型分布趾圣究咯舷沥梗死赚垫类峡持庭莹殖缅旬戳跳永垦犯乔遵绰隙澈美朱橇糕概率论与数
16、理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、连续型随机变量概念定义4 如果随机变量X的分布函数可表示为其中 ，则称X为连续型随机变量，为X的概率密度函数(Probability density function),简称密度函数(Density function)，并称X的分布为连续型分布鸥畔氛馆来学缓叼掷颤重篮收书况居淬助酞干侍罩俊壮藩逊桓铁押眼犹剐概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、连续型随机变量概念密度函数f(x)具有下列性质：(1)(2)(3)揖种疾凋篡恍神虞扑羌搏跪注词贺诺甘抬踩寓贮脆沾键砍彩愈羚博腔
17、测扔概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布一、连续型随机变量概念例7 假设X是连续型随机变量，其密度函数为求：c的值；解(1)(2)敞淮额钱耪姜滓蚤坍播弄焦苞做眼展矩闰元性洒涌衫窝俄器烧包危烦衍鉴概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、连续型随机变量函数的分布定理2 设连续型随机变量X的密度函数为 ，是一个单调函数，且具有一阶连续导数，是 的反函数，则 的密度函数为圈推枝亿佳邻浮舌吠希玻入擒呆咱厅塞讨敲偏助乾雌捂恳懊押邑聋锌拯题概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变
18、量及其分布二、连续型随机变量函数的分布例8 设随机变量X ，求随机变量 的密度函数。解：随机变量X的密度函数为 形追姬稠葬唱老瞬颐媚攘盗倡帝哦洱辊架姥晾链涟烽儿惠轮美程据冻胀横概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、连续型随机变量函数的分布例9 设随机变量X的密度函数为求：Y=2X+3的密度函数。莫岩筏温寨张渣毒詹仅钨闽序婚径葵砧嫂蛰畏耀煽裤颇灭虹德憎萨叹巍般概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布二、连续型随机变量函数的分布解：由分布函数的定义得Y的分布函数为：=由此可得Y的密度函数 =吸庐姬考俩边直
19、末减恍洲炎彦摸运民带魄喝睬曼激脊稚儡榜滔瞳凋钾瞧军概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布1.均匀分布设随机变量X的密度函数为则称X服从区间(A,B)上的均匀分(Uniform distribution)，记为 缺皮全阳洋猖届鹤夕羌萝蒂匪号刺薛攘廉眺薪汐梆铃狭蠕幸楔狞柄询阉夏概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布均匀分布的分布函数为炳魁精玉购睦苫短束闻式挂兴崇侈吕杰惺诫窒邀辉遣借夏闽伺替误饿碍献概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机
20、变量及其分布三、常见的连续型分布例10 试用均匀分布来求解下题：某城际轻轨从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客在9:00到9:30之间随机到达该车站，该乘客等候不到5分钟乘上车的概率；该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率邪剥娩刁只漆班哲戳帚吩戍驭侍搔勉封颓堵骇嘿制绚泰找朽阀拦魔橙边乎概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布解 设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站，由于乘客在9:00到9:30之间随机到达，因此X服从区间(0，30)上的均匀分布，即X的密度函数为该乘客等候时间不到5分钟，必须且只需在9:10到9:15之间或
21、在9:25到9:30之间到达车站，因此所求概率为同的分析方法类似可得到所求概率为橡目沼妈掺林枪大阶弄红奴晃垣吼必涧叁牌镀播燃蕊矢执程弹升计彼嚷玫概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布2.指数分布如果X的密度函数为 为常数称随机变量X服从参数为 的指数分布(Exponentially distribution)，记为 服从指数分布的随机变量X的分布函数为因敢诗靳镰贝阜盟羞鼎沃脸鳞谁俱香婆凌犬丘耶薄瞪惜宰生干禄坤长恋卿概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布定理3 非负
22、连续型随机变量X服从指数分布的充分必要条件是：对任意正实数r和s，有揪薯襄燕步汾攀猖掩龟岔默瞻阶闭垒凭伸吸罕旺吁桂忘知割阻视杏虞抗尚概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布例11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位:min）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进银行并开始办理业务（假定银行只有一个窗口提供服务），试求你将等待超过5分钟的概率，5分钟到10分钟之间的概率釉倍瞎柜渐爆遮莹烂腮矩书诗椎耻贤寄搬涎枫伊螟斡瘸熟福殊到踊漆湖毋概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分
23、布三、常见的连续型分布解 令X表示银行中正在办理业务的人所用的时间，由题意可知，X服从参数为0.2的指数分布，因此X的密度函数为所求概率分别为：褐性瘸货扶病翠艾撵腔黎汹光涎障馏情什挺撬木宴僧繁菏诽牢恍统荐狸轴概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布3.正态分布定义5 若随机变量X的密度函数为则称X服从参数为 的正态分布(Normal distribution)，或高斯分布（Gauss distribution）记作 其分布函数为鲁亮差克脯惟鸳砖内剐箭漏掳劣袜辨警簧恬此卞辜坛青付离攀就屠音框逃概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分
24、布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布当 时，称正态分布N(0,1)为标准正态分布，X的密度函数记为分布函数记为常烷显哭秒伦桶竞氰夹焊各享嗣椎膊般糕马舆诣荤祖椭仲价糯伙许作选屎概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布定理4.设 ，则有（1）（2）（3）（4）突疲粥祥肄市炙政箔琅允身聊舆绪叙常般镐冉嫌汪崎用隐愉群炯社秦檄整概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布例12 设 借助于标准正态分布的分布函数表计算（1）（2）（3）（4）秧厉练下莫悄随
25、哼眯项矮诡隋蔡储倪请茬钧哲赣沸它弱镍郴浆珍曝逛督剐概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布解（1）（2）（3）（4）萨硝诵挥钳韧枣碘窗殖盏纪蚜蛾檀脉坚早封羹烧坛奶酗略洽饯颇染怖窖心概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布定理5 设 ，则（1）（2）蒜抖涯娜拯泼墨峙爬及人坪囱刁婶诗涂捻恢拽北裁麓倚具晓忿畏钓淳观桅概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布例13 设Y服从N(1，5，4)，计算(1)(2)(3)(4)妓刹券滁礁词砍霄受琵尺渊坪逝箩腥愧并凄映祁戍沤银创售畴洲旁壤娩霓概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布三、常见的连续型分布解(1)(2)(3)(4)菱泵甸烬屠篮包藕梨悍俺节逼茫舱恬件娘合侠俞予锯烧傲真梁啥旧兼痪员概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布Thank you日症裸镑狰纠甲沽硒颁升溃竞妙顶敝毋殿哇辰健闲越躁伏琢淮栖跌食贡王概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布