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1、 4.2 方方 差差 前前面面曾曾提提到到在在检检验验棉棉花花的的质质量量时时，既既要要注注意意纤纤维维的的平平均均长长度度，还还要要注注意意纤纤维维长长度度与与平平均均长长度度的的偏偏离离程度那么，怎样去度量这个偏离程度呢？程度那么，怎样去度量这个偏离程度呢？用用EX E(X)来来描描述述是是不不行行的的，因因为为这这时时正正负负偏差会抵消；偏差会抵消；用用E|X E(X)|来来描描述述原原则则上上是是可可以以的的，但但有有绝绝对值不便计算；对值不便计算；通通常常用用EX E(X)2来来描描述述随随机机变变量量与与均均值值的的偏离程度偏离程度第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征
2、 4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算定定义义4.3 设设X是是随随机机变变量量，若若EX E(X)2存存在在，则称其为则称其为X的的方差方差，记为，记为D(X)(或或Var(X)，即，即称称 为为X的的标准差标准差 特别地，如果特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为是离散型随机变量，分布律为 则则如果如果X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则，则 将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得 即即 今今后后我我们们会会经经常常利利用用这这个个式式子子来来计计算算随随机机变变量量X的的方方差差
3、D(X).4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.13】求例求例4-2中随机变量中随机变量X的方差的方差D(X).解：解：由于由于 1161 所以所以4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.14】设设随随机机变变量量X服服从从参参数数为为（0）的的泊泊松分布，求松分布，求D(X)解：解：由于由于X的分布律为的分布律为 ，k=0，1，2，在例在例4-4中已经求出中已经求出 ，下面计算，下面计算E(X 2)：故故4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.15】设设随随
4、机机变变量量X服服从从参参数数为为（0）的的指指数分布，求数分布，求D(X)解：解：由于指数分布的概率密度为由于指数分布的概率密度为在例在例4-7中已求出中已求出 ，故有故有4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.16】设设随随机机变变量量X服服从从(a，b)上上的的均均匀匀分分布布，求求D(X)解：解：由于均匀分布的概率密度为由于均匀分布的概率密度为所以所以4.2.1 4.2.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.17】设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为求求D(X)及及D(Y)解：解：记记D：|y|x，0 x 1，如图，则，如图，则 ,4.2.1 4.2
5、.1 方差的概念与计算方差的概念与计算【例例4.18】已知随机变量已知随机变量X的概率密度为的概率密度为又又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求，求a，b，c 解：解：由于由于从上面三个方程中可以解得从上面三个方程中可以解得a=12,b=12,c=34.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质 (1)设设c是常数，则是常数，则D(c)=0；(2)设设c是常数，是常数，X是随机变量，则是随机变量，则 D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)设设X，Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y)；特别，当特别，当X，Y是
6、相互独立的随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(4)D(X)=0的的充充要要条条件件是是X以以概概率率1取取常常数数c，即即PX=c=14.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质(1)设设c是常数，则是常数，则D(c)=0；证明：证明：(2)设设c是常数，是常数，X是随机变量，则是随机变量，则 D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；证明：证明：4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质(3)设设X，Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX E(X)Y E(Y)；特别，当特别，当X，Y是相互独立的
7、随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)；证明：证明：当当X，Y是相互独立的随机变量时，是相互独立的随机变量时，4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质 性质性质(4)证明从略证明从略.由由性性质质(2)和和(3)容容易易推推广广得得到到，若若X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量，为常数，则为常数，则 前前面面例例4-3中中已已经经用用定定义义求求出出了了二二项项分分布布的的数数学学期期望望，现现在在再再用用数数学学期期望望和和方方差差的的性性质质来来求求它它的的期期望和方差。望和方差。4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例
8、例4.19】设设随随机机变变量量X服服从从二二项项分分布布B(n，p)，求求E(X)和和D(X)解解：X可可视视为为n重重伯伯努努利利试试验验中中某某个个事事件件A发发生生的的次数，次数，p为每次试验中为每次试验中A发生的概率发生的概率引入随机变量引入随机变量Xi（i=1，2，n）：）：则则又又4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质因为因为X1，X2，Xn相互独立，且相互独立，且由数学期望和方差的性质可得由数学期望和方差的性质可得4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质【例例4.20】一一机机场场班班车车载载有有20名名乘乘客客自自机机场场开开出出，途途中中有有10个个车车站站可可以
9、以下下车车，如如果果到到达达一一个个车车站站没没人人下下车车则则不不停停车车，用用X表表示示班班车车的的停停车车次次数数，求求X的的数数学学期期望望E(X)及及标标准准差差（设设每每位位乘乘客客在在各各个个车车站站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）解解：依依题题意意，每每位位乘乘客客在在第第i个个车车站站下下车车的的概概率率均均为为1/10，不不下下车车的的概概率率均均为为9/10,则则班班车车在在第第i个个车站不停车的概率为车站不停车的概率为 所以所以4.2.2 4.2.2 方差的性质方差的性质从而，从而，4.2.2 4.2.2 方差的性
10、质方差的性质【例例4.21】设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布 求求D(X)解：解：设设 ，由于，由于 所以所以ZN(0，1)，从而，从而又又E(Z)=0，所以，所以故故【实实验验4-1】用用Excel计计算算例例4-2中中随随机机变变量量的的数数学学期望与方差期望与方差实验准备：实验准备：函数函数SUMPRODUCT的使用格式：的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,.)功功能能：返返回回多多个个区区域域array1,array2,array3,.对对应数值乘积之和应数值乘积之和X X100001000050005000100010001001
11、0010100 0p pi i1/101/105 52/102/105 510/1010/105 5100/10100/105 51000/101000/105 5p p0 0 实验步骤：实验步骤：(1)整理数据如图整理数据如图4-2左所示左所示 图图4-2 计算数学期望计算数学期望 (2)计计 算算 E(X)，在在 单单 元元 格格 B8中中 输输 入入 公公 式式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望得到期望E(X)如图如图4-2右所示右所示 (3)为为了了计计算算方方差差，首首先先计计算算xi E(X)2，在在单单元元格格C2中输入公式：中输入公式：=(A2-B$8)
12、2并将公式复制到单元格区域并将公式复制到单元格区域C3:C7中，如图中，如图4-3左所示左所示 图图4-3 计算方差计算方差 (4)计计 算算 方方 差差，在在 单单 元元 格格 B9中中 输输 入入 公公 式式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得计算结果如图即得计算结果如图4-3右所示右所示 【建模实例建模实例】解解(1)建立概率模型建立概率模型因为因为的概率密度为的概率密度为所以所以(2)模型求解模型求解分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布 B(n,p)泊松分布泊松分布()均匀分布均匀分布 U(a,b)指数分布指数分布 Exp()正态分布正态分布 N(,2)重要分布的期望和方差重要分布的期望和方差