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1、“问题是数学的心脏问题是数学的心脏问题是数学的心脏问题是数学的心脏,数学是思维的体操数学是思维的体操数学是思维的体操数学是思维的体操”数学教学实际上就是伴随着解题（载体）来提高学数学教学实际上就是伴随着解题（载体）来提高学数学教学实际上就是伴随着解题（载体）来提高学数学教学实际上就是伴随着解题（载体）来提高学生的思维能力的！生的思维能力的！生的思维能力的！生的思维能力的！对初中数学解题教学的认识与思考对初中数学解题教学的认识与思考对初中数学解题教学的认识与思考对初中数学解题教学的认识与思考著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要著名数学家和数学教
2、育家项武义先生说，教数学要著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生教给学生教给学生教给学生“大巧大巧大巧大巧”通性通法，要教学生通性通法，要教学生通性通法，要教学生通性通法，要教学生“运用之运用之运用之运用之妙，存乎一心妙，存乎一心妙，存乎一心妙，存乎一心”，以不变应万变，不讲或少讲只能，以不变应万变，不讲或少讲只能，以不变应万变，不讲或少讲只能，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或几个题目的对付一个或几个题目的对付一个或几个题目的对付一个或几个题目的“小巧小巧小巧小巧”.但思维能力的提高不能拘泥于一招一式但思维能力的提高不能拘泥于一招一式但思维能力的提高不能拘泥于一招一式但思维
3、能力的提高不能拘泥于一招一式,应该讲应该讲应该讲应该讲“一一一一般有用的方法般有用的方法般有用的方法般有用的方法”小巧固不足取，大巧也确实太难小巧固不足取，大巧也确实太难小巧固不足取，大巧也确实太难小巧固不足取，大巧也确实太难.对于大多数学生，对于大多数学生，对于大多数学生，对于大多数学生，还要重视有章可循的招式。还要重视有章可循的招式。还要重视有章可循的招式。还要重视有章可循的招式。由小到大，以小御大，小由小到大，以小御大，小由小到大，以小御大，小由小到大，以小御大，小题做大，小中见大题做大，小中见大题做大，小中见大题做大，小中见大.对初中数学解题教学的认识与思考对初中数学解题教学的认识与思
4、考对初中数学解题教学的认识与思考对初中数学解题教学的认识与思考一、解题教学必须让学生一、解题教学必须让学生一、解题教学必须让学生一、解题教学必须让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”五、充分提高例（习）题的教育价值五、充分提高例（习）题的教育价值五、充分提高例（习）题的教育价值五、充分提高例（习）题的教育价值二、教师应加强对波利亚解题思想的理解二、教师应加强对波利亚解题思想的理解二、教师应加强对波利亚解题思想的理解二、教师应加强对波利亚解题思想的理解四、提高学生解题能力的要素分析四、提高学生解题能力的要素分析三、解题教学要渗透与提炼数
5、学思想方法三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法六、解题错误分析六、解题错误分析六、解题错误分析六、解题错误分析案例案例案例案例1 1 1 1：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？：老师，你该告诉我们你是怎么想到的？问题问题问题问题:已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，H H H H为为为为ABCABCABCABC内任意一点，连结内任意一点，连结内任意一点，连结内任意一点，连结AHAHAHAH并延长交并延长交并延长交并延长交BCBCBCBC于于
6、于于D D D D，连结，连结，连结，连结BHBHBHBH并延长交并延长交并延长交并延长交ACACACAC于于于于E E E E，连结，连结，连结，连结CHCHCHCH并并并并延长交延长交延长交延长交ABABABAB于于于于F F F F，求证：，求证：，求证：，求证：DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.DH/AD+EH/BE+HF/CF=1.A AB D CB D CFE EH H一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其
7、所以然！”A AB D CB D CFE EH H变证为猜！猜变证为猜！猜变证为猜！猜变证为猜！猜DH/AD+EH/BE+HF/CF=?DH/AD+EH/BE+HF/CF=?DH/AD+EH/BE+HF/CF=?DH/AD+EH/BE+HF/CF=?一般问题一般问题一般问题一般问题特殊化方法特殊化方法特殊化方法特殊化方法类比思想类比思想类比思想类比思想回归特殊问题回归特殊问题回归特殊问题回归特殊问题一般结论一般结论一般结论一般结论一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”案例案例案例案例2 2：这
8、样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？问题：如图问题：如图问题：如图问题：如图1 1，已知，已知，已知，已知ABCABC中，中，中，中，AB=AC,PAB=AC,P是是是是ABCABC内部任意一点，将内部任意一点，将内部任意一点，将内部任意一点，将APAP绕点绕点绕点绕点A A顺时针旋转至顺时针旋转至顺时针旋转至顺时针旋转至AQAQ，使，使，使，使QAP=QAP=BACBAC，连结，连结，连结，连结BQBQ，CPCP，则，则，则，则BQ=CP”BQ=CP”小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过分析证明了小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过分析证明了小亮是一个爱动脑筋
9、的同学，他通过分析证明了小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过分析证明了ABQABQACPACP，从而证得，从而证得，从而证得，从而证得BQ=CPBQ=CP之后，将点之后，将点之后，将点之后，将点P P移动到等腰移动到等腰移动到等腰移动到等腰ABCABC外，外，外，外，原题中的条件不变，发现原题中的条件不变，发现原题中的条件不变，发现原题中的条件不变，发现BQ=CPBQ=CP仍然成立，请你就图仍然成立，请你就图仍然成立，请你就图仍然成立，请你就图2 2给出证明。给出证明。给出证明。给出证明。AB CP PQQ图图图图1 1A AB CB CQQP P图图图图2 2（教师把题目朗读了一遍后，便引导学生
10、进行分析（教师把题目朗读了一遍后，便引导学生进行分析（教师把题目朗读了一遍后，便引导学生进行分析（教师把题目朗读了一遍后，便引导学生进行分析）一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”AB CP PQQ图图图图1 1A AB CB CQQP P图图图图2 2教师：如图教师：如图教师：如图教师：如图2 2 2 2，AQAQAQAQ是由是由是由是由APAPAPAP旋转得到的，因此它们之间的关系是怎样的呢？旋转得到的，因此它们之间的关系是怎样的呢？旋转得到的，因此它们之间的关系是怎样的呢？旋转得到的，因
11、此它们之间的关系是怎样的呢？学生学生学生学生1 1 1 1：相等。：相等。：相等。：相等。教师：由教师：由教师：由教师：由QAP=BACQAP=BACQAP=BACQAP=BAC可得可得可得可得QAP+BAP=BAC+BAP,QAP+BAP=BAC+BAP,QAP+BAP=BAC+BAP,QAP+BAP=BAC+BAP,于是有于是有于是有于是有QAB=PACQAB=PACQAB=PACQAB=PAC，题，题，题，题中还有一个已知条件是中还有一个已知条件是中还有一个已知条件是中还有一个已知条件是AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，那么能否得到，那么能否得到，那么能否得到，那么能否得到ABQ
12、ACPABQACPABQACPABQACP呢？为什么？呢？为什么？呢？为什么？呢？为什么？学生学生学生学生2 2 2 2：能得到，根据：能得到，根据：能得到，根据：能得到，根据SASSASSASSAS定理。定理。定理。定理。教师：这样我们便知教师：这样我们便知教师：这样我们便知教师：这样我们便知BQ=CPBQ=CPBQ=CPBQ=CP仍然成立。仍然成立。仍然成立。仍然成立。案例案例案例案例2 2：这样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？：这样的启发有用吗？一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然
13、，更知其所以然！”这种这种这种这种“以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读以教师的读题来代替学生对问题的自主阅读”的教学现象和的教学现象和的教学现象和的教学现象和“以为教师对问题已经理解便认为学生以为教师对问题已经理解便认为学生以为教师对问题已经理解便认为学生以为教师对问题已经理解便认为学生也就能明确问题所提供的条件信息和目标信息也就能明确问题所提供的条件信息和目标信息也就能明确问题所提供的条件信息和目标信息也就能明确问题所提供的条件信息和目标信息”的教的教的教的教学观念，在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生学观念，
14、在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生学观念，在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生学观念，在日常的课堂教学中实在比较常见。但学生是否是否是否是否“明确了问题所提供的条件信息和目标信息，并明确了问题所提供的条件信息和目标信息，并明确了问题所提供的条件信息和目标信息，并明确了问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象在头脑里建立起问题的表象在头脑里建立起问题的表象在头脑里建立起问题的表象”了呢？这些都是学生进了呢？这些都是学生进了呢？这些都是学生进了呢？这些都是学生进行数学问题解决的第一步，也是至关重要的一步。否行数学问题解决的第一步，也是至关重要的一步。否行数学问题解决的第一步
15、，也是至关重要的一步。否行数学问题解决的第一步，也是至关重要的一步。否则学生扮演的无非是教师的则学生扮演的无非是教师的则学生扮演的无非是教师的则学生扮演的无非是教师的“同声筒同声筒同声筒同声筒”角色，这样的角色，这样的角色，这样的角色，这样的教学，是无法产生理想的教学效果的。实验表明，对教学，是无法产生理想的教学效果的。实验表明，对教学，是无法产生理想的教学效果的。实验表明，对教学，是无法产生理想的教学效果的。实验表明，对于数学题而言，于数学题而言，于数学题而言，于数学题而言，教师的有声读题在引起学生注意力水教师的有声读题在引起学生注意力水教师的有声读题在引起学生注意力水教师的有声读题在引起学
16、生注意力水平上低于学生默读平上低于学生默读平上低于学生默读平上低于学生默读。因此，本例应让学生默读问题，。因此，本例应让学生默读问题，。因此，本例应让学生默读问题，。因此，本例应让学生默读问题，自主分析题中信息，并尝试用自己的语言解释题目中自主分析题中信息，并尝试用自己的语言解释题目中自主分析题中信息，并尝试用自己的语言解释题目中自主分析题中信息，并尝试用自己的语言解释题目中的信息。的信息。的信息。的信息。一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”教学中教师常发出信息：教学中教师常发出信息：教学中
17、教师常发出信息：教学中教师常发出信息：你们都听懂了吗？你们都听懂了吗？你们都听懂了吗？你们都听懂了吗？收到学生回复的信收到学生回复的信收到学生回复的信收到学生回复的信息也常是：息也常是：息也常是：息也常是：听懂了。听懂了。听懂了。听懂了。于是教师便以为学生真的懂了。其实，于是教师便以为学生真的懂了。其实，于是教师便以为学生真的懂了。其实，于是教师便以为学生真的懂了。其实，“听懂听懂听懂听懂”与与与与“真懂真懂真懂真懂”之间仍有着明显的差距。之间仍有着明显的差距。之间仍有着明显的差距。之间仍有着明显的差距。“听懂了听懂了听懂了听懂了”仅表明仅表明仅表明仅表明学生能在他人的解题思路的引领下，了解到
18、问题的解答思路。学生能在他人的解题思路的引领下，了解到问题的解答思路。学生能在他人的解题思路的引领下，了解到问题的解答思路。学生能在他人的解题思路的引领下，了解到问题的解答思路。但数学问题的但数学问题的但数学问题的但数学问题的关键是寻找解题思路和突破解题的难点。关键是寻找解题思路和突破解题的难点。关键是寻找解题思路和突破解题的难点。关键是寻找解题思路和突破解题的难点。若学生若学生若学生若学生不能真正领悟解题思路的获得过程，那么，除了当时在解题思不能真正领悟解题思路的获得过程，那么，除了当时在解题思不能真正领悟解题思路的获得过程，那么，除了当时在解题思不能真正领悟解题思路的获得过程，那么，除了当
19、时在解题思路上相互之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于路上相互之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于路上相互之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于路上相互之间产生共鸣的学生外，对于其他学生，尤其是对于那些理解能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题那些理解能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题那些理解能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题那些理解能力较弱的学生，当他们面对相似的甚至同一个问题时，仍然难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助学生时，仍然难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助学生时，仍然难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助
20、学生时，仍然难以顺利解决。因此在教学中，教师除了要帮助学生理解他人解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，理解他人解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，理解他人解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，理解他人解题的思路外，还应针对不同学生的思维特点和能力，通过个别辅导或同伴互助等方式，通过个别辅导或同伴互助等方式，通过个别辅导或同伴互助等方式，通过个别辅导或同伴互助等方式，帮助他们能从自身的思路出帮助他们能从自身的思路出帮助他们能从自身的思路出帮助他们能从自身的思路出发获得解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的原因，发获得解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的
21、原因，发获得解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的原因，发获得解决问题的策略，或帮助他们分析其思路受阻的原因，进而领悟问题解决的策略。进而领悟问题解决的策略。进而领悟问题解决的策略。进而领悟问题解决的策略。故此，问题解决后，教师应组织学故此，问题解决后，教师应组织学故此，问题解决后，教师应组织学故此，问题解决后，教师应组织学生反思思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分生反思思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分生反思思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分生反思思维的探索过程，评价同伴的解题方法，并从中进行分析、归纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能
22、析、归纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能析、归纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能析、归纳、比较和选择，以提高数学解决问题与数学思考的能力。力。力。力。一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”案例案例4 4：解题贵在揭示本质：解题贵在揭示本质如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD对折，使点对折，使点
23、C C落落在点在点E E处，处，BEBE交交ADAD于于F F，连结，连结AEAE。求证：。求证：AEBD.AEBD.B CA DEF解出习题并不是学习数学的全部解出习题并不是学习数学的全部或最终目的，应通过反思活动，或最终目的，应通过反思活动，去挖掘题目背后的本质，若对图去挖掘题目背后的本质，若对图形的几何本质没有实质性的揭示，形的几何本质没有实质性的揭示，各种证明方法只能是同一水平的各种证明方法只能是同一水平的简单重复。简单重复。一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”l l1 1l2图图a
24、图图b图图c数学教学中要关注过程，是指在数学教学中应展现基本概念的抽象与概括过数学教学中要关注过程，是指在数学教学中应展现基本概念的抽象与概括过程，基本原理的归纳与推导过程，解题思路的探索与形成过程，基本规律的程，基本原理的归纳与推导过程，解题思路的探索与形成过程，基本规律的发现与总结过程。数学教学中要揭示本质是指教学中要沟通数学知识的内在发现与总结过程。数学教学中要揭示本质是指教学中要沟通数学知识的内在联系，提炼数学思想方法，把握基本数学规律，体验数学理性精神。联系，提炼数学思想方法，把握基本数学规律，体验数学理性精神。ABCABC中，中，中，中，CHCH AB,AB,A=2 A=2 B,B
25、,说明：说明：说明：说明：AH+CA=BHAH+CA=BH案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？教师在讲解这样一个例题（如图）教师在讲解这样一个例题（如图）题目：题目：P P是是ABCABC内一点内一点,PEAB,PFBC,PEAB,PFBC,EPF=60,EPF=60,求求BMN+CNM.BMN+CNM.教师运用的是启发发现法，想突出学生的主体地位，在充分调动教师运用的是启发发现法，想突出学生的主体地位，在充分调动着学生的思维积极性：着学生的思维积极性：师师:只知道一个角的大小只知道一个角的大小,但有两个平行关系但有两个平行关系,如何来求解呢？如何来求解呢？问题不难，学生的水
26、平又不错问题不难，学生的水平又不错,于是一个个解法被学生们发现了于是一个个解法被学生们发现了!每一个提出了新解法每一个提出了新解法,为我们的发现学习添砖加瓦也作了贡献的为我们的发现学习添砖加瓦也作了贡献的学生学生,当教师夸奖他并叫他坐下时当教师夸奖他并叫他坐下时,自得的心情溢于言表自得的心情溢于言表.于是于是,课课堂的气氛十分活跃！堂的气氛十分活跃！生生1 1：我利用同旁内角：我利用同旁内角BMN=180-MPEBMN=180-MPE，CNM=180-CNM=180-NPFNPF BMN+CNM=180-MPE+180-NPF=180+EPF BMN+CNM=180-MPE+180-NPF=1
27、80+EPF=240=240AB E F CMNP一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？教师在讲解这样一个例题（如图）教师在讲解这样一个例题（如图）题目：题目：P P是是ABCABC内一点内一点,PEAB,PFBC,PEAB,PFBC,EPF=60,EPF=60,求求BMN+CNM.BMN+CNM.AB E F CMNP师：很好！表述也简明，谁还有好解法？师：很好！表述也简明，谁还有好解法？(从启发的角度看，这从启发的角度看，这纯粹是一句废
28、话纯粹是一句废话!)!)生生2 2：我利用同位角：我利用同位角：BMN=EPNBMN=EPN，CNM=FPMCNM=FPM相加得相加得 BMN+CNM=EPN+FPM=180+EPF=240 BMN+CNM=EPN+FPM=180+EPF=240 师：不简单，这样的同位角，老师一时还看不大出来呢！师：不简单，这样的同位角，老师一时还看不大出来呢！(好谦好谦虚虚!)!)，还有新解法吗？，还有新解法吗？(教师总是期望着她的教师总是期望着她的“得意门生得意门生”，一，一个接一个的能不断的站出来助她一臂个接一个的能不断的站出来助她一臂!而她自己则已而她自己则已“启发乏术启发乏术”了呢了呢!？)一、要让
29、学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？教师在讲解这样一个例题（如图）教师在讲解这样一个例题（如图）题目：题目：P P是是ABCABC内一点内一点,PEAB,PFBC,PEAB,PFBC,EPF=60,EPF=60,求求BMN+CNM.BMN+CNM.AB E F CMNP生生3 3：我利用外角定理：我利用外角定理 BMN=A+ANMBMN=A+ANM，CNM=A CNM=A+AMN+AMN。相加得。相加得BMN+CNM=180+A BMN+CNM=
30、180+A，延长，延长EPEP交交AC AC 于于K K，易得，易得A=EPF=60 BMN+CNM=240A=EPF=60 BMN+CNM=240生生4 4：我利用四边形的内角和定理：我利用四边形的内角和定理 在四边形在四边形BMNCBMNC中，中，BMN+CNM=360-B-C=180+A=240BMN+CNM=360-B-C=180+A=240生生5 5：我利用内错角：我利用内错角生生6 6：我利用平角关系：我利用平角关系教师得意的心情，清晰的反映在她的笑脸上了，轻松活跃的课堂，教师得意的心情，清晰的反映在她的笑脸上了，轻松活跃的课堂，一个接一个的一个接一个的“好好”解法，她的心花能不怒
31、放吗？解法，她的心花能不怒放吗？然而，我恰陷入了沉思中然而，我恰陷入了沉思中然而，我恰陷入了沉思中然而，我恰陷入了沉思中!K一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？AB E F CMNPK案例分析：案例分析：1.1.有多少学生参与了这一有多少学生参与了这一“伟大的伟大的”发现活动？发现活动？我一次次环顾四周我一次次环顾四周,作着粗略的统计作着粗略的统计.举手的举手的,在嘀咕的在嘀咕的,合起来不超过合起来不超过6060.也就是对于这一不错的班级
32、来说也就是对于这一不错的班级来说,也有约也有约4040的学生的学生,一直在做着这发现过程的陪客一直在做着这发现过程的陪客!对于他们来对于他们来说说,这纯然是一个超负荷超速度的灌输这纯然是一个超负荷超速度的灌输!始终享受不到发现的乐始终享受不到发现的乐趣趣.2.2.关鍵时刻教师启导了什么关鍵语？他的作用体现在哪里？关鍵时刻教师启导了什么关鍵语？他的作用体现在哪里？纵观全过程，给人的唯一的深印象是：纵观全过程，给人的唯一的深印象是：教师缺乏启发的好点子，教师缺乏启发的好点子，总是一句总是一句“谁还有好解法？谁还有好解法？”，依赖优生是她的法宝，依赖优生是她的法宝。这是我们可以经常见到的这是我们可以
33、经常见到的“发现教学发现教学”中的现象中的现象!应该提醒学生：应该提醒学生：“这里有些什么图形这里有些什么图形?”（平行线（平行线;三角形三角形;四边四边形形;）,“可能可以利用哪些几何结论？可能可以利用哪些几何结论？”等等,总之总之,教师课前教师课前要想好关鍵性的启导语要想好关鍵性的启导语!一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？AB E F CMNP3.3.这多个解法难道不是在低水平上的一种这多个解法难道不是在低水平上的一种同语反复？同语
34、反复？!(!(利用内错角；利用同旁内角利用内错角；利用同旁内角),),为什么没出现令人惊异的好解法为什么没出现令人惊异的好解法?是真的没有么是真的没有么?增加条件得来的解法增加条件得来的解法:比如令比如令 BMN=100,BMN=100,可得可得CNM=A+AMN=60+CNM=A+AMN=60+（180-100180-100）=140BMN+CNM=100+140=240140BMN+CNM=100+140=240这样的解法，特别适用于填空题、选择题。它的一般化便是这样的解法，特别适用于填空题、选择题。它的一般化便是 代数解法代数解法:令令 BMN=t,BMN=t,则则CNM=A+AMN=C
35、NM=A+AMN=60+60+（180-t180-t）BMN+CNM=t+60+BMN+CNM=t+60+（180-180-t t）=240=240这一解法难道不妙么这一解法难道不妙么?但它明显地是基于对某角取特殊值但它明显地是基于对某角取特殊值的增加条件得来的解法的增加条件得来的解法.它们是有一般意义的！它们是有一般意义的！一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！”案例案例5 5：教师的作用在哪里？：教师的作用在哪里？AB E C(F)MP(N)由极端情形引出的解答：由极端情形引出的解答：当当P
36、 P点无限接近于点无限接近于ACAC边时边时,结论仍然成立；结论仍然成立；当当P P点在点在ACAC边上时边上时,按极端原理按极端原理,结论也能成立结论也能成立,是这样吗？是这样吗？这时这时P P点与点与N N点重合点重合,PF,PF与与NCNC重合重合,BMN+CNM,BMN+CNM=BMN+CPM=BMN+EPM+CPE=BMN+CPM=BMN+EPM+CPE=180+CPE=240=180+CPE=240当当P P点无限接近于点无限接近于A A点时点时,结论仍然成立结论仍然成立;当当P P点与点与A A点重合时点重合时,按极端原理按极端原理,结论也应能成立结论也应能成立,是这样吗？是这样
37、吗？这时这时,P,P点与点与A A点重合点重合,E,E点与点与B B点重合点重合,F,F点与点与C C点重合点重合.BMN+CNM=MAC+NAB=180+BAC=240BMN+CNM=MAC+NAB=180+BAC=240这样的思想方法与思路这样的思想方法与思路,的确是独具匠心、发人深省的呵！的确是独具匠心、发人深省的呵！我们认为我们认为,发现教学的价值发现教学的价值,就在于它的启发提问就在于它的启发提问,它的过程的它的过程的一般性、普遍适用性一般性、普遍适用性.A(P)MNBC一、要让学生一、要让学生一、要让学生一、要让学生“知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然！知其然，更知其所以然
38、！知其然，更知其所以然！”二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解对于数学解题方法，美籍匈牙利数学教育家波利亚进行了毕生对于数学解题方法，美籍匈牙利数学教育家波利亚进行了毕生的研究，著有世界名著的研究，著有世界名著“怎样解题怎样解题”一书，他集数十年的教学一书，他集数十年的教学和科研经验，在书中归纳了一张和科研经验，在书中归纳了一张“怎样解题表怎样解题表”。表中以提问。表中以提问的形式列出了如何的形式列出了如何“弄清问题弄清问题”、“拟定计划拟定计划”、“实现计划实现计划”、“回顾反思回顾反思”四部分。四部分。虽然
39、这张表不是万能的，但在解决问题时确实可起到虽然这张表不是万能的，但在解决问题时确实可起到“启发与启发与指导的指导的 作用作用”。可以说到现在为止是我们在指导学生解决数学。可以说到现在为止是我们在指导学生解决数学问题时最有效的启发指导法。问题时最有效的启发指导法。著名的现代数学家瓦尔登在著名的现代数学家瓦尔登在19521952年月年月2 2日瑞士苏黎世世界数学教日瑞士苏黎世世界数学教育家大会的致词中就曾说过育家大会的致词中就曾说过”每个大学生，每个学者每个大学生，每个学者,特别是每特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书个教师都应该读这本引人入胜的书”,对这本书给予了高度的评对这本书给予了高度的评
40、价价.今天今天,人们公认人们公认,在数学解题研究方面在数学解题研究方面,波利亚是一面旗帜波利亚是一面旗帜,他作他作出了划时代的贡献出了划时代的贡献.波利亚说波利亚说:我们把工作分为四个阶段。我们把工作分为四个阶段。首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么?其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系?未知数和已知数未知数和已知数据之间有什么关系据之间有什么关系?为了得到解题的思路，应该制定一个计划。为了得到解题的思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回
41、顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。第四，我们回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论。波利亚的例题波利亚的例题 一个作图题一个作图题:在给定三角形中作一正方形。正方形的两在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形的个顶点在三角形的底边上，另二个顶点分别在三角形的另两边上。另两边上。他是这样启发引导的：他是这样启发引导的：二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解“未知的是什么未知的是什么?”“一个正方形一个正方形”“已知数据是什么已知数据是什么?”“一个给定的三角形，其它没有。一
42、个给定的三角形，其它没有。”“条件是什么条件是什么?”“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一个。每边上有一个。”“是否可能满足条件是否可能满足条件?”“我想如此，但不太有把握。我想如此，但不太有把握。”“看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗?”“你说部分条件是什么意思你说部分条件是什么意思?”“你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点你看，
43、条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点?”“四个。四个。”二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解“所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去其余部分。什么样的部分条件容易满足件而舍去其余部分。什么样的部分条件容易满足?”“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是容易画出来的方形，是容易画出来的!”“画张图画张图!”学生画出图学生画出图2 2。“你仅仅保留了部分条
44、件，你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了什么程度未知的确定到了什么程度?”“如果正方形只有三个顶点在三角形如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么它是不确定的。的边线上，那么它是不确定的。”“好好!画张图。画张图。”学生画出图学生画出图3 3。“正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢化呢?”图图2 图图3二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解“你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角
45、还不在它你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变应该在的地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样，它怎样变化化；第四个角也是这样，它怎样变化?”“如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方两个正方形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大的正方形。第四角的轨迹看起来象是形。画出小的正方形与大的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么什么?它将怎样变化它将怎样变化?
46、至此至此,教师已把学生带到非常接近于教师已把学生带到非常接近于解答的地方了。如果学生能猜到第解答的地方了。如果学生能猜到第四个角的轨迹是一条直线，他就四个角的轨迹是一条直线，他就得到这个主意了。得到这个主意了。波利亚认为波利亚认为,学生除必须掌握逻辑分析方法外学生除必须掌握逻辑分析方法外,还必须掌握探索性还必须掌握探索性思维方法思维方法,波利亚致力于探索解题的一般规律波利亚致力于探索解题的一般规律,将他自己数十年的将他自己数十年的教学与科研集中具体地表现在怎样解题表上教学与科研集中具体地表现在怎样解题表上.二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理
47、解二、加强对波利亚解题思想的理解对于波利亚的解题表及有关作，人们从不同的角度阐发对于波利亚的解题表及有关作，人们从不同的角度阐发了他解题的思想本质、真谛和核心。归结煨个要点：了他解题的思想本质、真谛和核心。归结煨个要点：1、程序化解题系统。、程序化解题系统。解题表，就解题表，就“怎样解题怎样解题”、“教师应教学生做些什么教师应教学生做些什么”等问题，设计了一个等问题，设计了一个4 4步骤的步骤的程序程序弄清问题弄清问题。2、启发式的过程分析。、启发式的过程分析。波利亚就其本人在学生时波利亚就其本人在学生时代解决问题过程的体会，结合教学实际，对典型例题进代解决问题过程的体会，结合教学实际，对典型
48、例题进行了符合思维实际的启发。行了符合思维实际的启发。3、开放型的念头诱发。、开放型的念头诱发。念头就是开展积极有效的念头就是开展积极有效的思维活动。思维活动。4、探索性的问题转换。、探索性的问题转换。问题转换也叫问题转换也叫“变化问题变化问题”、“题目变更题目变更”，它揭示了探索解题思路的途径与实，它揭示了探索解题思路的途径与实质。质。二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解二、加强对波利亚解题思想的理解米山国藏指出米山国藏指出:在学校学的数学知识在学校学的数学知识,毕业后毕业后若没什么机会去用若没什么机会去用,一两年后一两年后,很快就忘掉了
49、很快就忘掉了.然而然而,不管他们从事什么工作不管他们从事什么工作,唯有深深铭刻唯有深深铭刻在心中的在心中的数学的精神、数学的思维方法、数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等研究方法、推理方法和看问题的着眼点等,却随时随地发生作用却随时随地发生作用,使他们终生受益使他们终生受益.MM劳厄尔也指出：教育的真谛是劳厄尔也指出：教育的真谛是“所有学所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法三、解题教学要渗透与提炼数学思想方法
50、数学思想是指人们对数学理论和内容本质的认识，数学数学思想是指人们对数学理论和内容本质的认识，数学方法方法是数学思想的具体表现形式。两者的本质是相同的，是数学思想的具体表现形式。两者的本质是相同的，差别只是所站的角度不同。通常称为差别只是所站的角度不同。通常称为“数学思想方法数学思想方法”。数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于。数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法,在在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。的地位。常见的