离散数学集合证.ppt

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1、第4讲 集合恒等式内容提要 1.集合恒等式与对偶原理 2.集合恒等式的证明 3.集合列的极限 4.集合论悖论与集合论公理2023/1/31集合论与图论第4讲集合恒等式(关于与)等幂律(idempotent laws)AA=AAA=A交换律(commutative laws)AB=BAAB=BA2023/1/32集合论与图论第4讲集合恒等式(关于与、续)结合律(associative laws)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)分配律(distributive laws)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)2023/1/33集合论与图论第4讲集合恒等式(关于与、续)

2、吸收律(absorption laws)A(AB)=AA(AB)=A2023/1/34集合论与图论第4讲集合恒等式(关于)双重否定律(double complement law)A=A德摩根律(DeMorgans laws)(AB)=AB(AB)=AB2023/1/35集合论与图论第4讲集合恒等式(关于与E)零律(dominance laws)AE=EA=同一律(identity laws)A=AAE=A2023/1/36集合论与图论第4讲集合恒等式(关于,E)排中律(excluded middle)AA=E矛盾律(contradiction)AA=全补律=EE=2023/1/37集合论与图论

3、第4讲集合恒等式(关于-)补交转换律(difference as intersection)A-B=AB2023/1/38集合论与图论第4讲集合恒等式(推广到集族)分配律德摩根律2023/1/39集合论与图论第4讲对偶(dual)原理对偶式(dual):一个集合关系式,如果只含有,E,=,那么,同时把与互换,把与E互换,把与互换,得到的式子称为原式的对偶式.对偶原理:对偶式同真假.或者说,集合恒等式的对偶式还是恒等式.2023/1/310集合论与图论第4讲对偶原理(举例)分配律A (B C)=(A B)(A C)A (B C)=(A B)(A C)排中律A A=E矛盾律A A=2023/1/3

4、11集合论与图论第4讲对偶原理(举例、续)零律A E=EA =同一律A =AA E=A2023/1/312集合论与图论第4讲对偶原理(举例、续)A B AA B A AE A2023/1/313集合论与图论第4讲集合恒等式证明(方法)逻辑演算法:利用逻辑等值式和推理规则集合演算法:利用集合恒等式和已知结论2023/1/314集合论与图论第4讲逻辑演算法(格式)题目:A=B.证明:x,xA (?)xB A=B.#题目:AB.证明:x,xA (?)xB AB.#2023/1/315集合论与图论第4讲分配律(证明)A(BC)=(AB)(AC)证明:x,xA(BC)xA x(BC)(定义)xA (xB

5、 xC)(定义)(xAxB)(xAxC)(命题逻辑分配律)(xAB)(xAC)(定义)x(AB)(AC)(定义)A(BC)=(AB)(AC)2023/1/316集合论与图论第4讲零律(证明)A=证明:x,xA xA x (定义)xA 0 (定义)0 (命题逻辑零律)A=2023/1/317集合论与图论第4讲排中律(证明)AA=E证明:x,xAA xA xA (定义)xA xA (定义)xA xA (定义)1 (命题逻辑排中律)AA=E2023/1/318集合论与图论第4讲集合演算法(格式)题目:A=B.证明:A =(?)=B A=B.#题目:AB.证明:A (?)B AB.#2023/1/31

6、9集合论与图论第4讲吸收律(证明)A(AB)=A证明:A(AB)=(AE)(AB)(同一律)=A(EB)(分配律)=AE (零律)=A (同一律)A(AB)=AAB2023/1/320集合论与图论第4讲吸收律(证明、续)A(AB)=A证明:A(AB)=(AA)(AB)(分配律)=A(AB)(等幂律)=A (吸收律第一式)A(AB)=AAB2023/1/321集合论与图论第4讲集合演算法(格式,续)题目:A=B.证明:()AB ()A B A=B.#说明:分=成与题目:AB.证明:AB(或AB)=(?)=A(或B)AB.#说明:化成=AB=AABAB=BAB 2023/1/322集合论与图论第4

7、讲集合恒等式证明(举例)基本集合恒等式对称差()的性质集族(AS)的性质幂集(P()的性质2023/1/323集合论与图论第4讲补交转换律A-B=AB证明:x,xA-B xA xB xA xB x ABA-B=AB.#2023/1/324集合论与图论第4讲德摩根律的相对形式A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)证明:A-(BC)=A(BC)(补交转换律)=A(BC)(德摩根律)=(AA)(BC)(等幂律)=(AB)(AC)(交换律,结合律)=(A-B)(B-A)(补交转换律).#2023/1/325集合论与图论第4讲对称差的性质1.交换律:AB=BA2.结合律:A

8、(BC)=(AB)C3.分配律:A(BC)=(AB)(AC)4.A=A,AE=A5.AA=,AA=E2023/1/326集合论与图论第4讲对称差的性质(证明2)结合律:A(BC)=(AB)C证明思路：分解成 “基本单位”,例如:1.ABC 2.A BC 3.A B C 4.ABCABCABC12342023/1/327集合论与图论第4讲对称差的性质(证明2、续1)结合律:A(BC)=(AB)C证明:首先,AB=(A-B)(B-A)(定义)=(AB)(BA)(补交转换律)=(AB)(AB)(交换律)(*)A BAB2023/1/328集合论与图论第4讲对称差的性质(证明2、续2)其次,A(BC)

9、=(A(BC)(A(BC)(*)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(*)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(德摩根律)2023/1/329集合论与图论第4讲对称差的性质(证明2、续3)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)=(A(BC)(BC)(A(BC)(BC)(德摩根律)=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(分配律)2023/1/330集合论与图论第4讲对称差的性质(证明2、续4)同理,(AB)C =(AB)C)(AB)C)(*)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(*)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(德摩根律)2023/1/331集合论与图论第

10、4讲对称差的性质(证明2、续5)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)=(AB)(AB)C)(AB)(AB)C)(德摩根律)=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(分配律)A(BC)=(AB)C.#2023/1/332集合论与图论第4讲对称差的性质(讨论)有些作者用表示对称差:AB=AB 消去律:AB=AC B=C(习题一,23)A=BC B=AC C=AB对称差与补:(AB)=AB=AB AB=AB问题:ABC=ABC?2023/1/333集合论与图论第4讲对称差的性质(讨论、续)如何把对称差推广到n个集合:A1A2A3An=?x,xA1A2A3An x恰好属于A1,A2,A3,An

11、中的奇数个特征函数表达:A1A2An(x)=A1(x)+A2(x)+An(x)(mod 2)=A1(x)A2(x)An(x)(mod 2),都表示模2加法,即相加除以2取余数)2023/1/334集合论与图论第4讲特征函数与集合运算:AB(x)=A(x)B(x)A(x)=1-A(x)A-B(x)=AB(x)=A(x)(1-B(x)AB(x)=(A-B)B(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)AB(x)=A(x)+B(x)(mod 2)=A(x)B(x)AB2023/1/335集合论与图论第4讲对称差的性质(讨论、续)问题:ABC=ABC?答案:ABC=(ABC)=(ABC)=ABC AB

12、CD=ABCD =ABCD=(ABCD)=A=(A)2023/1/336集合论与图论第4讲对称差的性质(证明3)分配律:A(BC)=(AB)(AC)证明 A(BC)=A(BC)(BC)=(ABC)(ABC)ABCA(BC)2023/1/337集合论与图论第4讲对称差分配律(证明3、续)(续)(AB)(AC)=(AB)(AC)(AB)(AC)=(AB)(AC)(AB)(AC)=(ABC)(ABC)A(BC)=(AB)(AC).#2023/1/338集合论与图论第4讲对称差分配律(讨论)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(AC)?A(BC)=(AB)(A

13、C)?2023/1/339集合论与图论第4讲集族的性质设A,B为集族集族,则1.AB A B2.AB A B 3.A AB B A4.AB B A5.A A A2023/1/340集合论与图论第4讲集族的性质(证明1)AB A B证明:x,x A A(AA xA)(A定义)A(AB xA)(AB)x B (B定义)A B.#2023/1/341集合论与图论第4讲集族的性质(证明2)AB A B 证明:x,xA AB xA (AB,合取)A(AB xA)(EG)x B A B.#2023/1/342集合论与图论第4讲集族的性质(证明3)A AB B A说明:若约定=E,则A的条件可去掉.证明:x

14、,x B y(yB xy)y(yA xy)(AB)x A B A.#2023/1/343集合论与图论第4讲集族的性质(证明4)AB B A证明:x,x B y(yB xy)AB x A (UI)xA (AB)B A.#2023/1/344集合论与图论第4讲集族的性质(证明5)A A A说明:A的条件不可去掉!证明:A y(yA),设 AA.x,x A y(yA xy)AA xA xA (AA)AA xA y(yA xy)x A A A.#2023/1/345集合论与图论第4讲幂集的性质1.AB P(A)P(B)2.P(A)P(B)P(AB)3.P(A)P(B)=P(AB)4.P(A-B)(P(

15、A)-P(B)2023/1/346集合论与图论第4讲幂集的性质(证明1)AB P(A)P(B)证明:()x,xP(A)xA xB (AB)xP(B)P(A)P(B)2023/1/347集合论与图论第4讲幂集的性质(证明1、续)AB P(A)P(B)证明(续):()x,xA xP(A)xP(B)(P(A)P(B)xB AB.#2023/1/348集合论与图论第4讲幂集的性质(证明2)P(A)P(B)P(AB)证明:x,xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxB xAB xP(AB)P(A)P(B)P(AB)2023/1/349集合论与图论第4讲幂集的性质(证明2、续)P(A)P(B)P(AB

16、)讨论:给出反例,说明等号不成立:A=1,B=2,AB=1,2,P(A)=,1,P(B)=,2,P(AB)=,1,2,1,2 P(A)P(B),1,2 此时,P(A)P(B)P(AB).#2023/1/350集合论与图论第4讲幂集的性质(证明3)P(A)P(B)=P(AB)证明:x,xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xA xB x AB xP(AB)P(A)P(B)=P(AB).#2023/1/351集合论与图论第4讲幂集的性质(证明4)P(A-B)(P(A)-P(B)证明:x,分两种情况,(1)x=,这时 xP(A-B)并且 x(P(A)-P(B)(2)x,这时 xP(A-B)x A-B

17、 xAxB xP(A)xP(B)xP(A)-P(B)P(A-B)(P(A)-P(B).#AB2023/1/352集合论与图论第4讲集合运算的优先级分三级:第一级最高,依次降低第一级:补,幂P()第二级:广义并,广义交 第三级:并,交,相对补-,对称差同一级:用括号表示先后顺序2023/1/353集合论与图论第4讲集合列的极限2023/1/354集合论与图论第4讲集合列的极限Infinite often(i.o.):Almost everywhere(a.e.)2023/1/355集合论与图论第4讲集合列的极限上极限:下极限:2023/1/356集合论与图论第4讲集合列的极限性质:2023/1/

18、357集合论与图论第4讲集合论悖论罗素悖论(Russells paradox)：S=x|xx SS?SS SSSS SS2023/1/358集合论与图论第4讲集合论公理外延公理:所含元素相同的两个集合是相等的空集存在公理:空集合存在无序对公理:对任意的a,b,a,b存在并集公理:对任意的A A,A A存在存在幂集公理:对任意的A,P(A)存在联集公理:2023/1/359集合论与图论第4讲集合论公理(续)子集公理:xA|P(x)存在正则公理:若S,则x(xSy(ySxy)无穷公理:无穷集存在替换公理:f(a)|aA 存在 (f是定义域为A的函数)2023/1/360集合论与图论第4讲集合论公理(续)选择公理(Zorn引理,良序原理):A是元素互不相交的集合,则可以从A的每个元素中恰好选择一个元素,构成一个集合2023/1/361集合论与图论第4讲总结 集合恒等式 集合恒等式的证明 集合论悖论2023/1/362集合论与图论第4讲作业(#2)p27,习题一,11,13,14,20 今天1班交作业(#1)2023/1/363集合论与图论第4讲