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1、- 1 -20192019 届高三第一次摸底考试届高三第一次摸底考试理科数学试题理科数学试题第卷一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的） 1设集合Ay|y2x，xR，Bx|x2102 0若pq为真命题，则p，q均为真命题16已知F是抛物线y24x的焦点，A，B是抛物线上两点，若AFB是正三角形，则AFB的边长为_三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量
2、X(单位：毫米)有关据统计，当X70 时，Y460；X每增加 10，Y增加 5.已知近 20 年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率1 204 202 20(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率18 （本小题满分 10 分）已
3、知曲线C1的参数方程为Error!曲线C2的极坐标方程为2(cos)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系2 4(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值19.（本小题满分 12 分）已知数列 na为公差不为 0 的等差数列，满足，且15a 成等比数列.2930,a a a（1）求 na的通项公式；（2）若数列 nb满足 ，且11 3b ，求数列 nb的前n项和nT.111n nnanbbN20. （本小题满分 12 分）已知在四棱锥中，平面,CABDEDB ABC/ /AEDB是边长为的等边三角形，为的中点.ABC21AE MAB- 4
4、 -201510551015121086422468ACDEMMPDEABABzGNMFEDC BA（1）求证：；CMEM（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的大小.DMABC2BCDE21.（本小题满分 12 分）如图，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点，上顶点x2 a2y2 b2分别为A，B，且|AB|BF|.52(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为 2 的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程22.（本小题满分 12 分）设函数f(x)(aR R)3x2ax ex(1)若f(x)在x0 处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y
5、f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围- 5 -20192019 届高三第一次摸底考试届高三第一次摸底考试理科数学参考答案理科数学参考答案1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A 11.B 12.B 13.12 14. 15. 16.84或 84131,7 3317.解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个故近 20 年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率1 203 204 207 203 20
6、2 20(2)由已知可得Y 425，故P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)X 2P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220).1 203 202 203 10故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为.3 1018.解：(1)2cos2(cos sin )，即22(cos sin )，2( 4)可得x2y22x2y0，故C2的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)C1的普通方程为xy20，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以为半径的圆，且32圆心到直线C1的距离d，|1 32|12（
7、3）23 32所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.3 32 2219.（1）设等差数列 na的公差为d()，由成等比数列可知0d 2930,a a a,又，解得,.4 分 2 111298aadadd15a 2d 23nan（2）由，得，111n nnanbbN1 1112,n nnannbb N当2n 时，11221111111111nnnnnbbbbbbbb121 111126322nnaaannn nb， 8 分- 6 -对11 3b 上式也成立， ，11 11 222nbn nnn，12nn nnbN21111111311351232422 212412nnnTnnnnnn21111
8、111311351232422 212412nnnTnnnnnn 12 分20.（1）因为是等边三角形，为的中点，所以.ABCMABCMAB又因为平面,，可得平面，DB ABCDBCMCM ABDE因为平面，所以；（4 分）EM ABDECMEM（2）如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过且与直线平M,MC MB, x yMBD行的直线为轴，建立空间直角坐标系.因为平面，所以为直线与zDB ABCDMBDM平面所成的角.（6 分）ABC由题意得，即，故，tan2BDDMBMB2BD 0,1,0B3,0,0C，于是3, 1,0BC ， 0,0,2BD ， 3, 1,1CE ， 0,1,2 ,
9、0, 1,1DE3,1,2CD ，设平面与平面的法向量分别为，BCDCDE111,x y zm，则由得，令，得，所以222,xyzn00BCBD mm11130 20xy z11x 13y .同理求得， （10 分）1, 3,0m3 2 31,33n所以，则二面角的大小为90.（12 分）cos,0m nm nm nBCDE201510551015422468101214zxyACDEMMPCDEABAB(3,1)A(1,1)3x-2y+4=0x+2y=0x+y-4=0yxDBA- 7 -21.解:(1)由已知|AB|BF|，即a，52a2b2524a24b25a2,4a24(a2c2)5a2
10、，e .c a32(2)由(1)知a24b2，椭圆C：1.x2 4b2y2 b2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即 2xy20.由Error!消去y，得x24(2x2)24b20，即 17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.2 1717x1x2，x1x2.32 17164b2 17OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而40，5(164b2) 17128 17解得b1，满足b.椭圆C的方程为y21.2 1717x2 422.解：(1)对f(x)求导得f(x)，(6xa)
11、ex(3x2ax)ex (ex)23x2(6a)xa ex因为f(x)在x0 处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0 时，f(x)，f(x)，故f(1) ，f(1) ，从而f(x)在点3x2 ex3x26x ex3 e3 e(1，f(1)处的切线方程为y (x1)，化简得 3xey0.3 e3 e(2)由(1)知f(x).3x2(6a)xa ex令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0 解得x1，x2.6aa23666aa2366当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故
12、f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a ，6aa23669 2故a的取值范围为.9,2- 8 -20192019 届高三第一次摸底考试届高三第一次摸底考试理科数学 答题卡姓名：_班级： 准考证号第 I 卷(请用 2B 铅笔填涂)第 II 卷(请在各试题的答题区内作答)注意事项注意事项 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2请将准考证条码粘贴在右侧的条码粘贴处的方框内。 3选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5 毫米黑色字迹的签字 笔填写，字体工整。 4请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、 试卷上作答无效。 5保持卡面
13、清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6填涂样例 正确 错误 - 缺考标记缺考标记考生禁止填 涂缺考标记- ！只能由监 考老师负责 用黑色字迹 的签字笔填 涂。条条 码码 粘粘 贴贴 处处1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D 4. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D 12. A B C D 13.（5 分）_ 14.（5 分）_15.（5 分）_ 16.（5 分）_17.（12 分）请在各题目的答题区域内作答，
14、超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效（续 17 题）18.（10 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效- 9 -请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19.（12 分）- 10 -请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效20.（12 分）201510551015121086422468ACDEMMPDEABABzGNMFEDC BA请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效- 11 -21.（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效- 12 -22.（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效- 13 -请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效