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1、1，20192019 届高三数学届高三数学 1010 月月考试题月月考试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）.1若集合 M ( x, y) x y 0, N ( x, y) x2 y 2 0, x R, y R ，则有（）A M N M1 aiB M N NC M N MD M N 2.若复数 z 1 i（ a R ）的虚部为 2 ，则 z （ ）A 5B 10C. 2 3D 133.已知幂函数 f ( x) x 的图象过点 （3 1 ） ， 则函数 f ( x) 在区间 1 , 2 上的最小 值是 （） 32A -14.已知 a log 2 0.1,B 1 2
2、b 2 0.1,C1D 2c 0.21.1 ，则 a, b, c 的大小关系是（）A a b cB b c aC c a b 1D a c b 15.把函数 y log 2 x 1 的图象上各点的横坐标缩短到 原来的 2度所得图象的函数式为()倍， 再向右平移 2个单位长Ay log 2 2 x 1By log 2 2 x 2x 2 5x 6Cy log 2 2 x -1Dy log 2 2 x - 26.函数 f ( x) 4 x lgx 3的定义域为()A 2 , 3B 2 , 4C. 2 , 3 3 , 4D -1, 3 3 , 67. 给出四个函数，分别满足 f x y f x f y
3、 ， g x y g x g y ， h x y h x h y ， m x y m x m y 又给出四个函数的图象，那么正 确的匹配方案可以是（）2A甲，乙，丙，丁B乙，丙，甲，丁 C丙，甲，乙，丁D丁，甲，乙，丙 8.下列四个命题： （1）函数 f ( x) 在 x 0 时是增函数， x 0 也是增函数，所以 f ( x) 是 增函数； （2）若函数 f ( x) ax 2 bx 2 与 x 轴没有交点，则 a 0 且 b2 8a 0 ； （3）y x 2 2 x 3 的递增区间为 1， ； （4） y 1 x 和 y 1 x2 表示相等函数.其中正确命题的个数是（）A0 B1C2D 3
4、39.函数 y x 2 sin x 的图象大致是()210. .已知函数 f x x 1 x e x ，则x1 x2 0 是f x1 f x2 f x1 f x2 的（）A. .充分不必要条件B必要不充分条件 C. . 充要条件D既不充分也不必要条件 cosx, x 0, 111.已知 f ( x) 为偶函数， 当 x 0 时，f ( x) 2， 则不等式 f ( x 1) 12 x 1, x ( 1 , )2的解集为（）1 24 7311 221 34 7311 3A , , B , , C , , D , , 4 33 4434 33 43 4433 412.已知函数 f ( x) lg(
5、 x) ,x 0 ， 若关于 x 的方程 f 2 ( x) bf ( x) 1 0 有 8 个不同的实x 2 6 x 4 , x 0数根，则实数 b 的取值范围是（） 17 15 17 15 A. ,2 B. 2， C. 2， D. 2， 4 4 4 4 二、填空 题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）.13. .f ( x)是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 3 的 奇 函 数 ， 当 0 x 1 时 ，f ( x) 4 x ， 则4 f ( 7 ) f 6 = 2( x a)2 sin x14设函数 f x ,已知 f (2) 5 则 f (2) . x 2 a 25 15.已知 A
6、, B, C 是直线 l 上的三点， O 是直线 l 外一点，向量 OA , OB , OC 满足 OA f ( x) f (1)OB lnx 1OC .则 f x 的解析式为 .16.对于函数 y f x ，若存在定义域 D 内某个区间 a , b，使得 y f x 在 a , b上的值域也为 a , b，则称 y f x 在定义域 D 上封闭，如果函数 f ( x) 4 x 1 x在 R 上封闭，则 b a 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.在 ABC 中，内角 A, B, C 的对分别为 a , b , c ，且 cos 2B cos B 0 .
7、(1)求角 B 的值；(2)求 b 7 , a c 5 ,求 ABC 的面积.18.如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上异于 A, B 的一点，DC BC ，DC / / EB ， AC CE，DC = EB = 1，AB = 4 .()求证： DE平面ACD ；()若 AC = BC ，求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值.19.某学校简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟） 进行调查，结果如下：t0,15)15,30)30,45)45,60)60,75)75,90)男同学人数711151221女同学人数89171332若将
8、日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”（1）将频率视为概率，估计该校 4000 名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的 8 名“读书迷”中随机抽取 4 位同学参加读书日宣传活动求抽取的 4 为同学中既有男同学又有女同学的概率；记抽取的“读书迷”中男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望622121220.已知椭圆 E : y x 1a b 0 的上、下焦点分别为 F，F ,点 D 在椭圆上，a 2b21 2DF2 F1 F2 , F1 F2 D 的面积 为 2准线 l 经过 D 点.2 ，离心率 e 22.抛物线 C : x 2 2 py ( p 0) 的（1）求椭圆
9、E 与抛物线 C 的方程；（2）过直线 l 上的动点 P 作抛物线的两条切线， 切点为 A, B ,直线 AB 交椭圆于 M , N 两点，当坐标原点 O 落在以 MN 为直径的圆外时，求点 P 的横坐标 t 的取值范围.21.已知函数x a x 1, a 为正常数.(1)若 f ( x) ln x x，且 a 9 ，求函数 f x 的单调区间； 2(2)若 g x ln x x ，且对任意 x , x 0,2， x x ，都有g x2 g x1 x2 x1 1，求 a 的取值范围.请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选
10、题目对应的题号涂黑。x 1 t22. （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中， 直线 l 的参数方程为 x 3 t（ t 为参数） ，在以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方 程为 2cos sin 2 （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求 AOB 的面积23.（本小题满分 10 分）设函数 f ( x) 2x a 2a （1）若不等式 f ( x) 6 的解集为x | 6 x 4 ，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式 f ( x) (k 2 1)
11、 x 5 的解集非空，求实数 k 的取值 范围.E 0 , 2都匀一中第三次月考理科数学答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案AABDDCDACCAC二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号13141516答案-2-3f x lnx 1 1 26三、17.解：(1)在 ABC 中，由已知 cos 2B cos B 0 ,得 2 cos2 B cos B 1 0 ，计算得出 cos B 1 或 cos B 1 (舍去).所以 B 2. （6 分)3(2)由余弦定理得 b2 a 2 c 2 2ac cos
12、 B .将 B ， b 37 代入上式，整理得a c2 3ac 7 ， 因为 a c 5 ， 所以 ac 6 ， 所以 ABC 的面积 S 1 ac sin B 3 3 . 2218.(1)证明： DC 面ABC , DC BC ；又 AB是圆O的直径 ， AC BC ；AC DC C , BC 面ACD ,又 DC / EB, DC EB, 四边形 BCDE 是平行四边形， DE / BC ； DE 面ACD . （6 分）(2)以点 C 为原点，分别以 CA, CB, CD 为 x, y, z 建立空间直角坐标系，则A2 2 ， 0， 0, D0 , 0 ,1 ， B0 , 22 , 0,
13、 B0 , 22 ,1, AD 22 , 0 ,1,D2 , 0, AB 22 , 2 2 , 0 , BE 0 , 0 ,1 .设 n1 x , y , z 为平面 ADE 的法向量，则 n1 AD 2 2 x z 0, 令x 1, 得 n1 1, 0 , 22 . n1 DE 22 y 0 设 n2 x , y , z 为平面 ABE 的法向量，则 n2 AB 22 x 22 y 0 , 1, 1,1, 0. 令x得 n2 n1 DE z 01CC58C4C4CC7142222 n n12所以 cosn1 , n2 2 . 3 26n1 n2所以平面 AED与平面ABE 所成的锐二面角的余
14、弦值为2.（12 分） 619解： （1）设该校 4000 名学生中“读书迷”有 x 人则8 100x 4000，计算得出x 320 ，所以该校 4000 名学生中“读书迷”约有 320 人（4 分）（2）抽取的 4 名同学既有男同学，又有女同学的概率 P 1 413414.（7 分） X 可取 0,1,2,3.41 3 PX 0 C5 1814, PX 1 C3C58 3 , 72 21 PX 2 C3 C5 3 , PX 3 C5 1 .4488则 X 的分布列为：0123P1143737114则 X 的期望值为: E X 0 1 1 3 2 3 3 1 3（12 分）147714220.
15、解： （1）根据题意可得 F1 0 , c， F2 0 , c， c a 2 b2, DF2 F1 F2 ，令 x c ，可得y b，可得 DF b ， F F D 的面积为 S 1 F F DF 1 2c b 2 2 ，a2a1 221 222a22将 e 2cb2代入上式可得 b 2 ，由 e 代入可得 e2 1 2aa 2 1 ，可得 a 2 22 , c 2 .即有椭圆 E 的方程为 y x 1 ；由 D 的纵坐标为 2 ，抛物线的准线方程为 y 2 ，即 84有抛物线 C 的方程为 x 2 8 y ；.（5 分）（2）设 Ax1 , y1 ， Bx2 , y2 ， M x3 , y3
16、 ， N x4 , y4 ，由 y 1 x 2 8，可得 y 1 x ，4PA : y y 1 xx x， 将 Pt , 2 代入可得 2 y 1 x t x ， 以及 y 1 x 2 ，11 1 414 1118 1可得 y 1 tx 2 ，同理可得 y 1 tx 2 ，即有直线 AB 的方程为 y 1 tx 2 ，将直1412424线AB的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 ， 可 得 32 t 2 x 2 16tx 64 0 ， 256t 2 25632 t 2 0 ，x3 x4 16tt 2 32， x3 x4 64 ， 32 t 2 2 2 即有 OM ON x x y y 1 t x
17、 x t x x 4 64 8t 320 8 ， 3 43 4 16 3423432032 t 232 t 2由点 O 在圆外，可得 OM ON 0 ，即为32 t 2 8 0 ，计算得出 22 t 2 2 .1ax 2 2 a x 1 921.解： （1） f x xx 121xx 12， a ，令 f x 0 ， 2得 x 或 x 2 ，又 f x 定义域为 0， 21 1 函数 f x 的单调增区间为 0 , ，2 , 单调减区间为 2 , 2 .（4 分） 2 g x g x g x g x g x x g x x （2）21 x2 x1 1，2 x2 x11 1 0 ，221 x2
18、x11 0 ，设 hx g x x ，根据题意， hx在 0 , 2 上是减函数.当 1 x 2 时 ， hx ln x ax 1 x ， hx 1 xax 12 1 ， 令 hx 0 ， 得x 12a x 12 x 2 3x 1 3 ， 对 x 1, 2上恒成立， 设 mx x 2 3x 1 3 ， x则 mx 2 x 3 1x 2x，1 x 2 ， mx 2 x 3 1x 2x 0 ， mx 在 1, 2上 递增，则当 x 2 时， mx 有最大值为 27 ， a 27 . 22当 0 x 1 时， hx ln x ax 1 x ， hx 1 xax 12 1 ，令 hx 0 ，得x 12
19、a x x 12 x 2 x 1 1 x， 设 tx x 2 x 1 1 ，则 tx x 2 x 1 1 0 x 2 t x 在 0 ,1 上是增函数， t x t 1 0 ， a 0 ，综上所述， a 27 .（12 分） 222解： （1）由曲线 C 的极坐标方程是： 2 cos ，得2 sin 2 2cossin 2 x 1 t由曲线 C 的直角坐标方程是： y 2 2x 由直线 l 的参数方程 y t 3，得 t 3 y 代 入x 1 t 中消去 t 得： x y 4 0 ，所以直线 l 的普通方程为： x y 4 0 （5 分）（2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y
20、 2 2x ，得 t 2 8t 7 0 ，设 A, B 两点对2 2应的参数分别为 t1 , t2 ，所 AB 2 t1 t2 2 (t1 t2 ) 4t1t2 2 8 4 7 6 2 ，4因为原点到直线 x y 4 0 的距离 d 2 2 ，所以 AOB 的面积是 1 11 AB d 1 6 2 2 2 12 （10 分） 2223解： （1） 2x a 2a 6 ， 2x a 6 2a ， 2a 6 2x a 6 2a ， 3 a 3 x 3 a . f ( x) 6 的解集为x | 6 x 4， 223 a 3 62 3 a 4 2，解得 a 2 （5 分）（2） 由 （1） 得 f ( x) 2x 2 4 2x 2 4 (k 2 1) x 5 ， 化简 2x 2 1 (k 2 1) x 2 x 3, x 1令 g ( x) 2x 2 1 2 x 1, x 1， y g ( x) 的图象如要使不等式 f ( x) (k 2 1) x 5的解集非空，需 k 2 1 2 ，或 k 2 1 1 ， k 的取值范是k | k 3 或k 3 或k 0 （10 分）