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1、- 1 -20192019 高三年级上学期数学第二次模拟考试（理科）高三年级上学期数学第二次模拟考试（理科）本试卷分为必考部分和选考部分本试卷分为必考部分和选考部分. .满分满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟必考部分必考部分一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .将所选答案标记在题后答题框内将所选答案标记在题后答题框内. .1. 设集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】C【解析】 集合，是方程的解，即，故选 C2. 命题“若，则”的否命题是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】A.3. 已知点在第三象限，则角 的终边在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：点在第三象限可知，所以角 的终边位置在第二象限考点：四个象限三角函数值的正负问题4. 若，则的大小关系（ ）A. B. C. D. - 2 -【答案】D【解析】，故选 D5. 已知，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，则，故选 C6. 下列函数中，在上与函数 的单调性和奇偶性都相同的是（ ）A. B.
3、C. D. 【答案】D【解析】在上递增，在上递减，且为偶函数，而也具有相同的奇偶性和单调性.本题选择 D 选项.7. 已知 ，则下列结论中正确的是（ ）A. 函数 的周期为B. 将 的图像向左平移 个单位后得到 的图像C. 函数的最大值为D. 的一个对称中心是【答案】D【解析】选项 A：，则周- 3 -期，故 A 不对；选项 B：将 的图像向左平移 个单位后得到的函数解析式为，得不到 的图像，故 B 不对；选项 D：根据正弦函数的对称性，令，得，当时，故 D 正确.故选 D8. 已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】的单调减区间为，函数
4、在 内单调递减，且取，得，故答案选 B9. 函数的部分图像大致为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数当时，可得，即图象过原点，排除 A当时，图象在 轴上方，故排除 C，D，故答案选B点睛：（1）运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质及本身的含义；（2）在运用函数性质时，特别是奇偶性、周期性、对称性、单调性、最值及零点，要注意用好其条件的相互关系，结合特征进行等价转化，如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化等.10. 已知方程的所有解都为自然数，其组成的解集为，则的值不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当分别取时，
5、排除 ，当分别取时，排除 ，当分别取时，排除 ，故选 A.11. 若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点 ，- 5 -则称为两函数的一对“孪生点” ，若，则这两个函数的“孪生点”共有（ ）A. 对 B. 对 C. 对 D. 对【答案】B【解析】根据题意：由“孪生点” ，可知，欲求的“孪生点” ，只须作出函数 的图象关于原点对称的图象，看它与函数的交点个数即可如图，观察图象可得：它们的交点对数是：2即两函数的“孪生点”有：2 对故答案选 B点睛：本题涉及新概念的题型，属于创新题，有一定的难度.解决此类问题时，要紧扣给出的定义、法则以及运算，然后结合数形结合的思想即可得到答案.12.
6、 已知定义在 上的函数 的导函数为，且满足， ，若，则（ ）A. B. C. D. 与的大小不能确定【答案】C【解析】解析：由题设可知函数的图像关于直线成轴对称，且当是增函数，当时是减函数，因为，且，所以，应选答案 C。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .13. 若命题 :，是假命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：“”是假命题等价于，即，解之得，即实数 的取值范围是.- 6 -考点：1.特称命题与全称命题；2.不等式恒成立与一元二次不等式.14. 设为定义在 上的奇函数，当时，（为常数） ，则_
7、.【答案】【解析】 为定义在 上的奇函数，当时，即当时，故答案为15. 已知定义在实数集 上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】试题分析：构造函数，故函数单调递减，即.考点：函数导数与不等式【思路点晴】本题主要考查函数导数与不等式，构造函数法求解不等式.通过阅读题目，可以知道，这是一个定义在 上的函数，有的时候题目还会增加奇偶性.另外给了一个含有导数的式子，像这样的题目我们一般考虑构造函数来做，即构造，利用导数可以知道它是单调递减的，这样我们就可以将要求解的不等式利用单调性求解出来.16. 已知 ，若关于的方程 恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是_.【答案】【
8、解析】- 7 -当或时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增可作出大致函数图象如图所示：令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解关于 的方程，恰好有 4 个不相等实数根关于的方程在和上各有一解，解得，故答案为点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调区间；（2）若，求的值.【答案】 （1）见解析（2）的零点的集合为【解析】试题分析：（1）将的解析式利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的图象与性质，即可求出最小正周期和单调区间；（2）- 8 -试题解析：（1）即的最小正周期由，化简得由，化简得所以，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；（2），即，即，又.18. 若 的最小值为 .（1）求 的表达式；（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.【答案】 （1）；（2）的最大值为【解析】试题分析：（1）通过
10、同角三角函数关系将化简，再对函数配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，从而求出的最小值；（2）由，则根据的解析式可知只能在内解方程，从而求出 的值，即可求出的最大值.试题解析：（1） - 9 -若，即，则当时，有最小值，；若，即，则当时，有最小值，若，即，则当时，有最小值，所以；（2）若，由所求的解析式知或由或（舍） ；由（舍）此时，得，所以时，此时的最大值为.19. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.【答案】 （1）当时，的增区间为；当时，的增区间为，的减区间为； （2） 的取值范围是【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化
11、进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。所以在单调递增，在单调递减。- 10 -（）由（）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为因此等价于令，则在单调递增，于是，当时，；当时，因此， 的取值范围是20. 已知曲线 在点 处的切线是 .（1）求实数 的值；（2）若 对任意 恒成立，求实数 的最大值.【答案】 （1）； （2） 的最大值为【解析】试题分析：（1）利用导数的几何
12、意义求解，计算和，即可求出的值；（2）分离参数 ，构造新函数，求函数的最值，利用导数求出函数的单调性，即可求出最值.试题解析：（1）因为，则，解得；（2）由题意恒成立，整理得令，则，令，则，因此在上单调递增，因为，所以在上小于零，在上大于零，故在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值为，因此，故 的最大值为点睛：恒成立问题的处理方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，就转化为；（3）若恒成立，可转化为.21. 已知函数 为常数， .- 11 -（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰
13、有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）；（2）的取值范围是【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得 的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到 的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.试题解析：（1），即，又所以，此时，所以上递减，上递增，又，所以（2）因为，所以，即所以在上单调递增，所以问题等价于对任意，不等式成立设，则当时，所以在区间上单调递减，此时所以不可能使恒成立，故必有，因为若，可知在
14、区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.- 12 -点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.选考部分选考部分请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. .22. 选修 4
15、4：坐标系与参数方程曲线的参数方程为 （为参数） ，曲线的极坐标方程为 .化曲线的方程为普通方程，曲线的方程为直角方程，并说明它们分别表示什么曲线；设曲线 与 轴的一个交点的坐标为 ，经过点 作曲线的切线，求切线 的方程.【答案】 （1）曲线是中心在坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是 ，短半轴长是 的椭圆；曲线是圆心为，半径为的圆；（2）切线的方程为【解析】试题分析：（1）根据平方和的关系消参，得到曲线的普通方程，利用极坐标与普通方程转化公式可得到的直角坐标方程；（2）根据的普通方程，可求出 点坐标，再根据直线与圆相切的关系，即可求出切线的方程.试题解析：（1）曲线；曲线曲线是中心在坐标原点，
16、焦点在 轴上，长半轴长是 ，短半轴长是 的椭圆；曲线是圆心为，半径为的圆；（2）曲线与 轴的交点坐标为和，因为，所以显然切线的斜率存在，设为 ，则切线的方程为，由曲线是圆心为，半径为的圆得，解得，所以切线的方程为.23. 选修 45：不等式选讲已知函数.- 13 -当时， ，解不等式；若的解集为，且，求的最小值.【答案】 （1）不等式的解集为；（2）的最小值为【解析】试题分析：（1）把代入解绝对值不等式，运用零点区间，讨论，和，去绝对值解不等式，最后求并集即可得到；（2）根据的解集为，可求出 的值，再根据柯西不等式的性质求解最小值.试题解析：（1）当时，不等式为，即所以或 或，即或所以原不等式的解集为；（2）因为的解集为，所以，即所以，由，得当且仅当时等号成立，故的最小值为